西安交通大學(xué)附屬中學(xué) 樊益武 (郵編：710054)

本文約定：四面體A1A2A3A4內(nèi)任一點(diǎn)P到Ai的對(duì)面的距離為di，Ai的對(duì)面的面積為Si(i=1,2,3,4)，V,R,r分別為四面體的體積、外接球和內(nèi)切球的半徑.Σ表示循環(huán)和，Π表示循環(huán)積.

1994年，彭誠(chéng)建立了如下不等式[1]

①

1996年，陳計(jì)將(1)加強(qiáng)為[2]

②

并在文末提出如下猜想：

③

本文旨在加強(qiáng)(3)，我們得到了如下：

④

當(dāng)且僅當(dāng)P為正四面體中心時(shí)取等號(hào).

引理1設(shè)a,b,c,d>0. 則

(a+b+c+d)6≥1024abcd(a2+b2+c2+d2)

⑤

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)取等號(hào).

證明不妨設(shè)a+b+c+d=1,a≤b≤c≤d，令

f(a,b,c,d)=1-1024abcd(a2+b2+c2+d2)，

128bd(a-c)2[(a-c)2+2b2+2c2]≥0，

1-1024x3(1-3x)[3x2+(1-3x)2]≥0.

由于g′(x)=3072x2(4x-1)(18x2-8x+1)≤0，

證畢.

⑥

⑦

化簡(jiǎn)既得⑦.證畢.

⑧

⑨

⑩

證明由⑧，我們有

化簡(jiǎn)即為⑦.證畢.

由證明過(guò)程不難看出取等條件.證畢.

由④出發(fā)，可以證明③.事實(shí)上，由均值不等式