張?zhí)煊?，鄧欣雨，陸建隆，?巍，鐘 鳴

(南京師范大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210023)

生活中常見的毛細(xì)現(xiàn)象是指將細(xì)小的玻璃管插入水中，水會在管中上升一定高度的現(xiàn)象. 而超聲毛細(xì)現(xiàn)象是指將毛細(xì)管的一端浸沒在超聲波浴中，毛細(xì)管內(nèi)的液面出現(xiàn)顯著上升的現(xiàn)象，同時液面上升高度通常高于未加超聲波時由于毛細(xì)現(xiàn)象導(dǎo)致液面上升的高度. 超聲毛細(xì)現(xiàn)象未來可應(yīng)用于醫(yī)學(xué)領(lǐng)域制作微型泵裝置、或大型壓力泵等工業(yè)領(lǐng)域. 1981年，N.V.Dezhkunov和P.P.Prokhorenko 對超聲毛細(xì)現(xiàn)象與潤濕性、表面張力、含氣量、蒸汽壓的關(guān)系進(jìn)行了實驗探究并給出了相應(yīng)解釋，提出毛細(xì)管底部的空蝕區(qū)是導(dǎo)致超聲毛細(xì)現(xiàn)象的原因[1]. 2004年，N.V.Dezhkunova和T.G.Leightonb在不同振幅大小的超聲波作用下，拍攝得到了毛細(xì)管底部空蝕區(qū)的照片[2]，進(jìn)一步說明了超聲空化是導(dǎo)致超聲毛細(xì)現(xiàn)象的主要原因. 但目前對于超聲毛細(xì)現(xiàn)象尚存在理論不夠完善、影響參量研究較少、缺乏具體相關(guān)參量對毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度直接影響的實驗研究.

本文利用超聲空化理論對超聲毛細(xì)現(xiàn)象進(jìn)行了解釋，探究了超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響因素，利用一定頻率的超聲波產(chǎn)生周期性的正壓與負(fù)壓，在毛細(xì)管下方激發(fā)出大量空化氣泡聚集破裂的空蝕區(qū)，推動毛細(xì)管中液面不斷上升，從而產(chǎn)生超聲毛細(xì)現(xiàn)象. 通過設(shè)計實驗，探究了聲壓、溫度、毛細(xì)管內(nèi)徑等參量對毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度的影響，進(jìn)一步證明了超聲空化理論的合理性.

1 超聲毛細(xì)現(xiàn)象的理論分析

1.1 超聲毛細(xì)現(xiàn)象的定性解釋

根據(jù)超聲空化理論[1-3]，超聲毛細(xì)現(xiàn)象是由于玻璃毛細(xì)管底部機(jī)械切割造成大量微裂縫，在超聲波作用下這些微裂縫導(dǎo)致在毛細(xì)管底部一定區(qū)域內(nèi)存在空蝕云(大量空化氣泡的云狀聚集區(qū))，空蝕云內(nèi)的大量氣泡不斷經(jīng)歷生長、收縮、潰滅的空化過程，由于這些空化過程發(fā)生的周期非常短[一般為幾個超聲周期內(nèi)(0.1 ms內(nèi))]，從而推動毛細(xì)管內(nèi)液面顯著上升.

1.2 超聲波聲壓對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響

采用熱力學(xué)理論，通過導(dǎo)出超聲波作用下的單泡空化運動方程(單個氣泡半徑R與時間t的函數(shù)關(guān)系)，并通過數(shù)值模擬，即可推測出超聲波的空化閾值.探討在不同超聲波聲壓下，超聲波聲壓大小對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響.未加超聲波時，假設(shè)初始?xì)馀輧?nèi)部壓強為pin，初始?xì)馀萃獠繅簭姙閜out，則未加超聲波時，單一氣泡內(nèi)部壓強和外部壓強的表達(dá)式：

pin=pv+pg0,

(1)

(2)

其中，pv為水蒸氣壓強，pg0為氣泡內(nèi)除水蒸氣外其他氣體的壓強，p0為液體壓強，2σ/R0為表面張力帶來的附加壓強，σ為表面張力系數(shù)，R0為氣泡初始半徑.

