張勝杰，邢光軍

（南京郵電大學(xué) 管理學(xué)院，江蘇 南京 210003）

0 引言

當(dāng)今世界資源短缺、環(huán)境污染等問題日益突出，因此可持續(xù)發(fā)展的觀念逐漸深入人心。眾所周知，閉環(huán)供應(yīng)鏈對于可持續(xù)發(fā)展有著重要意義，這是由于閉環(huán)供應(yīng)鏈中的再制造環(huán)節(jié)可以有效地緩解資源短缺和環(huán)境污染等問題，從而實現(xiàn)企業(yè)的可持續(xù)發(fā)展[1]。隨著供應(yīng)鏈的發(fā)展，綠色供應(yīng)鏈管理逐漸進入人們的視線。綠色供應(yīng)鏈就是在供應(yīng)鏈的過程中盡可能多的考慮環(huán)境因素，比如在供應(yīng)鏈中考慮產(chǎn)品的綠色度、消費者的綠色偏好、綠色技術(shù)以及減排低碳等因素。程發(fā)新，等[2]建立了差別權(quán)重補貼下考慮消費者綠色偏好的定價決策模型，同時還對閉環(huán)供應(yīng)鏈進行了契約設(shè)計，結(jié)果表明，隨著消費者綠色偏好度的增加，產(chǎn)品的零售價也會增加。梁喜，等[3]在雙渠道的閉環(huán)供應(yīng)鏈中考慮社會責(zé)任和消費者的綠色偏好，考慮原制造商利用原材料生產(chǎn)新產(chǎn)品，而產(chǎn)品的再制造由第三方制造商進行。研究發(fā)現(xiàn)隨著原制造商承擔(dān)社會責(zé)任的比例越大，產(chǎn)品的綠色度也會增加。Sinayi，等[4]在由制造商和零售商組成的雙渠道閉環(huán)供應(yīng)鏈中考慮綠色投資，發(fā)現(xiàn)集中決策時產(chǎn)品的零售價不低于分散決策下的零售價。曾蔚，等[5]在考慮消費者綠色偏好情形下，構(gòu)建了兩種不同情況下的再制造閉環(huán)供應(yīng)鏈模型，然后對兩種情況下的均衡解進行比較分析。Yang[6]考慮在回收不確定性的情形下，研究綠色供應(yīng)鏈生產(chǎn)決策問題。呂寶龍，等[7]考慮了碳稅和產(chǎn)品的綠色度，構(gòu)建了閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)博弈模型，得出政府可以根據(jù)綠色度水平等因素來引導(dǎo)企業(yè)設(shè)置合理的回收比例。在上述綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈的研究中，以往研究的閉環(huán)供應(yīng)鏈都是靜態(tài)的，沒有考慮連續(xù)時間的閉環(huán)供應(yīng)鏈，但在實際生活中，閉環(huán)供應(yīng)鏈的運作都是在連續(xù)時間內(nèi)發(fā)生的，因此靜態(tài)的閉環(huán)供應(yīng)鏈的研究結(jié)果可能與實際不相符。近年來，關(guān)于動態(tài)的供應(yīng)鏈也有了不少的研究。程粟粟，等[8]對考慮綠色創(chuàng)新下綠色供應(yīng)鏈的生產(chǎn)決策問題進行研究，并對模型進行了協(xié)調(diào)和改進?；袅及?，等[9]利用動態(tài)演化博弈研究了再制造過程中的回收策略問題。于榮，等[10]對考慮綠色度和聲譽的綠色食品供應(yīng)鏈進行了研究，發(fā)現(xiàn)政府補貼和聲譽有利于食品質(zhì)量和供應(yīng)鏈利潤。葉欣，等[11]在雙渠道的動態(tài)供應(yīng)鏈中，研究了產(chǎn)品的定價以及減排策略等相關(guān)問題。Giovanni，等[12]對閉環(huán)供應(yīng)鏈的激勵機制進行了研究。Chutani[13]研究了供應(yīng)鏈中產(chǎn)品的動態(tài)定價和廣告促銷等問題。林思良，等[14]采用微分博弈的方法研究了廢舊電子產(chǎn)品在回收過程中政府和企業(yè)的協(xié)同策略。Xiang，等[15]在閉環(huán)供應(yīng)鏈中對產(chǎn)品的廣告投入策略和動態(tài)研發(fā)進行了研究。葉同，等[16]在低碳背景下的動態(tài)供應(yīng)鏈中，研究了制造商的減排策略以及產(chǎn)品的廣告策略。在這些研究中，有些動態(tài)供應(yīng)鏈的研究不包含產(chǎn)品的回收和再制造過程，而有些則沒有在綠色供應(yīng)鏈的背景下進行研究。

