廖慧敏，田 廣，李 智

(北京大學 物理學院，北京 100871)

共振是自然界普遍存在的基本現(xiàn)象之一，例如，力學系統(tǒng)中彈簧振子的共振、弦的共振，電磁學系統(tǒng)中RLC電路的諧振[1]，光學系統(tǒng)中各種不同類型的光學諧振腔，量子系統(tǒng)中的原子能級躍遷，等等，都是典型的共振現(xiàn)象. 通常最簡單、最常見的共振是單共振現(xiàn)象，孤立的具有單一共振頻率的阻尼振蕩系統(tǒng)在不同頻率的外界驅動下，表現(xiàn)為典型的單共振現(xiàn)象，其振幅隨外界驅動頻率變化表現(xiàn)為洛倫茲線型的響應譜，該線型在系統(tǒng)共振頻率附近呈現(xiàn)近似對稱的分布，如圖1(a)所示. 與之不同的另一類共振是Fano共振[2-3]，其響應譜在系統(tǒng)共振頻率附近呈現(xiàn)明顯的非對稱分布，如圖1(b)所示.

(a)洛倫茲線型

1935年,Fano共振線型在惰性氣體的吸收譜線中被觀察到，并由Fano給出了理論解釋[4-5]. 這種非對稱的共振線型源于原子從初態(tài)到末態(tài)的躍遷過程中不同躍遷路徑之間的干涉效應：當一條躍遷路徑表現(xiàn)為窄譜共振(對應分立態(tài)到分立態(tài)的躍遷)，另一條躍遷路徑表現(xiàn)為寬譜共振或連續(xù)譜(對應分立態(tài)到連續(xù)態(tài)的躍遷)時，2條躍遷路徑之間的干涉會使得系統(tǒng)總的吸收譜線表現(xiàn)出非對稱的Fano共振線型. 后來， 人們陸續(xù)在半導體量子阱、量子點等各類量子體系[6-7]以及光子晶體、回音壁微腔等各類經(jīng)典體系中觀察到Fano共振[8-14]，并且發(fā)現(xiàn)了更加特殊的電磁感應透明(Electromagnetically induced transparency，EIT)現(xiàn)象[15]，該現(xiàn)象被視為Fano共振的特殊情況. 由于Fano共振線型的非對稱特征，其響應譜相比通常的洛倫茲線型更為陡峭、尖銳，在非線性光學、光開關、傳感等領域有重要的應用前景，因此Fano共振也成為了近年來很多前沿領域(如納米光子學等)的研究熱點之一[16-17].

Fano共振是對傳統(tǒng)共振現(xiàn)象的重要補充和拓展，本文嘗試在普通物理實驗層次展示Fano共振現(xiàn)象，建立基礎實驗與前沿研究的聯(lián)系，通過構建耦合諧振電路系統(tǒng)，合理地設置參量，不僅從實驗上很好地展示了Fano共振現(xiàn)象，還展示了類似EIT的現(xiàn)象. 上述實驗結果可以通過理論公式的計算結果進行合理解釋.

1 實驗原理和裝置

根據(jù)Fano共振理論，當具有窄譜共振的振子和具有寬譜共振的振子發(fā)生弱耦合時，有可能產(chǎn)生非對稱的Fano共振線型[17]. 而RLC串聯(lián)諧振電路是典型的共振體系，并且通過改變電阻取值，可以方便地控制體系的品質因子，進而改變體系的共振帶寬.因此，可以采用2個RLC串聯(lián)諧振電路構建2個振子，而2個振子之間的耦合可以通過共用元件來實現(xiàn)，例如采用互感器，通過改變互感器的互感值可以控制2個振子之間的耦合強度.

具體實驗電路如圖2所示，電感L1、電容C1、電阻R1和互感器M的初級線圈LM1構成振子1，由交流信號源驅動，形成回路1，信號源向外輸出的路端電壓為US；電感L2、電容C2、電阻R2和互感器M的次級線圈LM2構成振子2，并形成回路2；振子1和振子2通過互感器M實現(xiàn)耦合.用振子1和振子2構成的耦合系統(tǒng)在回路1中的等效復阻抗Z的倒數(shù)Z-1表征耦合振子系統(tǒng)的響應，等價于固定信號源輸出路端電壓US不變的情況下測量回路1中電流I1的響應[1].具體來說，用復阻抗倒數(shù)的模|Z-1|隨頻率f的變化曲線表征耦合振子系統(tǒng)的幅頻特性，用復阻抗倒數(shù)的相位arg (Z-1)隨f的變化曲線表征耦合振子系統(tǒng)的相頻特性.實驗中，測量信號源的輸出路端電壓US和電阻R1上的電壓UR1隨f的變化，并利用

圖2 觀察Fano共振現(xiàn)象的耦合諧振電路

實驗中使用的電容為RX7-0A型電容箱，電阻為ZX96型電阻箱，電感和互感器均為自制(使用以軟磁鐵氧體環(huán)為磁芯的線圈). 實驗中的信號源和測量儀器可以使用普通正弦波信號發(fā)生器和示波器，為了提高測量速度，自主設計了自動測量系統(tǒng)，信號源為DG1022U型可編程信號發(fā)生器(RIGOL公司)，通過LabVIEW軟件控制信號發(fā)生器輸出一定頻率和幅度的正弦波，然后使用LabVIEW軟件控制USB-6343型數(shù)據(jù)采集卡(NI公司)的2個通道，分別記錄回路1中信號源的輸出路端電壓US和電阻R1上的電壓UR1的穩(wěn)態(tài)波形，并使用LabVIEW編程處理數(shù)據(jù)，一次性獲得系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線的實驗測量結果.

