?浙江省象山縣大目灣實驗學校 王 偉
有些數(shù)學概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物,沒有客觀實在與之對應,往往由于教學手段的限制而令學生“望而卻步”.《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)指出:利用信息技術(shù)豐富教學場景,利用數(shù)學軟件開展數(shù)學實驗,從而改進教學方式,促進學生學習方式轉(zhuǎn)變[1].如何將信息技術(shù)融入教學,改善學生的學習方式,促進學生對數(shù)學概念和數(shù)學問題的理解,提升學生的核心素養(yǎng)?筆者對此進行了積極的探索.下面以浙教版八年級上冊“5.2函數(shù)(1)”為例,談談筆者的實踐與思考.
上節(jié)課我們學習了常量和變量,知道可以取不同數(shù)值的量叫做變量.那么,現(xiàn)實生活中的這些變量在變化過程中有什么關(guān)系呢?下面來探究一些實例.
實例1小慧的姐姐是一名大學生,暑假去某餐飲店打工,報酬是15元/h,設(shè)小慧的姐姐這個月工作的間為th,應得報酬為m元,填寫表1:
表1 報酬與工作時間關(guān)系
(1)在這個變化過程中,有幾個變量?分別是什么?誰隨著誰的變化而變化?
(2)給定一個t的值,我們可以得到幾個對應的m的值?t與m的數(shù)量關(guān)系是什么?
(1)在這個變化過程中,有幾個變量?分別是什么?誰隨著誰的變化而變化?
(2)給定一個v的值,可以算出幾個相應的s的值?
實例3按照如圖1的數(shù)值轉(zhuǎn)換器,試任意輸入一個x的值,根據(jù)y與x的數(shù)量關(guān)系求出相應y的值.
教師出示VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器,如圖2.
圖1
圖2
(1)在這個變化過程中,有幾個變量?分別是什么?誰隨著誰的變化而變化?
(2)任給一個x的值,可以得出幾個相應的y的值?
總結(jié)歸納:當變量t,v,x確定時,m,s,y分別隨之唯一確定.
設(shè)計意圖:函數(shù)本質(zhì)屬性的揭示,應建立在大量的函數(shù)原型分析的基礎(chǔ)上.此環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了三個圍繞函數(shù)概念構(gòu)成因素的代表性問題情境.學生通過觀察、識別、比較等認知行為提取出與概念相關(guān)的關(guān)鍵信息,再進行計算、分析、比較等思考后確定抽象的對象是變量之間的關(guān)系,對函數(shù)的本質(zhì)屬性有了初步理解.信息技術(shù)亮點是在VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器的計算活動中,使學生直觀地感知到函數(shù)的本質(zhì)屬性,激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望.教師適時給出VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器的代碼,并揭示其本質(zhì)是關(guān)系式y(tǒng)=2x-1,讓學生接觸到信息的核心內(nèi)容“編程語言”,以培養(yǎng)學生對信息技術(shù)的興趣,反過來學生也會體會到信息技術(shù)的發(fā)展離不開數(shù)學知識.
根據(jù)上述分析,進行歸納概括.
問題1拋開實際背景,上述三個情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征?
問題2這些特征是否適用于一般的同類型的變量關(guān)系?
教師在聆聽學生觀點的基礎(chǔ)上對它們的共同特征進行總結(jié)性講解:每組關(guān)系都涉及兩個變量;對于其中一個變量的每一個確定的值,另一個變量都有唯一確定的值與之對應.這樣的變量關(guān)系在數(shù)學上稱為函數(shù)(揭示課題).
問題3嘗試用文字語言給函數(shù)下定義.
定義精致化后得到:一般地,在某個變化過程中,設(shè)有兩個變量x,y,如果對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與之對應,那么y就是x的函數(shù),x叫做自變量.
設(shè)計意圖:在明確研究的對象是變量關(guān)系時,學生通過比較、歸納、概括等復雜思考提取共性(變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系)后建立清晰的函數(shù)概念表象,感受到了更高層次的數(shù)學抽象,積累了抽象概括的活動經(jīng)驗.在用數(shù)學語言對函數(shù)概念加以表征時,八年級的學生還缺乏相關(guān)的經(jīng)驗和能力,此時需教師加以引導.
活動1:下列關(guān)系式中,y是不是x的函數(shù)?為什么?①y=x;②y=x2;③y2=x.
活動2:再舉一個函數(shù)的實例.(小組合作)
教師舉例:如圖3所示是某城市12個月平均最高氣溫變化圖.
圖3
(1)T是關(guān)于m的函數(shù)嗎?為什么?
(2)該城市4月的平均最高氣溫大約是多少?12月呢?
圖4
設(shè)計意圖:活動1借助希沃白板的課堂活動分組競爭的比賽(如圖4),學生完成了對關(guān)系式是不是函數(shù)的辨別.用游戲的方式調(diào)動了學生學習的興趣和參與的主動性.①②是正例,③是反例,讓學生明確概念的外延.追問為什么,進一步加深學生對函數(shù)的理解.活動2則是通過學生舉例,體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變量關(guān)系的重要的工具,促進學生對概念外延的進一步理解.教師舉例,某城市12個月平均最高氣溫變化圖讓學生產(chǎn)生認知沖突(學生之前一般只具有表格、等式表示函數(shù)的經(jīng)驗),進一步拓展了概念的外延,并為學生了解圖象法做好鋪墊.
問題探究:觀察前面的例子,你認為函數(shù)可以用哪些形式來表示?
歸納總結(jié)得到:列表法、解析法、圖象法.
我們把自變量x取一個確定的值,對應的y的值稱為函數(shù)值.從上面的分析,你能告訴大家,對于用不同方法表示的函數(shù),如何求函數(shù)值?
歸納總結(jié)得到:查表、代入、作圖.