根據(jù)氣泡內(nèi)外力學(xué)平衡可知，初始?xì)馀輧?nèi)部壓強等于初始?xì)馀萃獠繅簭姡磒in=pout，由式(1)～(2)可得氣泡內(nèi)除水蒸氣外其他氣體壓強為

(3)

將聲壓為pa的超聲波聲場作用于氣泡后，氣泡半徑由R0變?yōu)镽，氣泡內(nèi)除水蒸氣外其他氣體壓強由pg0變?yōu)閜g.此時氣泡內(nèi)外壓強變?yōu)?/p>

pin′=pv+pg,

(4)

(5)

其中，pin′為外加超聲波后氣泡內(nèi)部壓強，pg為外加超聲波后氣泡內(nèi)除水蒸氣外其他氣體的壓強，pout′為外加超聲波后氣泡外部壓強，pa為超聲波聲壓.

當(dāng)加超聲波后，氣泡內(nèi)部壓強大于氣泡外部壓強，即pin′>pout′時，氣泡膨脹；當(dāng)加超聲波后氣泡內(nèi)部壓強小于氣泡外部壓強，即pin′

假設(shè)氣泡在施加超聲波前、后經(jīng)歷了多方過程[4]，則施加超聲波后，氣泡經(jīng)歷多方過程前后，壓強與體積的關(guān)系為

pVn=C,

(6)

其中，n為絕熱系數(shù)，C為常量.

根據(jù)式(6)可得氣泡在施加超聲波后，氣泡內(nèi)除水蒸氣外其他氣體壓強pg與未施加超聲波時的壓強pg0滿足如下關(guān)系：

(7)

其中，R為施加超聲波后的氣泡半徑.

當(dāng)空化氣泡收縮時，周圍整個空間的液體將移向氣泡收縮所釋放的空間，其動能為

(8)

其中，v為液體移動的速度，ρ為液體(水)密度，m為周圍液體質(zhì)量.

液體獲得的動能即為氣泡受到的外部壓力pout′克服內(nèi)部壓力pin′所做的功，具體表示為

(9)

式(9)等號左邊為液體移向氣泡收縮空間獲得的動能；右邊為氣泡外部壓力克服內(nèi)部壓力所做的功.上式兩邊對R微分后整理得：

(10)

將式(4)～(5)代入式(10)，得到在不考慮氣泡內(nèi)部蒸汽壓的情況下[4]空化氣泡的運動方程：

(11)

在式(11)的基礎(chǔ)上，考慮運動能量的黏滯損耗和聲波輻射阻尼，可以得到最終氣泡運動表達(dá)式[5-6]為

(12)

由式(12)可知，氣泡半徑隨時間的變化與超聲波聲場的聲壓振幅pa有關(guān).在不同超聲波聲壓振幅下，氣泡半徑隨時間的變化關(guān)系較復(fù)雜.因此，使用替換法可將式(12)的二階常微分方程化簡為一階微分方程組，再利用Matlab進(jìn)行四階Runge-Kutta法數(shù)值模擬，最后即可得到不同超聲波作用下氣泡半徑比R/R0隨時間t的變化圖像.

假設(shè)氣泡經(jīng)歷等溫過程[7-8]，即n=1,在Matlab仿真中選取的各參量取值如表1所示.實驗采用的液體為水，故液體相關(guān)參量均取水的參量值.通常情況下，作用到氣泡的是正弦或余弦聲波，故取超聲波聲壓pa=-pAsin (2πft) Pa，氣泡初始半徑取值可以參考其他相似文獻(xiàn)[4,8]，超聲頻率采用實驗儀器的頻率，圖1為在超聲波振幅pA分別為0.7×105Pa，1.0×105Pa和1.5×105Pa的情況下，氣泡半徑比值隨時間的變化圖像.

