浙江工業(yè)大學(xué)附屬德清高級中學(xué) 施利強(qiáng) (郵編：313200)

1 試題呈現(xiàn)，解法探究

圖1

(1)求l的斜率；

該試題讓我們聯(lián)想到2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第11題命題模型相關(guān)的經(jīng)典試題，熟悉的模型下又有新意，以下筆者先呈現(xiàn)該試題的解法.

其中k>0，交點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2).直線lPA與雙曲線聯(lián)立得(1-2k2)x2+(8k2-4k)x-8k2+8k-4=0，

(2)設(shè)lAP,lAQ的傾斜角分別為α,β，則β=π-α，∠PAQ=π-2α，

解析二設(shè)lPQ:y=tx+l，交點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，與雙曲線聯(lián)立得

(1-2t2)x2-4tlx-2l2-2=0，

因?yàn)閗AP+kAQ=0，

代入化簡得(t+1)(l+2t-1)=0，當(dāng)l+2t-1=0時(shí)，直線lPQ過(2,1)，不合，所以t=-1.

解析三設(shè)lPQ:m(x-2)+n(y-1)=1，直線lAP,lAQ的斜率為k1,k2，交點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x1,y1).

結(jié)合由解析一，可得

評注解析一與解析二解法較為自然，是該試題解決的常規(guī)方法.當(dāng)試題的問題涉及斜率和時(shí)，解析三構(gòu)造齊次方程也是常用方法，但是該解法技巧性較高，對學(xué)生的綜合分析能力有較高的要求.

2 深度挖掘，命題探源

今年解析幾何試題的命題背景是我們較為熟知的模型，在此之前，在該模型下也命制了較多高質(zhì)量的高考試題，該題也可以看為2021年全國I卷21題解析幾何試題命制模型下的特殊情形.

(1)求C的方程；

2021年解析幾何試題的命制模型，即圓錐曲線中的割線定理，2022年解析幾何試題可看成點(diǎn)T,A,P重合時(shí)的特殊情形，有較多文獻(xiàn)對去年的試題進(jìn)行了命題挖掘，也給出了較多的結(jié)論，一般都是利用直線的參數(shù)方程進(jìn)行證明.在本文中，筆者另辟蹊徑，引用了《圓錐曲線論》[2]第三卷中命題16和命題17，在兩個(gè)命題的基礎(chǔ)上對命題模型相關(guān)結(jié)論的幾何意義進(jìn)行了進(jìn)一步的深度挖掘，文[1]中也將這兩個(gè)命題作為文化背景給出，以下先給出這兩個(gè)命題.

圖2

圖3

結(jié)論1過圓錐曲線內(nèi)部或外部一點(diǎn)J作兩條直線分別交圓錐曲線于E,F和R,S，

則R,S,E,F四點(diǎn)共圓的充要條件是直線RS與EF斜率互為相反數(shù).

結(jié)論2過圓錐曲線內(nèi)部或外部一點(diǎn)J作兩直線分別交圓錐曲線于E,F和R,S，則直線RS與EF斜率互為相反數(shù)時(shí)，直線ER與直線SF，直線ES與直線RF傾斜角分別互補(bǔ).

證明如圖5，由結(jié)論1可知直線RS與EF斜率互為相反數(shù)時(shí)R,S,E,F四點(diǎn)共圓，點(diǎn)S,E和F,R可以看成過點(diǎn)T作兩直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，利用結(jié)論1可知直線ES與直線RF的傾斜角互補(bǔ)，同理直線ER與直線SF傾斜角互補(bǔ).實(shí)際上，結(jié)論2也可以通過圓心角圓周角進(jìn)行證明.

圖4 圖5 圖6

圖7 圖8 圖9

結(jié)論3過圓錐曲線外一點(diǎn)J作圓錐曲線的切線和割線分別交于點(diǎn)Q和點(diǎn)S,R，則直線JQ與直線JS傾斜角互補(bǔ)的充要條件是直線QS與直線QR的傾斜角互補(bǔ).

證明設(shè)直線QJ與直線SJ與x軸分別交于點(diǎn)A,M，直線QS與直線QR與x軸分別交于點(diǎn)G,H.由圖8可得∠QGH=∠S+∠SMG，∠QHG=∠HQA+∠HAQ，因?yàn)椤蟂=∠HQA且∠SMG=∠HAQ，所以∠QGH=∠QHG，直線QS與直線QR的傾斜角互補(bǔ).反之，當(dāng)直線QS與直線QR的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，可看成命題17的特殊情形，過點(diǎn)S,Q,R的外接圓與橢圓相切于點(diǎn)Q，直線QA為公切線，與以上證明類似可以說明直線JQ與直線JS傾斜角互補(bǔ).

結(jié)論3也是今年高考試題的命制背景，運(yùn)用該結(jié)論可得直線l的斜率為-1.最后利用直線的參數(shù)方程，對該試題模型下的三角形面積公式進(jìn)行了推廣.

結(jié)論4如圖9，已知點(diǎn)A(x0,y0)是圓錐曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作斜率為k,-k的兩條直線交圓錐曲線于P,Q兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線中

3 變式挖掘

至于此，筆者意猶未盡，一般在該模型下命制的相關(guān)試題都是給定定點(diǎn)，嘗試以動(dòng)點(diǎn)設(shè)置試題條件改編得到變式試題，以期對一線教師的教學(xué)帶來思考與便利.

圖14

(1)求雙曲線方程；

(2)是否存在定值k，使得H點(diǎn)始終落在x軸上？若存在，且H點(diǎn)落在雙曲線右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)之間時(shí)(包括右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn))，求△APQ面積的最大值，并求取最大值時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo).

所以

4 寫在最后

2022年高考已落下帷幕，每年的高考都會給我們留下較多經(jīng)典的試題.今年的全國I卷被譽(yù)為史上最難數(shù)學(xué)卷，以重思維少計(jì)算為命題原則，這也給我們一線教師提供了教學(xué)方向.在我們平時(shí)的教學(xué)過程中，應(yīng)該多注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和獨(dú)立思考的能力，當(dāng)學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治瞿芰团e一反三的能力時(shí)，才能以最高效的方式解答試題.