安徽省合肥市望湖中學 魏大付 紀振軍 (郵編：230051)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標2022年版》)指出，學業(yè)水平考試要“堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導向”.2022年安徽省中考數(shù)學第23題用“基于建模的二次函數(shù)問題”壓軸，體現(xiàn)“立足基礎，源于教材，聯(lián)系實際，突出能力，強調(diào)應用，著意素養(yǎng)”的命題思路.試題以教材習題素材為藍本進行綜合、創(chuàng)新、改造，引領教師在教學中要注重對教材內(nèi)容的理解以及在理解的基礎上的適度拓展，既提升教材的價值，又拓展學生的思維，培養(yǎng)學生的能力,發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng).以該題為例，分析試題立意，進行解法探究，感悟用好教材的方法.

1 真題呈現(xiàn)

如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米.E(0，8)是拋物線的頂點.

圖1 圖2 圖3(方案一) 圖3(方案二)

(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式；

2 試題的立意解讀

2.1 考查基礎，學生各有所獲

2.2 能力立意，著意數(shù)學素養(yǎng)

《課標2022年版》指出，以核心素養(yǎng)為導向的考試命題要適當提高應用性，注重創(chuàng)設真實情境，提出有意義的問題，實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導向的義務教育數(shù)學學業(yè)質(zhì)量的考查.本題第(2)(Ⅱ)以矩形為背景，融計算、推理于一體，層次分明，是一道新穎，設計巧妙的好題.試題以能力立意，重在考查學生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模、應用意識、創(chuàng)新意識等方面的數(shù)學核心素養(yǎng).

2.3 以生為本，凸顯人文關懷

義務教育數(shù)學課程具有基礎性、普及性和發(fā)展性.數(shù)學教育以生為本，面向全體，不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.基于“雙減”“疫情”背景下的第23題的基礎性、普及性和發(fā)展性得到了很好的體現(xiàn)，凸顯人文關懷.以學生熟悉的教材練習題呈現(xiàn)第(1)問，起點低、難度小、得分易，有效減輕學生的恐懼和焦躁情緒；結合矩形的周長、面積等相關知識，設計了第(2)問，自然生成，兼顧基礎性、普及性和發(fā)展性；最后利用前述知識解決問題，著力考查學生的核心素養(yǎng),側(cè)重于發(fā)展性.

3 試題的解法探究

第(1)問的解法

第(2)問解法

解法1

解法2

方案一設P2P1=n，P2P3=k，矩形P1P2P3P4面積為S，根據(jù)題意得

方案二設P2P1=n，P2P3=k，矩形P1P2P3P4面積為S，根據(jù)題意得

4 教學導向

4.1 教學目標指向核心素養(yǎng)

以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為目標的數(shù)學教學，要注重建立具體內(nèi)容和核心素養(yǎng)的關聯(lián).教學中，以(滬科版)第21章“二次函數(shù)與反比例函數(shù)”第38頁練習第1題素材為母題，引導學生從客觀事實出發(fā)，構建二次函數(shù)模型，通過對實際問題的研究，體會建模的數(shù)學思想；經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學問題，并利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)解決問題的過程，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識，激發(fā)學生學習興趣，突出數(shù)學來源于生活而服務與生活.再引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的同時，會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；在分析問題的同時，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；在用數(shù)學方法解決問題的過程中，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

4.2 教學內(nèi)容注意整體關聯(lián)

為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，既要整體把握教學內(nèi)容之間的關聯(lián)，還要把握教學內(nèi)容主線和相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關聯(lián).教學中引領學生通過數(shù)學的眼光從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象(隧道截面)中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系與變化規(guī)律，提出并抽象出刻畫兩個變量之間關系的函數(shù)模型——二次函數(shù)，形成二次函數(shù)概念、關系與結構，在二次函數(shù)單元整體的學習中，逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識.通過數(shù)學的思維，理解二次函數(shù)概念的發(fā)生與發(fā)展，理解函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)之間的聯(lián)系；能夠合乎邏輯地解釋分析、解決簡單的數(shù)學問題和實際問題；在探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)量關系與變化規(guī)律，經(jīng)歷函數(shù)“再發(fā)現(xiàn)”的過程；發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神.

4.3 教學方式要適切

數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源.教材的練習題往往是經(jīng)過千挑萬選的經(jīng)典問題，具有典型性、示范性，可延展性.本題以教材練習題素材為母題，從結論、圖形結構等探究、聯(lián)想、延伸拓展.既體現(xiàn)考試公平，又考查教學效果，即關注“雙減”“疫情”，又關注《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》，具有鮮明的教學導向.啟示教師關注教材，創(chuàng)造性地使用教材，充分發(fā)揮教材的教育功能作用.教學中，以“二次函數(shù)應用”作單元整體教學設計，從拋物線形隧道問題情境出發(fā)，引導學生從中抽象出數(shù)學問題，并利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)解決問題，培養(yǎng)學生數(shù)學建模和數(shù)學應用意識.引導學生關注生活中的數(shù)學，關注身邊的數(shù)學，促進學生形成學數(shù)學、用數(shù)學、愛數(shù)學的意識，進一步體會數(shù)學來自于生活,服務于生活.

4.4 素養(yǎng)提升要關注“四基”“四能”

5 結束語

中考試題常是以教材例題、習題素材為“背景”，經(jīng)命題專家的巧妙構思編擬而成的，源于原題，又高于原題.啟示教師在教學中，充分發(fā)揮教師的教學智慧，遴選教材中內(nèi)涵豐富的典型例、習題，引導學生努力探索問題的生長點，多角度探究與聯(lián)想，變式與拓展，挖掘內(nèi)在的教學價值，發(fā)揮其輻射功能，激活數(shù)學思維，通過解題與聯(lián)想把蘊含其中的數(shù)學思想方法揭示出來，挖掘出隱含問題的本質(zhì)屬性，積累解題經(jīng)驗，掌握解題方法，提高解題能力.