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        巧用“一線三等角”模型 突破幾何壓軸難題

        2022-12-27 16:40:20無錫市華莊中學
        中學數(shù)學 2022年22期
        關鍵詞:拋物線解題利用

        ?無錫市華莊中學 劉 敏

        1 引出問題

        2022年安徽中考試題中有這樣一道試題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E在邊AD上,△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形,EF,BF分別交CD于點M,N,過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G.連接DF,則∠FDG=______°.

        圖1

        根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn),在直線AD上,存在三個直角,∠A=∠BEF=∠G(或者∠A=∠BEF=∠EDM),出現(xiàn)這種情況,我們往往稱之為“一線三直角”的數(shù)學模型,從而利用兩個三角形全等或者相似即可.此題可根據(jù)“AAS”證△ABE≌△GEF,得出EG=AB,GF=AE,進而推出DG=GF.即可得出∠FDG的度數(shù).

        若將“一線三直角”模型中的直角改為其他角度,這樣就形成了“一線三等角”的數(shù)學模型,在解答相關問題的過程中,很容易考慮到全等三角形或者相似三角形的判定.熟練把握“一線三等角”的相關特點,感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用,便于引導學生在解答過程中快速掌握利用基本圖形來描述或者分析、解決問題,從而培養(yǎng)學生的幾何直觀能力.

        2 “一線三等角”在全等形問題中的應用

        例1閱讀下面的相關材料,并回答問題.

        模型學習:如圖2,∠BAD=90°,AB=AD,BC⊥AC于點C,DE⊥AC于點E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D;又∠ACB=∠AED=90°,可以通過推理得到△ABC≌△DAE,進而得到AC=______,BC=______.我們把這個數(shù)學模型稱為“一線三等角”模型.

        圖2

        圖3

        模型應用:如圖3,△ABC為等邊三角形,BD=CF,∠EDF=60°,求證BE=CD.

        在“模型學習”中根據(jù)這種模型的特點,可以直接判斷,由“AAS”可證△ABC≌△DAE,可得AC=DE,BC=AE;對于“模型應用”,根據(jù)條件可以發(fā)現(xiàn)∠B=∠C=∠EDF=60°,符合“一線三等角”的特征,故由“AAS”可證△BDE≌△CFD,從而可證明得到BE=CD.

        3 “一線三等角”在相似形問題中的應用

        例2如圖4,D為△ABC的內(nèi)心,點E在AC上,且AD⊥DE,若DE=2,AD=CE=3,試求AB的長.

        圖4

        圖5

        通過審題發(fā)現(xiàn),題干中有內(nèi)心,還有垂直,問題的目標AB與條件AD,CE分屬三條直線.因此可以考慮延長DE看是否可以構(gòu)建“一線三等角”.于是延長ED交AB于點F,連接BD,如圖5,將線段AB分為AF和BF兩部分,分別計算.顯然,根據(jù)條件很容易證明△ADE≌△ADF,利用勾股定理求得AE的長度,即為AF的長度.再根據(jù)△ADE≌△ADF,可以得到∠AFD=∠AED,故有∠BFD=∠CED.利用三角形內(nèi)角和可推理計算得到∠ABD=∠CBD=∠CDE,從而可得到△BFD∽△DEC,再利用相似,列比例式求得BF.BF與AF相加即可求得AB.

        4 “一線三等角”在一次函數(shù)中的應用

        圖6

        圖7

        5 “一線三等角”在反比例函數(shù)中的應用

        圖8

        圖9

        6 “一線三等角”在二次函數(shù)中的應用

        圖10

        圖11

        再如:如圖12所示,拋物線y=ax2+bx+4過A(2,0),B(4,0)兩點,交y軸于點C,過點C作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為D,連接AC,BC.點P是該拋物線上一動點,設點P的橫坐標為m(m>4).若∠ACP=45°,求m的值.

        圖12

        圖13

        對于此題,我們也是很難快速確定點P的位置,為此可以利用“一線三等角”模型,過點A作AC的垂線AE,并使得AE=AC,如圖13,易得點E的坐標.連接FC,交拋物線于點P,將直線EC的解析式代入拋物線求得交點坐標,即可求得除點C外的另一交點P,思路清晰,方法簡單,問題迎刃而解.

        7 “一線三等角”在圖形變換中的應用

        圖14

        例6等邊△ABC邊長為6,P為BC邊上一點,∠MPN=60°,且PM,PN分別于邊AB,AC交于點E,F(xiàn).如圖14所示,若點P在BC邊上運動,且∠MPN繞點P旋轉(zhuǎn),當CF=AE=2時,求PE的長.

        根據(jù)題意,△ABC是等邊三角形,∠MPN=60°,可知∠B=∠C=∠MPN,符合“一線三等角”模型.因此可以考慮使用該模型下的解題基本思路.通過證明△BPE∽△CFP,根據(jù)相似三角形對應邊的比相等,再設BP=x,則CP=6-x,即可求得BP的長,進而求得PE的長.

        8 “一線三等角”在動態(tài)問題中的應用

        圖15

        圖16

        通過上述問題的研究,可以感受“一線三等角”模型在各個知識背景下的應用.借助構(gòu)造一線三等角模型解題的基本手段,從復雜的圖形中分離出基本圖形,具有將問題化繁為簡的效果,同時可以幫助我們在解題中快速找到解決問題的突破口.當然,希望“一線三等角”模型能起到拋磚引玉的作用,更希望學生能形成比較完善的知識儲備,從而提高基本圖形的敏銳觀察力,以及不斷提升幾何直觀能力和問題建模思想.Z

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