設(shè)計意圖:回顧實例,學生在探究活動中感悟到歸納思想,提煉出函數(shù)的三種表示方法,即列表法、解析法、圖象法.學生參與從一般的函數(shù)值定義到三種不同表示方法的函數(shù)值求法的活動,再次體會函數(shù)自變量與因變量“單值對應”的關(guān)系,突出函數(shù)的本質(zhì)屬性.
研究函數(shù)中兩個變量之間的關(guān)系,掌握它們的變化規(guī)律,有利于人們解決日常生活中的實際問題.
例1國內(nèi)投遞快遞需收取快遞費,快遞費價格包括首重價格和續(xù)重價格,其中續(xù)重價格和質(zhì)量關(guān)系如表2.
表2 快遞續(xù)重價格與質(zhì)量關(guān)系
(1)y是x的函數(shù)嗎?為什么?
(2)分別求當x=400,1 200,1 500,2 300時相應的函數(shù)值.
(3)若續(xù)重價格為4元,能確定此快遞續(xù)重質(zhì)量嗎?
例2如圖5所示是小明放學回家的折線圖,其中t表示時間(單位:min),s表示離開學校的路程(單位:m).請根據(jù)圖象回答下面的問題:
(1)這個函數(shù)反映了哪兩個變量之間的關(guān)系?
(2)求當t=2時的函數(shù)值,并說明它的實際意義.
(3)小明回家途中有沒有停留?停留了多長時間?
圖5
圖6
設(shè)計意圖:學生在快遞運費、路程兩個具有代表性問題的解決中,經(jīng)歷概念的“具體—一般—具體”的過程,形成利用函數(shù)的觀點認識現(xiàn)實世界的意識,體會蘊含在應用過程中的函數(shù)思想和方法.快遞運費問題改編自課本平信郵資問題,更符合學生的生活經(jīng)驗.信息技術(shù)的亮點是借助希沃白板的功能,手機拍攝學生解題過程并將其迅速上傳到屏幕,便于學生觀看、互評,起到及時反饋的作用.計時器(圖6)提高學生的注意力,培養(yǎng)學生時間管理能力,增強解題效果.
本節(jié)課大家學到了函數(shù)的哪些知識?
師生交流后梳理出本節(jié)課的知識框圖(圖7).
圖7
設(shè)計意圖:在教師的引導下,學生通過梳理、交流,重組相關(guān)知識點,厘清函數(shù)的來龍去脈,將函數(shù)扎實地納入已有的認知結(jié)構(gòu)中,完善了知識體系.知識框圖揭示了概念學習的基本套路,即概念抽象、概念辨析、概念應用、下位概念.掌握概念學習的基本套路,有助于學生進行自主學習和研究,提高學生的數(shù)學素養(yǎng).
概念教學的一般思路:問題引入—抽象概念—概念辨析—概念應用—概念梳理[2].從教學過程看,筆者緊緊圍繞函數(shù)概念展開建構(gòu),從變量關(guān)系的視角出發(fā)探究實例,注重啟發(fā)學生歸納提煉其中蘊含的共同特征,再逐步抽象出概念,形成初步的抽象能力;通過正反例、學生舉例、教師舉例進行概念辨析;通過概念衍生,獲得函數(shù)的三種表示方式及函數(shù)值的意義;通過概念應用,初步形成模型觀念;通過概念梳理,形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系;學生在學習過程中自然積累概念學習的經(jīng)驗.
《課標》指出:注重信息技術(shù)與教學的融合,改進教學方式,促進學生學習方式轉(zhuǎn)變[1].在教學活動中,創(chuàng)設(shè)多個融入信息技術(shù)的學習活動.如數(shù)值轉(zhuǎn)換器問題,學生通過程序,直觀地感受到任意輸入一個數(shù),由關(guān)系式得到一個對應的數(shù);借助希沃白板的拖動功能得到函數(shù)的完整定義;以游戲PK賽的形式完成關(guān)系式是不是函數(shù)的辨別;學生在操作中理解函數(shù)的定義.在知識應用環(huán)節(jié),借助手機拍照,將學生解題過程迅速上傳到屏幕,為學生自主學習提供更快捷的平臺.上述活動,使學生感受到多媒體技術(shù)的創(chuàng)新,調(diào)動了學生學習的興趣,提高了學生參與的主動性,最終為數(shù)學學習形式帶來新的氣象和新的內(nèi)涵.
史寧中教授認為抽象有兩個層次,一是從感性具體到理性具體,二是符號化,這既要求學生能將現(xiàn)實的問題數(shù)學化,又要求學生能從提取到的數(shù)學要素中發(fā)現(xiàn)數(shù)學關(guān)系、概念、命題等.筆者首先創(chuàng)設(shè)了三個圍繞函數(shù)概念構(gòu)成因素的代表性問題情境并設(shè)置類似的問題鏈,(1)在這個變化的過程中,有幾個變量?分別是什么?誰隨著誰的變化而變化?(2)給定一個變量的值,我們可以得到幾個對應的變量的值?(3)一個變量確定,另一變量是否隨之唯一確定?接著在此基礎(chǔ)上再提問,(4)拋開實際背景,上述三個情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征?這些特征是否適用于一般的同類的變量關(guān)系?問題(1)從實際問題中抽象出數(shù)學問題“變量及變量之間的變化規(guī)律”.問題(2)和問題(3)通過對變量的分析建立了兩個變量之間的依賴關(guān)系.問題(4)通過對不同背景之間的變量關(guān)系進行比較、抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.在這一過程中學生經(jīng)歷了函數(shù)概念螺旋式上升的抽象過程,不僅促進其思維由直覺思維向抽象思維轉(zhuǎn)變,而且提升了其數(shù)學抽象思維的層次.