表1 Matlab仿真選取的參量值

由圖1可知，氣泡半徑比值從1開始，隨著時間不斷增加，在超聲波作用下，經(jīng)歷了生長、收縮，最后半徑迅速縮小至發(fā)生高速潰滅的過程. 超聲波作為物質(zhì)波在水中傳播會引起局部區(qū)域水分子疏密程度的變化，從而在宏觀上呈現(xiàn)出周期性的正壓與負(fù)壓. 氣泡在超聲波的負(fù)壓作用下，隨著聲壓逐漸增大，氣泡崩潰前R/R0增大，單一氣泡的空化劇烈程度隨之增加. 不同聲壓大小下，氣泡膨脹的半徑比分別為1.4[圖1(a)]、2.5[圖1(b)]和6.6倍[圖1(c)]；當(dāng)超聲波的正壓作用時，氣泡收縮并高速潰滅至半徑接近0，此過程中將會釋放強大的沖擊波，該沖擊波引起的高速沖流是毛細(xì)管內(nèi)液面上升的主要因素.

(a)pA=0.7×105 Pa

通過Matlab可以進(jìn)一步得到圖2，即氣泡崩潰時R/R0與超聲波聲壓p的關(guān)系圖像. 可以發(fā)現(xiàn):在p<1×105Pa時，氣泡潰滅時R/R0的值相對較小;在p>1×105Pa時,R/R0的值迅速增長，說明氣泡超聲空化現(xiàn)象存在明顯的空化閾值. 從圖2可以看出表1相應(yīng)數(shù)據(jù)下的空化閾值約為1×105Pa. 當(dāng)聲壓低于空化閾值，難以發(fā)生空化現(xiàn)象；當(dāng)聲壓高于空化閾值，氣泡超聲空化現(xiàn)象的劇烈程度將會隨著聲壓增大而迅速增加.

圖2 氣泡崩潰時R/R0與p的關(guān)系圖像

通過以上分析，聲壓大小是影響單泡空化強度的決定性因素，對超聲毛細(xì)現(xiàn)象具有重要影響. 在聲壓大小低于空化閾值時，附加壓強小，超聲毛細(xì)現(xiàn)象難以發(fā)生；當(dāng)聲壓大小超過超聲空化閾值時，聲壓大小增大，附加壓強增加，超聲毛細(xì)現(xiàn)象隨之變得劇烈.

1.3 溫度和毛細(xì)管內(nèi)徑對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響

空化氣泡運動方程[式(12)]中的參量包含液體的表面張力、黏度、密度等參量，而溫度對于水的表面張力、黏度、密度等都有影響，因此溫度對超聲毛細(xì)效應(yīng)也具有一定影響[1]. 對水而言，溫度上升導(dǎo)致水的蒸汽壓迅速上升(從20 ℃增加到80 ℃，對應(yīng)蒸汽壓增長20倍)，氣泡半徑雖有一定增長，但是潰滅用時大幅延長，導(dǎo)致單泡空化能量下降，半徑對氣泡內(nèi)壓力影響變小，部分氣泡膨脹過度，在1個壓縮相中難以崩潰，氣泡崩潰比例下降[1,9]，引起超聲毛細(xì)附加壓強下降，從而導(dǎo)致超聲毛細(xì)現(xiàn)象減弱.

由于在超聲毛細(xì)現(xiàn)象中，毛細(xì)管口的眾多微裂縫對空化有著決定性作用，當(dāng)毛細(xì)管內(nèi)徑增大時，單位面積存在的微裂紋數(shù)目下降，從而導(dǎo)致空蝕區(qū)內(nèi)空化氣泡數(shù)密度下降，附加壓強減小，超聲毛細(xì)現(xiàn)象進(jìn)而減弱.