根據(jù)上述研究，本文采用微分博弈的方法對綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈的生產(chǎn)決策問題進行研究，首先構(gòu)建了以廢舊品的回收率為狀態(tài)變量的綠色微分博弈模型，考慮消費者對于綠色產(chǎn)品的偏好和不同的回收策略；然后利用最優(yōu)控制理論求出不同回收策略下模型的均衡解，同時對制造商回收和零售商回收兩種策略下的均衡解進行對比分析；最后利用maple軟件分析了相關(guān)參數(shù)對于閉環(huán)供應(yīng)鏈利潤的影響。

1 問題描述和假設(shè)

在以往閉環(huán)供應(yīng)鏈的研究中，人們常常是研究靜態(tài)的閉環(huán)供應(yīng)鏈，靜態(tài)的研究只能為供應(yīng)鏈系統(tǒng)在短時間內(nèi)的決策提供指導(dǎo)，本文研究動態(tài)情境下的閉環(huán)供應(yīng)鏈。為了更好的實現(xiàn)閉環(huán)供應(yīng)鏈對于環(huán)境的保護，促進經(jīng)濟和環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展，同時考慮顧客在消費過程中對于綠色產(chǎn)品的喜愛。假設(shè)制造商在生產(chǎn)過程中加入綠色材料生產(chǎn)綠色產(chǎn)品，從而引入產(chǎn)品的綠色度。首先構(gòu)建了一個由制造商和零售商以及消費者組成的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)，在供應(yīng)鏈中，制造商利用原材料和回收的廢舊品生產(chǎn)制造新產(chǎn)品，然后制造商將生產(chǎn)制造的產(chǎn)品以批發(fā)價w(t)出售給零售商，最后零售商以價格p(t)賣給最終的消費者。當(dāng)產(chǎn)品報廢后，制造商和零售商會對廢舊品進行回收，然后利用回收的廢舊品生產(chǎn)制造新產(chǎn)品。

假設(shè)1 t∈(0,∞)，利用經(jīng)典的商譽模型[17]，在閉環(huán)供應(yīng)鏈的回收過程中，廢舊品的回收率為τ?(t)=ρA(t)-δτ(t)，A(t)表示制造商或者零售商回收廢舊品時的回收努力，δ表示回收率的衰減系數(shù)，ρ表示回收投入努力對于產(chǎn)品回收率的影響程度。

假設(shè)2假設(shè)新產(chǎn)品和再制造品無差異，利用原材料生產(chǎn)新產(chǎn)品的制造成本為cm，制造商利用回收的廢舊品制造新產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為cr，cm＞cr，且Δ=cm-cr,Δ＞b。

假設(shè)3假設(shè)新產(chǎn)品的需求函數(shù)為D=α-βp(t)+θg(t)，在這里產(chǎn)品的需求不僅受到產(chǎn)品自身價格的影響，還受到產(chǎn)品綠色度的影響[8]。θ，β代表消費者對于產(chǎn)品綠色度和價格的敏感系數(shù)，且α＞βp，同時制造商的綠色投資成本為，其中n為綠色成本系數(shù)[8]。

假設(shè)4與黃宗盛，等[18]假設(shè)相一致，假設(shè)回收商回收廢舊品的回收成本與回收努力A(t)有關(guān)，那么回收商的回收成本為，且k為回收成本系數(shù)。

假設(shè)5假設(shè)無論是制造商還是零售商從消費者手中回收廢舊品時的單位支付均為零，這并不會對模型結(jié)果造成影響[18]。同時當(dāng)零售商回收時，每單位的廢舊品制造商需支付費用b。

2 模型構(gòu)建

制造商負(fù)責(zé)生產(chǎn)新產(chǎn)品以及對廢舊品進行再制造，是博弈的領(lǐng)導(dǎo)者。零售商跟隨制造商將產(chǎn)品賣給消費者。制造商可以選擇是否回收廢舊品，因此這里也就出現(xiàn)了制造商回收和零售商回收這兩種策略。

