福建省龍巖市高級中學(xué) (364000) 謝盛富

1 引言

數(shù)學(xué)運(yùn)算是課程學(xué)習(xí)情境的范疇，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)占有重要地位，運(yùn)算求解能力是五個(gè)“關(guān)鍵能力”之一.《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.在學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，優(yōu)化解題策略，提高解題效率，借助運(yùn)算方法解決問題，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算促進(jìn)思維發(fā)展，倍受關(guān)注.

2 基本解題策略

2.1 勤思少算，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程

在教學(xué)中應(yīng)緊扣教材、立足學(xué)情，注重基礎(chǔ)，充分發(fā)揮例習(xí)題的功能，通過知識與方法的遷移，提升思維的廣度和深度，勤于思考，減少計(jì)算量，優(yōu)化運(yùn)算過程，提升學(xué)科素養(yǎng).“設(shè)而不求”是一種化歸與轉(zhuǎn)化的思想策略，能有效地化復(fù)雜為簡單，化抽象為直觀，以此舉例說明.

解析：由題意知直線l的斜率k存在，由點(diǎn)斜式設(shè)直線l的方程，再聯(lián)立橢圓C的方程，消y整理得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線l的斜率.聯(lián)立方程組是處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的通性通法，但是計(jì)算量偏大，是否有更簡潔的求解方法呢？

2.2 特值驗(yàn)證，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算過程

利用特殊情況代入驗(yàn)證、排查是解客觀題的重要手段，也常見于解答題中，往往有事半功倍之效.

2.3 近似估算，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程

近似估算法在解題中也是常見方法，在不需要精確的情況下，采用近似估算法能把問題簡單化，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程，迅速確定答案.

A.-1 B.lg7 C.1 D.log710

此外，近似估算也常用于多個(gè)數(shù)的比較大小中，比較大小時(shí)往往不需要知道具體數(shù)值，只要借助單調(diào)性比較它們的大小，或者估算出它們大致所在范圍，如大于1，還是介于0到1，或者小于0，或者其它中間量.

2.4 逼近思想，美化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程

逼近思想，是指變量趨近于某個(gè)數(shù)值時(shí)，另一變量因此趨近于另一個(gè)數(shù)值.其中，極端思想是逼近思想的簡化版.在求取值范圍或判斷函數(shù)的大致圖象時(shí)，結(jié)合逼近思想能準(zhǔn)確迅速求解問題.逼近思想有時(shí)也應(yīng)用在導(dǎo)數(shù)解答題中.

圖1

例4 (2019年高考北京卷文科第8題)如圖1，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( ).

A.4β+4cosβB.4β+4sinβ

C.2β+2cosβD.2β+2sinβ

解析：利用極端思想，當(dāng)β→0時(shí)，弧長AB無限逼近零，陰影區(qū)域的面積趨于零；排除選項(xiàng)A、C；當(dāng)β→π時(shí)，弧長AB無限逼近圓周，陰影區(qū)域的面積趨于π×22=4π；排除選項(xiàng)D.選B.

2.5 平幾知識，巧妙求解簡化運(yùn)算

平面幾何知識豐富、優(yōu)美，比如平行與相似、中位線、中垂線、等邊三角形、三角形的“四心”與內(nèi)角和、角平分線、圓直徑所對圓周角是直角、直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半等.如果能夠充分利用平幾知識，不忘特殊與轉(zhuǎn)化，巧妙地優(yōu)化解題過程，簡化其中的運(yùn)算，尤其常見于求解圓錐曲線問題，往往達(dá)到事半功倍之效.

例5 (2021年新高考全國Ⅰ卷第14題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，則C的準(zhǔn)線方程為.

2.6 回歸定義，突出本源運(yùn)算便捷

定義是數(shù)學(xué)知識的本源，有了定義才會(huì)枝繁葉茂，沒有定義則是無源之木.比如，對雙曲線下定義后，根據(jù)定義，建系列出等式，化簡得到雙曲線的方程，再研究幾何性質(zhì).因此在平時(shí)解題中應(yīng)積極回歸定義，注意數(shù)形結(jié)合，在解題運(yùn)算過程中體現(xiàn)更便捷，喜獲答案.

2.7 一題多解，鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

一題多解是從多角度研究問題和認(rèn)識試題背景，它可以發(fā)散學(xué)生思維，破解思維定勢的局限，訓(xùn)練學(xué)生不同的解題能力，不但能有效整合各知識板塊的思想與方法，而且能有效鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

圖2

此外2021年全國高考甲卷理科第15題、文科第16題也有上述解法的影子，至少可從四個(gè)角度去分析與求解，有興趣的讀者可以嘗試解答.

2.8 多題一解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算思維

多題一解能實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，掌握解決數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，促進(jìn)對數(shù)學(xué)解題的深度理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算思維，感受知識與方法的內(nèi)在聯(lián)系，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育融合于課內(nèi)外.

題1 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則l的方程為.

題2 已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C：y2=8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=.

上述每道題各自可從多角度求解，但也有相同解法，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算思維有很大的幫助.在教學(xué)中以題1作為例題引入，完成分析、講解與剖析之后，給出了題2和題3作為課堂練習(xí)，題4和題5作為課后作業(yè)完成，旨在從直線過焦點(diǎn)到不過焦點(diǎn)、從拋物線到橢圓、雙曲線，一次次的體驗(yàn)與感悟，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)分析問題、解決問題、探究能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3 總結(jié)

在立德樹人的背景下，現(xiàn)今高考試題命制在不斷地反套路、反刷題，考查的重點(diǎn)依舊是思維品質(zhì)和核心素養(yǎng).在教學(xué)中，教師可根據(jù)教學(xué)需要，結(jié)合學(xué)情，創(chuàng)設(shè)真實(shí)又合適的問題情境，滲透數(shù)學(xué)思想與方法，點(diǎn)撥解題的各種策略與對應(yīng)的視角，積極培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，在鞏固已有的通性通法的基礎(chǔ)上，適當(dāng)掌握一些簡單又易于掌握的解題技巧，在特殊技巧上錦上添花，獲得更多的真實(shí)體驗(yàn)、知識方法與成績的收獲，讓巧妙方法成為解題的通性通法，從中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的運(yùn)用策略，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，春風(fēng)細(xì)雨潤物無聲，不斷總結(jié)、反思，悟出運(yùn)算之妙！