1.4 其他因素對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響

除了上述討論的聲壓、溫度和毛細(xì)管內(nèi)徑對超聲毛細(xì)現(xiàn)象有影響外，還有其他因素對超聲毛細(xì)現(xiàn)象有影響. 根據(jù)Blake對空化閾值的結(jié)論[10-11]，頻率對空化閾值沒有影響，但隨著頻率的增大，氣泡膨脹時間縮短，氣泡不能很好地膨脹，導(dǎo)致超聲作用下氣泡潰滅時的氣泡半徑減小;同時過高的頻率會大幅縮短氣泡壓縮時間，導(dǎo)致氣泡來不及崩潰而轉(zhuǎn)入下一周期的膨脹，最終使得產(chǎn)生的附加壓強減小，超聲毛細(xì)現(xiàn)象減弱[8,12].

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液體的含氣量是決定空化氣泡數(shù)量的重要因素，在超聲振幅較小時，毛細(xì)管端口附近的空化氣泡密度隨液體含氣量的增加而增加，進(jìn)而能夠增大超聲毛細(xì)現(xiàn)象的劇烈程度；而在超聲振幅較大使端口附近的空化泡密度接近飽和時，含氣量的增加將會導(dǎo)致氣泡內(nèi)壓強增加，其效果與增加蒸汽壓相同，會減小附加壓強，從而減弱超聲毛細(xì)現(xiàn)象. 目前，通過脫氣、沉降、沸騰等措施均可以改變水的含氣量[1].

2 實驗探究

2.1 實驗裝置

如圖3所示，實驗裝置由超聲波清洗儀、玻璃毛細(xì)管、鐵架臺、刻度尺組成. 超聲波清洗儀提供超聲波，鐵架臺用于固定長玻璃毛細(xì)管及調(diào)整毛細(xì)管入水深度，刻度尺用于測量毛細(xì)管內(nèi)液面高度. 超聲波清洗儀選用朗菲的CS-601單源版成品超聲波清洗儀，其額定電壓12 V，功率24 W，超聲頻率47 kHz，最大容積0.5 L. 玻璃毛細(xì)管為定制的內(nèi)徑為0.4 mm、外徑為2.7 mm、長50 cm的石英毛細(xì)管. 上下固定裝置均為帶有2.7 mm孔徑的3D打印固定板并通過夾子夾持固定于鐵架臺上. 圖4為實驗裝置實物圖.

圖3 實驗裝置示意圖

圖4 實驗裝置實物圖

2.2 仿真超聲波清洗儀聲場聲壓分布

運用COMSOL軟件中聲學(xué)仿真模塊，對超聲波清洗槽建模，添加壓力聲學(xué)組件并進(jìn)行超聲波振動面的參量設(shè)定，對實驗選用的超聲波清洗儀中的超聲波聲壓場進(jìn)行有限元仿真，得到如圖5～6所示的聲壓剖面圖，聲壓剖面圖即為超聲清洗儀內(nèi)部各處聲壓與位置之間的關(guān)系圖. 圖中橫坐標(biāo)表示以超聲清洗儀中心為坐標(biāo)原點的長度方向位置，左縱坐標(biāo)表示寬度方向位置，右縱坐標(biāo)表示聲壓大小. 圖5為水下2 cm的處聲壓大小剖面圖，圖6為超聲清洗儀中心對稱面處的聲壓大小剖面圖，即裝置長度方向中心對稱面所在平面.

由圖5可見，超聲清洗儀的大部分區(qū)域(藍(lán)色部分)中聲壓大小不能達(dá)到1×105Pa的超聲空化閾值. 圖6中的少數(shù)區(qū)域(長度方向?qū)ΨQ面上距中心2 cm處的底部以及儀器正中水下1 cm處)可以得到超過空化閾值的聲壓大小，此區(qū)域應(yīng)為超聲空化現(xiàn)象劇烈地帶.

