深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬外國語學(xué)校 鐘文體 (郵編：518109)

1 試題分析

原題(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

第(Ⅰ)問較簡單，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=-lnx，于是，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0. 從而f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減. 其圖象如圖1所示.

圖1

文[1]的求解思路是構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)，或F(x)=f(x)-f(2x0-x)(其中x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn))，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)的單調(diào)性問題，這是求解此類問題的通法.

回到原題，為證不等式22和x1+x2

2 新解探究

我們來著重研究表達(dá)式x1+x2. 從代數(shù)觀點(diǎn)看，它只是一個(gè)普通的二元一次多項(xiàng)式，似乎沒有什么值得進(jìn)一步研究的. 但從函數(shù)觀點(diǎn)看，x1和x2是相互依存的，x1的變化會(huì)引起x2的變化，反之亦然. 如果將x1(0

但是，無論是將x1看作自變量，還是將x2看作自變量，都會(huì)破壞x1+x2形式上的對(duì)稱性. 例如，將x1看作自變量時(shí)，可令x1=u，則x2可寫成x2(u)，于是x1+x2=u+x2(u). 從而喪失了對(duì)稱性. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)問題具有一定的對(duì)稱性時(shí)，會(huì)更容易解決. 可以嘗試引入與x1和x2有關(guān)的第三個(gè)變量t.如何選擇合適的t呢？先來分析x1和x2之間的關(guān)系. 已知的條件是f(x1)=f(x2)，這是問題的切入點(diǎn). 可設(shè)f(x1)=f(x2)=t，當(dāng)t確定時(shí)，x1和x2(x1

圖2

圖3

事實(shí)上，上面證明的積分不等式

恒成立. 這是所謂的Hadamard不等式. 若g(x)是嚴(yán)格下凸函數(shù)，則不等式嚴(yán)格成立. 當(dāng)g(x)是區(qū)間I上的上凸函數(shù)時(shí)，改變不等號(hào)的方向即可. 直觀上看，下凸函數(shù)向下方凸出，上凸函數(shù)向上方凸出.

通過求二階導(dǎo)數(shù)(如果存在)可以很方便地判斷給定函數(shù)的凸性. 事實(shí)上，若在區(qū)間I上g″(x)≥0恒成立，則g(x)是區(qū)間I上的下凸函數(shù). 若g″(x)>0恒成立，則是嚴(yán)格下凸函數(shù). 上凸函數(shù)有類似的判定方法.

上面的方法順便得到了一個(gè)額外的結(jié)論：設(shè)m1，m2，n1，n2是互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足f(m1)=f(m2)n1+n2. 這是由于函數(shù)G(t)單調(diào)遞減.

3 方法遷移

根據(jù)前面的分析，當(dāng)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)具有一定的凸性時(shí)，可以用類似的方法解決與f(x)有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問題.

類題1(2016高考全國I卷理科第21題) 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍.

(Ⅱ)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:x1+x2<2.

解(Ⅰ)(略解)因f′(x)=(x-1)(ex+2a)且f(1)=-e<0，故a>0.

(Ⅱ)設(shè)s1

圖4

類題2(2010年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第21題) 已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(Ⅱ)略.

(Ⅲ)如果x1≠x2且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

解(Ⅰ)(略解)易知f′(x)=(1-x)e-x，從而f(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，f(x)max=f(1)=e-1.

圖5

由類題2可知，有時(shí)f′(x)不具有一致的凸性，為了最終解決問題，需要將區(qū)間分段討論.

4 方法提煉

通過上面三個(gè)高考真題，可以總結(jié)提煉出處理極值點(diǎn)偏移問題的一種新的通法，筆者在此羅列要點(diǎn)，以期拋磚引玉.

問題給定函數(shù)f(x)和不相等的實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)=f(x2)，欲證形如m

方法(1)判斷f(x)的單調(diào)性和f′(x)的凸性.

(2)令f(x1)=f(x2)=t，將x1和x2看作關(guān)于t的函數(shù)，分別記作x1(t)和x2(t).

(3)構(gòu)造函數(shù)G(t)=x1(t)+x2(t)，根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)法則和Hadamard不等式判斷G(t)的單調(diào)性.

(4)根據(jù)G(t)的單調(diào)性確定其取值范圍，從而得到x1+x2取值范圍.

值得進(jìn)一步指出的是，當(dāng)f′(x)是下凸函數(shù)時(shí)，G(t)單調(diào)遞減；當(dāng)f′(x)是上凸函數(shù)時(shí)，G(t)單調(diào)遞增.

當(dāng)f′(x)是下凸函數(shù)時(shí)，因G(t)單調(diào)遞減，由此可以進(jìn)一步證明如下結(jié)論：設(shè)m1，m2，n1，n2是互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足f(m1)=f(m2)n1+n2. 當(dāng)f′(x)是上凸函數(shù)時(shí)，改變不等號(hào)的方向即可. 這是本文方法的意外收獲.

上述方法涉及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及凸函數(shù)的Hadamard不等式，超出了普通高中生的能力范圍，但對(duì)于教師有很好的啟示作用，它提供了看待問題的不同觀點(diǎn). 所謂給學(xué)生一杯水，老師要有一桶水. 教師的數(shù)學(xué)知識(shí)不能僅僅局限于高中數(shù)學(xué)水平，需要掌握一定的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，以便從更高的觀點(diǎn)審視高中數(shù)學(xué)問題. 站在更高的視角，能把問題看得更加透徹.