2.1 制造商回收

在制造商回收策略下，閉環(huán)供應(yīng)鏈中的主導(dǎo)者是制造商，因此制造商首先決定新產(chǎn)品的綠色度g1(t)、批發(fā)價格w1(t)和回收努力A1(t)，然后零售商決定自身產(chǎn)品的銷售價格p1(t)。制造商和零售商的目標(biāo)函數(shù)如下：

利用逆向歸納法求出銷售價格p1(t)，首先構(gòu)造零售商的現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)如下：

r表示貼現(xiàn)率，λr1(t)是零售商的當(dāng)期值漢密爾頓乘子，且t∈[0,∞)?，F(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)最大化的一階條件方程：

最優(yōu)條件方程為：

當(dāng)期乘子方程為：

狀態(tài)方程為：

然后利用最優(yōu)條件方程式（4）可以求得此時的銷售價格p1(t)：

將式（7）代入制造商的現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)可得：

λm1(t)是當(dāng)期值漢密爾頓乘子，且t∈[0,∞)。現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)最大化的一階條件方程：

最優(yōu)條件方程為：

當(dāng)期乘子方程為：

即：

狀態(tài)方程為：

然后利用最優(yōu)條件方程式（9）—式（11）求得此時的g1(t)、w1(t)、A1(t)為：

這里假設(shè)4βn-θ2＞0，保證求得的解符合實際情況。然后將式（11）兩邊同時對t求導(dǎo)，即可得到最后根據(jù)式（11）和式（13）即可得到：

從而形成一個制造商的動態(tài)控制系統(tǒng)：

r11＞0,r12＜0。證明如下：

在這個系統(tǒng)中，利用雅克比矩陣的特征根來劃分系統(tǒng)的均衡點，當(dāng)兩個根為異號實根時，此時的均衡點為鞍點。因為在此系統(tǒng)中r11＞0,r12＜0，所以均衡點為鞍點。

2.2 零售商回收

當(dāng)零售商選擇回收時，此時在閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中，制造商首先決定產(chǎn)品的批發(fā)價格和綠色度，零售商決定產(chǎn)品的銷售價格和回收努力，制造商和零售商的目標(biāo)函數(shù)如下：

利用逆向歸納法需要先求出銷售價格和回收努力p2(t)、A2(t)，因此首先構(gòu)造零售商的現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)如下：

r為貼現(xiàn)率，λr2(t)是零售商的當(dāng)期值漢密爾頓乘子，且t∈[0,∞)?，F(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)最大化的一階條件方程：

最優(yōu)條件方程為：

當(dāng)期乘子方程為：

狀態(tài)方程為：

然后利用最優(yōu)條件方程式（22）、式（23）可以求得此時的銷售價格和回收努力p2(t)、A2(t)：

將式（26）代入制造商的現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)可得：

λm2(t)是當(dāng)期值漢密爾頓乘子，且t∈[0,∞)?，F(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)最大化的一階條件方程：

當(dāng)期乘子方程：

狀態(tài)方程為：

根據(jù)漢密爾頓函數(shù)的一階最大化條件可求得制造商的批發(fā)價格w2(t)以及產(chǎn)品綠色度g2(t)：

然后將式（32）、式（33）代入p2(t)可得：

最后再將其代入式（24）可得：

從而形成了一個零售商的動態(tài)控制系統(tǒng)：

同理，r21＞0,r22＜0，證明過程和分散決策下相同，在系統(tǒng)中利用雅克比矩陣的特征根來劃分系統(tǒng)的均衡點，當(dāng)兩個根為異號實根時，此時的均衡點為鞍點。因此在 此 系 統(tǒng)中r21＞0,r22＜0，所以均衡 點(A2*,τ2*)為鞍點。

2.3 均衡分析

推論1：制造商回收時，滿足前提條件4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2，均衡解存在且均大于零，其中：

因此在前提條件下，4βn-θ2＞0，且α-βcm+因此同理可得均大于零。將τ1*代入可得：

推論2：制造商回收時，滿足前提條件4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δbβ2nρ2，均衡解存在且均大于零，其中：

證明過程和制造商回收時類似，不再敘述。

注：兩種情形下均衡解存在的條件為：

因為Δ＞b,所以Δ2β2nρ2＞Δbβ2nρ2。兩種情形下均衡解存在的前提條件可化為：

推 論3：在 前 提 條 件4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2下，隨著消費者對產(chǎn)品綠色度的敏感系數(shù)增加，兩種回收下各個主體的均衡利潤也隨著增加。