圖5 超聲清洗儀水下2 cm處聲壓大小剖面圖(圖中標(biāo)注的4個點為局部聲壓大小的極大值)

圖6 超聲清洗儀中心對稱面處聲壓大小剖面圖(圖中標(biāo)注的4個點為局部聲壓大小的極大值)

將COMSOL仿真得到的超聲清洗儀內(nèi)水下2 cm處聲壓仿真剖面圖數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin軟件繪制三維圖像，如圖7所示，沿超聲波清洗儀內(nèi)槽的長邊建立x軸，沿超聲波泵內(nèi)槽的短邊建立y軸，用(x,y)坐標(biāo)表示超聲波清洗儀內(nèi)的對應(yīng)位置，z坐標(biāo)表示超聲波聲壓大小. 圖7中紅色框區(qū)域為選定的實驗區(qū)域，即玻璃毛細(xì)管放置區(qū). 實驗區(qū)沒有選擇中央2個最大的聲壓區(qū)進(jìn)行實驗(對應(yīng)圖7中2個對稱紅色峰值區(qū)域)，因為在此區(qū)域內(nèi)的毛細(xì)管存在溢出情況，不便于定量探究.

圖7 超聲波清洗儀水下2 cm處聲壓與位置關(guān)系仿真圖

2.3 探究聲壓與毛細(xì)管內(nèi)液面的上升高度關(guān)系

在所取圖7紅色框區(qū)域的實驗范圍內(nèi)沿長度和寬度2個方向分別間隔2.5 mm取實驗點(在峰值附近取1 mm間隔)，并控制內(nèi)徑為0.4 mm的毛細(xì)管入水深度2 cm，待毛細(xì)管內(nèi)液面通過一般的毛細(xì)現(xiàn)象逐漸上升至穩(wěn)定位置，打開超聲波清洗儀，通過視頻拍攝記錄在超聲波作用下1 min內(nèi)毛細(xì)管內(nèi)液面所能到達(dá)的最高位置，與原先由于毛細(xì)現(xiàn)象導(dǎo)致的上升高度相減，得到剔除毛細(xì)現(xiàn)象后超聲波浴作用于水下2 cm處所取范圍內(nèi)毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度的數(shù)據(jù)，導(dǎo)入Origin繪制三維圖像,如圖8所示.

圖8 超聲波清洗儀水下2 cm液面上升高度與位置關(guān)系實驗圖

將圖7中紅色框區(qū)域與圖8對比可以看出：圖7中的3個聲壓峰值聚集區(qū)域，在圖8中同樣可以觀察到相應(yīng)的上升高度的峰值. 而在聲壓模擬分布圖像中，在其余聲壓相對較低的區(qū)域，實驗所獲得的圖像中同樣沒有出現(xiàn)明顯的超聲毛細(xì)現(xiàn)象. 據(jù)此可以得出結(jié)論：在聲壓峰值處，超聲毛細(xì)現(xiàn)象劇烈程度明顯高于聲壓較低處，聲壓是超聲毛細(xì)現(xiàn)象的重要影響因素.

為進(jìn)一步驗證聲壓對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的重要影響，改變毛細(xì)管的入水深度，比較同一位置處[平面坐標(biāo)(0,0)處，聲壓分布如圖6中對稱線所示]聲壓與毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度隨入水深度的變化. 圖9為毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度與模擬聲壓大小分別與入水深度的關(guān)系圖像，橫坐標(biāo)為毛細(xì)管入水深度h，左縱坐標(biāo)為毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度H，右縱坐標(biāo)為COMSOL模擬得到的聲壓大小.

觀察圖9發(fā)現(xiàn)：確實存在聲壓大小的空化閾值. 在聲壓較低時，毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度很小;當(dāng)聲壓隨入水深度改變而增大到大于空化閾值后，毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度與聲壓隨入水深度的變化趨勢基本一致，即與聲壓大小成比例. 上升高度隨入水深度的變化相較于聲壓隨入水深度的變化有一定的滯后，其原因可能是超聲波在水中超聲空化效應(yīng)而存在一定的衰減，從而導(dǎo)致模擬聲壓圖像整體向入水深度小的方向偏移. 因而可以得出結(jié)論：入水深度主要通過影響超聲波的聲壓,間接影響超聲毛細(xì)現(xiàn)象的劇烈程度，這也進(jìn)一步證實了聲壓對超聲毛細(xì)現(xiàn)象具有重要影響.