2 典型的Fano共振現(xiàn)象實驗結果

典型的Fano共振出現(xiàn)在弱耦合區(qū). 過小的互感值下，2個振子的耦合太弱，F(xiàn)ano共振現(xiàn)象不明顯；過大的互感值下，2個振子的耦合太強，會導致體系出現(xiàn)復雜的強耦合現(xiàn)象. 實驗中互感器的互感值M=8 mH，互感器初級線圈的自感LM1和次級線圈的自感LM2也都為8 mH，即該互感器的初級和次級線圈恰好處于完全耦合，但是這一條件對于觀察Fano共振現(xiàn)象并非必要.

可以看到，振子1和振子2的幅頻特性曲線都近似為洛倫茲線型，在共振頻率附近共振峰呈現(xiàn)近似對稱分布. 測量得到孤立的振子1和振子2的諧振頻率分別約為2 804 Hz和5 551 Hz，而根據(jù)元件參量值計算得到的理論諧振頻率分別為2 813 Hz和5 627 Hz，實測諧振頻率與理論計算值基本相符，偏差分別為0.3%和1.4%，該偏差主要歸因于各個元件參量值的誤差.

對振子1和振子2構成的耦合系統(tǒng)(圖2所示的電路)進行測量，得到的幅頻特性曲線如圖3(c)所示. 可以看到，在振子2的諧振頻率附近，耦合系統(tǒng)的幅頻特性曲線迅速地從谷變化到峰，表現(xiàn)出明顯的非對稱Fano共振線型. 對應耦合系統(tǒng)的相頻特性曲線的測量結果如圖3(d)所示，耦合系統(tǒng)的相位變化行為同樣與振幅變化行為相關聯(lián).

(a)孤立振子的幅頻特性曲線

3 耦合諧振電路中Fano共振現(xiàn)象的理論分析和解釋

對比圖3(a)和圖3(c)可以發(fā)現(xiàn)，耦合諧振電路中Fano共振線型的非對稱峰谷所在位置與振子2的諧振頻率接近，這暗示非對稱峰谷的出現(xiàn)可能與振子2的共振對振子1的反饋作用有關. 下面通過理論公式和相關計算結果對實驗結果作出解釋.

對于本實驗的耦合電路系統(tǒng)，根據(jù)電路方程可以推導出振子1和振子2構成的耦合系統(tǒng)在回路1中的等效復阻抗的理論表達式為

(1)

其中，

(2)

(3)

L1′=L1+LM1,

(4)

L2′=L2+LM2.

(5)

(a)|Z1|和|Z21|的頻率特性

結合上述理論分析，可以總結出耦合諧振電路系統(tǒng)中Fano共振現(xiàn)象的物理機制：上述現(xiàn)象源于振子1自身的振動與振子2對振子1的反饋作用這2種機制間的干涉. 其中，振子1由外加激勵驅動，是大損耗的寬譜共振；而振子2由振子1通過耦合作用驅動，是小損耗的窄譜共振. 當外加激勵的頻率遠離振子2的諧振頻率時，振子2的振動可以忽略，耦合系統(tǒng)的響應由振子1決定；而當外加激勵的頻率接近振子2的諧振頻率時，振子2對振子1有明顯的反饋作用，并且由于振子2的振動相位在很窄的頻率范圍內(nèi)有接近π的變化，即上述反饋作用與振子1自身振動的相干疊加相應地有從相消到相長的變化，從而使振子1的振幅出現(xiàn)陡峭的非對稱的Fano共振線型. 注意：振子2的相位隨頻率的迅速變化是產(chǎn)生非對稱的Fano共振線型的關鍵.

4 改變參量時的Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象

以上實驗中，設置電容C2=0.02 μF，即孤立振子2的諧振頻率遠大于孤立振子1的諧振頻率. 改變振子1和振子2諧振頻率的相對大小，可以觀察到不同的頻率響應行為.

(a)C2=0.16 μF

5 結束語

本文展示了耦合諧振電路中的Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象，這一簡單的經(jīng)典電路系統(tǒng)可以從普通物理層面上作出完整的理論描述，從而借助理論公式和計算結果對實驗現(xiàn)象給出解釋，幫助學生理解其物理機制. 該實驗所需實驗裝置簡單，測量方法基礎，可以展示出Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象，與前沿研究建立聯(lián)系，激發(fā)學生的學習興趣；同時，對于學生理解共振現(xiàn)象的普遍物理規(guī)律，特別是深入理解相位在共振中的物理意義有幫助，適合作為大學物理實驗的高階內(nèi)容. 需要特別指出的是，雖然本文只是在耦合諧振電路系統(tǒng)中展示了Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象，但是，上述現(xiàn)象在很多物理系統(tǒng)中普遍存在，利用經(jīng)典的力學耦合系統(tǒng)、光學耦合系統(tǒng)，同樣可以用類似的思路實現(xiàn)Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象.