證明：將回收率代入利潤的均衡解再對其求偏導(dǎo)可得：

當(dāng)供應(yīng)鏈系統(tǒng)存在均衡解時，隨著消費者對產(chǎn)品綠色度的敏感系數(shù)增加，產(chǎn)品價格和需求出現(xiàn)一定的增加，因此供應(yīng)鏈主體的利潤也隨之增加。

2.4 制造商回收和零售商回收下穩(wěn)態(tài)均衡解的對比分析

推論4在綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈中，當(dāng)4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2時，兩種回收策略下的回收率和回收努力滿足以下關(guān)系式：A*2＜A*1,τ*2＜τ*1。

證明：

當(dāng)4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2，同時4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δbβ2nρ2，兩種策略下存在均衡解。首先根據(jù)2.3節(jié)中均衡解對兩種情況下的回收努力作差，可得：

對兩個式子進行比較，由于Δ＞b，所以同理可得：根據(jù)上面的式子可知，產(chǎn)品的回收努力和回收率受到消費者對于產(chǎn)品綠色度和價格的敏感程度以及綠色成本系數(shù)等很多因素的影響。廢舊品的回收需要花費很長的時間，在這個回收過程中制造商積極主動的參與廢舊品的回收，從而進行產(chǎn)品的再制造，與制造商相比，零售商回收積極性相對較低。因此，制造商在回收過程中的回收努力總是大于零售商回收時的回收努力，同時制造商的回收率也大于零售商的回收率。

推論5在綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈中，當(dāng)4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2時，制造商回收和零售商回收下的產(chǎn)品批發(fā)價格、綠色度滿足以下關(guān)系式：

然后根據(jù)求得的均衡解可知

對其化簡可得：

根據(jù)不等式的性質(zhì)，若x＞y,z＞0,則xz＞yz.

當(dāng)0＜θ2＜2βn時，

當(dāng)2βn＜θ2＜4βn時，無法具體判斷。

當(dāng)消費者對于產(chǎn)品綠色度和產(chǎn)品價格的敏感程度以及綠色成本系數(shù)在一定范圍內(nèi)，制造商回收下的產(chǎn)品綠色度大于零售商回收下產(chǎn)品的綠色度。根據(jù)綠色度的均衡解可知，在這個系統(tǒng)中產(chǎn)品綠色度和廢舊品的回收率有關(guān)，回收率越大，制造商對綠色成本投入提升的空間越大，產(chǎn)品綠色度越大。零售商回收下產(chǎn)品的批發(fā)價格較大，這是因為零售商回收時制造商對于每單位回收的廢舊品需要支付一定的費用，同時零售商回收下廢舊品的回收率小，回收再利用的產(chǎn)品有限，從而制造商在再制造的過程中成本增加，因此零售商回收下產(chǎn)品批發(fā)價格較高。

推論6在綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈中，當(dāng)4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2時，制造商回收和零售商回收下的產(chǎn)品零售價格滿足以下關(guān)系式：

證明：

化簡可得：

由推論5可知，當(dāng)消費者對于產(chǎn)品綠色度和產(chǎn)品價格的敏感程度以及綠色成本系數(shù)在一定范圍內(nèi)，兩種回收情形下產(chǎn)品批發(fā)價格和綠色度呈現(xiàn)不同的結(jié)果。由于零售商回收時產(chǎn)品的批發(fā)價格大，因此在一定范圍內(nèi)，零售商回收時產(chǎn)品的零售價格相對也比較大。但是隨著消費者對綠色產(chǎn)品的認(rèn)同，產(chǎn)品綠色度增加，制造商生產(chǎn)綠色產(chǎn)品的成本增加，因此在一定范圍內(nèi)，制造商回收下產(chǎn)品批發(fā)價格以及零售價格高于零售商回收下的產(chǎn)品批發(fā)價格以及零售價格。

推論7在閉環(huán)供應(yīng)鏈中，當(dāng)4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2時，兩種回收方式下的制造商和零售商的利潤滿足以下關(guān)系式

證明過程如下：

兩種回收策略下，制造商回收下零售商的利潤最高。這是因為回收過程中有很多不確定因素，比如時間、人力、金錢的投入。零售商不太愿意主動承擔(dān)這些，因此回收率較低，獲得的利潤也比較低。