圖9 上升高度與模擬聲壓和入水深度的關(guān)系圖像

2.4 溫度與毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度的關(guān)系

為探究溫度對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響，根據(jù)先前聲壓實驗中不同位置處毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度的情況，選取了3個位置，即超聲毛細(xì)現(xiàn)象較強而又恰好不導(dǎo)致毛細(xì)管內(nèi)的水柱溢出毛細(xì)管現(xiàn)象，選取入水深度2 cm的3個點位，水平位置分別為：點位1(4.75，-2)、點位2(5，1.75)、點位3(6.25，0)，并選取70 ℃的溫度為起始點，進(jìn)行實驗. 通過水的自然冷卻降溫以部分抵消因超聲波能量耗散導(dǎo)致的水溫上升，并嚴(yán)格控制毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度，保證測量過程中的前后水溫相差不超過1 ℃，得到如圖10所示結(jié)果.

圖10 3個不同點位處不同水溫對應(yīng)的毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度

圖10中不同顏色點代表了不同的取點位置，分析不同取點位置溫度與毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度的關(guān)系存在共性：毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度在30～40 ℃之間隨溫度上升迅速下降，在40 ℃之后隨溫度上升緩慢下降. 根據(jù)超聲空化理論的解釋為溫度的上升減小了空化氣泡的能量，升高了空化區(qū)氣泡的空化閾值，從而導(dǎo)致液面上升高度在降溫前段迅速下降，在降溫后段緩慢下降. 因此在實驗選取的溫度范圍內(nèi)，實驗結(jié)果驗證了溫度對毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度影響的理論分析，即一定溫度范圍內(nèi)超聲毛細(xì)現(xiàn)象與溫度呈負(fù)相關(guān).

2.5 毛細(xì)管內(nèi)徑與液面上升高度的關(guān)系

選用內(nèi)徑分別為0.3,0.4,0.5,1.0 mm的毛細(xì)管，進(jìn)行毛細(xì)超聲現(xiàn)象的實驗，為避免溢出，在聲壓較弱的同一點位進(jìn)行不同內(nèi)徑的對照實驗，得到如圖11所示的實驗結(jié)果. 可以看出，毛細(xì)管內(nèi)徑越大，液面上升高度越低. 由于理論分析中毛細(xì)管口周長與管口面積之比隨半徑增大而反比例減小，因此采用反比例函數(shù)擬合數(shù)據(jù)點，實驗結(jié)果與理論相符，在一定程度上進(jìn)一步驗證了超聲空化理論對毛細(xì)管內(nèi)徑影響因素分析的正確性.

圖11 毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度與毛細(xì)管內(nèi)徑的關(guān)系圖

3 結(jié) 論

本文選用超聲空化理論對超聲毛細(xì)現(xiàn)象進(jìn)行了解釋，利用Matlab計算得到單一空化氣泡運動方程，并研究了聲壓對單泡空化氣泡運動破裂強度的影響，通過超聲空化理論分析了相關(guān)參量對超聲毛細(xì)現(xiàn)象的影響. 研究表明：聲壓是影響超聲毛細(xì)現(xiàn)象的重要因素，只有聲壓高于某一閾值時，超聲毛細(xì)現(xiàn)象明顯，且聲壓大小與液面上升高度呈正相關(guān)；在實驗范圍內(nèi)(30～75 ℃)，溫度與超聲毛細(xì)現(xiàn)象劇烈程度呈負(fù)相關(guān)，在30～40 ℃之間迅速下降，在40 ℃之后緩慢下降；毛細(xì)管內(nèi)徑與超聲毛細(xì)現(xiàn)象呈負(fù)相關(guān).