高興慧，何紀元，任欣怡，楊大慶，趙海洋，樊子秋，賈倩倩

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

0 引言

不動點理論在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，不動點的迭代方法是不動點理論研究的重要課題。2008年，Jachymski[1]將不動點理論與圖論結(jié)合起來，隨后，一些學(xué)者在具有有向圖的Banach 空間中研究了G-非擴張映射的不動點的迭代逼近問題[2-7]。最近，Sridarat 等[2]構(gòu)造了關(guān)于3個G-非擴張映射的SP迭代，具體如下:

(1)

其中{αn},{βn},{γn} 是[0,1]中的實序列。

Yambangwai 等[3]給出了關(guān)于3個G-非擴張映射的修正的三步迭代方法, 具體如下:

其中{αn},{βn},{γn}是[0,1]中的實序列。

受上述工作的啟示, 本文將構(gòu)造G-非擴張映射有限族的公共不動點的多步迭代方法，具體如下:

(2)

并證明該算法的強、弱收斂定理,最后給出數(shù)值例子驗證該方法的優(yōu)點。該文的主要結(jié)果是文獻 [2-4] 的相關(guān)結(jié)論的改進。

1 預(yù)備知識

E(G-1)={(x,y)∈X×X:(y,x)∈E(G)}

若對?x,y,z∈V(G),如果 (x,y),(y,z)∈E(G),那么 (x,z)∈E(G),則稱有向圖G=(V(G),E(G))是可傳遞的。

設(shè)x0∈V(G) 且A是V(G)的子集, 若對每一x∈A,有(x0,x)∈E(G),則稱A是由x0主導(dǎo)的。若對每一x∈A,有 (x,x0)∈E(G),稱A主導(dǎo)x0。

定義1[3]T:C→C稱為G-非擴張的，若T滿足下列條件:

(i)T保留G的邊界，即 (x,y)∈E(G)?(Tx,Ty)∈E(G)；

(ii)T不增加G的邊權(quán)值，即 (x,y)∈E(G)?‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖。

定義3[2]設(shè)C是實一致凸 Banach 空間的非空閉凸子集，C中的映像Ti(i=1,2,…,N) 滿足條件C：若存在非減泛函f:[0,∞)→[0,∞) 滿足f(0)=0 且f(r)>0,?r>0,使得對 ?x∈C,有

max{‖x-T1x‖,…,‖x-TNx‖}≥f(d(x,F))

其中F=F(T1)∩…∩F(TN),F(Ti) 是Ti的不動點集且d(x,F)=inf{‖x-q‖:q∈F}。

引理2[3]設(shè) {an} 和 {tn} 是2個非負實數(shù)序列，滿足下列不等式：

an+1≤an+tn,?n≥1

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)中，設(shè)C是帶有有向圖G的Banach空間X的非空閉凸子集，使得V(G)=C且E(G)是凸集，圖G是可傳遞的，Ti(i=1,2,…,N):C→C是G-非擴張映射，F(xiàn)=F(T1)∩…∩F(TN) 非空。任意x0∈C,{xn} 是由多步迭代(2)式生成的序列。

引理6 設(shè)X是一致凸 Banach 空間，實序列 {αn,1}…{αn,N}?[δ，1-δ],這里δ∈(0,1),且(x0,q0),(q0,x0)∈E(G),如果對于 ?x0∈C,q0∈F,那么

=‖(1-αn,1)(xn-q0)+αn,1(T1xn-q0)‖

≤(1-αn,1)‖xn-q0‖+αn,1‖T1xn-q0‖

≤(1-αn,1)‖xn-q0‖+αn,1‖xn-q0‖

=‖xn-q0‖

(3)

(4)

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可得

(5)

于是

(6)

(7)

另外，由Ti(i=1,2,…,N) 的G-非擴張性可得

(8)

(9)

(10)

(11)

由(8)、(9)、(11) 式及引理3可得

(12)

(13)

由(10)、(13) 式可得

(14)

由(3)、(14) 式可得

(15)

(16)

(17)

由(4)、(17)式可得

(18)

(19)

(20)

(21)

則有

(22)

(23)

因此

(24)

定理1 設(shè)X是滿足Opial's條件的一致凸 Banach 空間，且C具有性質(zhì)G，{αn,1},…,{αn,N}?[δ,1-δ],其中δ∈(0,1),對 ?x0∈C,q0∈F,若 (x0,q0),(q0,x0)∈E(G),那么由算法(2)式生成的序列 {xn} 弱收斂于T1,T2,…,TN的公共不動點。

定理2 令X是一致凸 Banach 空間，{αn,1},…,{αn,N}?[δ,1-δ],其中δ∈(0,1),Ti(i=1,2,…,N) 是G-非擴張映射且滿足條件C，F(xiàn)是由x0主導(dǎo)的且F主導(dǎo)x0,那么由算法(2)式生成的序列 {xn} 強收斂于T1,T2,…,TN的公共不動點。

注1 (i)定理1和定理2分別將文獻[2]中的定理3.8和定理3.7從3個G-非擴張映射的公共不動點的迭代方法推廣到了G-非擴張映射有限族的公共不動點的迭代方法；

(ii)定理1和定理2也分別將文獻[3]中的定理1和定理3從3個G-非擴張映射的公共不動點的迭代方法推廣到了G-非擴張映射有限族的公共不動點的迭代方法。

3 數(shù)值實驗

定義5[8]設(shè)C是 Banach 空間X的非空閉凸子集，且T:C→C是映射，假設(shè) {xn},{zn} 是收斂于T的不動點q的2個迭代序列，如果對所有的n≥1，有‖xn-q‖≤‖zn-q‖，則稱{xn} 收斂于q的速度快于 {zn}收斂于q的速度。

表1 利用定義5和定義6得出SP迭代 (1)和多步迭代(2)的收斂速度比較Tab.1 Comparison of rate of convergence of SP-iteration (1) and multi-step iteration (2)