3 數(shù)值分析

為了更好地對上述過程中的均衡解進行分析，利用maple進行數(shù)值分析，首先對相關(guān)參數(shù)進行賦值，賦值結(jié)果見表1。

（1）產(chǎn)品綠色度和價格敏感程度以及綠色成本系數(shù)對于均衡解的影響見表2。

表2 參數(shù)n,β,θ對均衡解的影響

在產(chǎn)品綠色度和價格敏感系數(shù)以及綠色成本系數(shù)的影響下，兩種回收情形下產(chǎn)品價格和綠色度呈現(xiàn)不同的結(jié)果。算例分析的結(jié)果驗證了上面的結(jié)論。當(dāng)系統(tǒng)均衡解存在時，制造商回收率、回收努力以及綠色度總是大于零售商回收率、回收努力和綠色度。兩種回收渠道下，制造商回收下零售商的利潤較高，同時當(dāng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)，制造商回收時本身利潤較高，但是超過一定范圍，零售商回收時制造商的利潤較大。最后發(fā)現(xiàn)隨著消費者對產(chǎn)品綠色度的敏感性增加，產(chǎn)品的綠色度也隨著變大。

（2）消費者對于產(chǎn)品綠色度的敏感系數(shù)對利潤的影響。如圖1和圖2所示，隨著消費者對于產(chǎn)品綠色度敏感系數(shù)的增加，在一定范圍內(nèi)，需求增加，產(chǎn)品價格上漲，因此兩種情形下制造商和零售商的利潤增加。但是制造商和零售商利潤變動的幅度較小。同時結(jié)合圖1和圖2可知，隨著產(chǎn)品綠色度敏感程度增加，制造商的利潤總是高于零售商的利潤。

圖1 參數(shù)θ對兩種回收策略下零售商利潤的影響

圖2 參數(shù)θ對兩種回收策略下制造商利潤的影響

（3）回收成本系數(shù)和綠色成本系數(shù)對于制造商回收下的各主體利潤的影響。如圖3和圖4所示，在制造商回收情形下，無論是回收成本系數(shù)還是綠色成本系數(shù)，當(dāng)它們逐漸增加時，制造商的利潤總會減少，但回收成本系數(shù)對利潤的變動影響不大。對于零售商而言，綠色成本系數(shù)增加，產(chǎn)品價格可能會上漲，從而造成需求減少，利潤下降，此時零售商不直接參與回收過程，因此對零售商而言，回收成本系數(shù)的變化對于零售商利潤沒有變化。

圖4 參數(shù)n,k對零售商回收策略下零售商利潤的影響

4 結(jié)語

為了研究綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈的發(fā)展，本文在動態(tài)閉環(huán)供應(yīng)鏈的基礎(chǔ)上，考慮了消費者的綠色消費行為，在產(chǎn)品需求中考慮綠色度對其的影響?；厥帐且粋€長久的過程，因此回收過程中存在很大的不確定性。這里把產(chǎn)品的回收率當(dāng)作狀態(tài)變量，同時研究在制造商回收以及零售商回收下動態(tài)閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中產(chǎn)品的定價和綠色度，從而使供應(yīng)鏈系統(tǒng)達到最優(yōu)。最后研究供應(yīng)鏈系統(tǒng)中的相關(guān)參數(shù)對閉環(huán)供應(yīng)鏈的影響，可得：

（1）消費者對于產(chǎn)品綠色度的敏感性增加，促進了對綠色產(chǎn)品的消費，從而使得制造商和零售商的利潤都隨之增加。

（2）在回收過程中，零售商更愿意制造商進行廢舊品的回收，因為這對于零售商是有利的，但是并不意味著對制造商有利。

（3）當(dāng)制造商回收且閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)存在均衡解時，廢舊品的回收努力、回收率以及產(chǎn)品綠色度較高，而在一定范圍內(nèi)產(chǎn)品的批發(fā)價格和零售價格反而比較低。

本文假設(shè)制造商的回收價格為常數(shù)，接下來可以研究動態(tài)的回收價格，回收價格受時間因素的影響。其次這里的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈?zhǔn)侵圃焐袒蛘吡闶凵特?fù)責(zé)廢舊品的回收，以后還可以研究多個回收渠道的閉環(huán)供應(yīng)鏈。最后本文的研究背景是制造商主導(dǎo)下的Stackelberg博弈，在以后的研究中還可以考慮加入渠道權(quán)力，研究不同渠道權(quán)力下的動態(tài)閉環(huán)供應(yīng)鏈等。