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        立足數(shù)學模型,建立知識結(jié)構(gòu),生成方法思想
        ——以“全等三角形”復習課的教學為例

        2022-12-25 06:13:50仲進勇
        數(shù)學教學通訊 2022年32期
        關(guān)鍵詞:全等三角形對角垂線

        仲進勇

        江蘇省揚州市梅嶺中學 225000

        復習課應(yīng)體現(xiàn)以學生為主體的教學理念,通過精心設(shè)計問題,讓學生建構(gòu)科學的知識體系,從中提煉好的數(shù)學思想方法,使數(shù)學素養(yǎng)得到培養(yǎng).筆者曾主講的一堂“全等三角形”的復習課,獲得了同人的一致好評,現(xiàn)將案例整理成文,與各位同行交流.

        課例簡錄

        (一)教學環(huán)節(jié)1——基本圖形出發(fā),回顧全等判定

        問題1:如圖1所示,射線OC是∠AOB的角平分線,PE⊥OB于點E,PD⊥OA于點D,觀察圖形,你能從中得到哪些結(jié)論呢?為什么?

        圖1

        生1:因為射線OC是∠AOB的角平分線,PE⊥OB于點E,PD⊥OA于點D,根據(jù)角平分線性質(zhì)定理,得PE=PD;因為∠EOP=∠DOP,∠OEP=∠ODP=90°,所以∠EPO=∠DPO,即PO平分∠EPD.

        生2:在△EOP 與△DOP 中,因 為PE=PD,OP公用,根據(jù)斜邊直角邊定理,得Rt△EOP≌Rt△DOP,所 以O(shè)E=OD.因為OE=OD,EP=DP,根據(jù)線段垂直平分線的逆定理,得直線OC是線段ED的垂直平分線.

        師:很好,這兩位同學重點關(guān)注了△EOP與△DOP的對應(yīng)相等關(guān)系,如果從圖形的整體來看,觀察四邊形EODP有什么特殊性質(zhì)呢?

        生3:四邊形EODP是一個對角互補的四邊形,因為∠OEP=∠ODP=90°,四邊形內(nèi)角和為360°,所以∠EOD+∠EPD=180°.

        設(shè)計意圖通過復習回顧角平分線性質(zhì)的基本圖形,讓學生從線段之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系、三角形之間的關(guān)系三個方面初步認識基本圖形,為后續(xù)圖形變換的學習做好鋪墊.其中,引導學生觀察四邊形對角互補的特征,旨在培養(yǎng)學生整體感知圖形的意識,讓學生養(yǎng)成善于觀察思考和善于總結(jié)的良好思維意識.

        (二)教學環(huán)節(jié)2——變換圖形,探究發(fā)現(xiàn)

        問題2:如圖2所示,射線OC是∠AOB的角平分線,∠PEO+∠PDO=180°,你能從圖中得到哪些結(jié)論呢?

        圖2

        生4:因為∠PEO+∠PDO=180°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°,得∠EOD+∠EPD=180°.因為射線OC是∠AOB的角平分線,如圖3所示,過點P向∠AOB兩邊作垂線,即PM⊥OB,PN⊥OA,垂足分別為點M,N,根據(jù)角平分線的性質(zhì),得PM=PN.

        圖3

        師:在圖3中,根據(jù)角平分線的性質(zhì),得線段PM=PN,那么線段PE與PD有何數(shù)量關(guān)系呢?

        生5:線段PE=PD,因為四邊形PMON是對角互補的四邊形,即∠EOD+∠MPN=180°,而∠EOD+∠EPD=180°,根據(jù)同角的補角相等,得∠MPN=∠EPD,所以∠EPM=∠DPN,在△PME與△PND中,因為∠EMP=∠DNP=90°,∠EPM=∠DPN,PM=PN,所以△PME≌△PND(ASA),所以PE=PD.

        師:很好!這位同學應(yīng)用全等三角形證明了PE=PD,關(guān)于證明PE=PD還有其他的思路嗎?

        生6:既然四邊形PEOD是對角互補的四邊形,那么四邊形EODP是圓的內(nèi)接四邊形,如圖4所示,當點E,O,D,P四點共圓時,因為射線OC是∠AOB的角平分線,所以∠EOP=∠DOP,根據(jù)圓周角定理,得弧EP=弧DP,根據(jù)圓心角定理,得EP=DP.

        圖4

        師:從這里我們初步發(fā)現(xiàn),在對角互補的四邊形中,如果一條對角線平分一個角,那么對角的兩邊相等.

        設(shè)計意圖筆者首先讓學生獨立思考,自主得到結(jié)論,然后順著學生作出的兩條垂線引導學生探究線段PE與PD的數(shù)量關(guān)系,學生自然能利用全等三角形去證明.為了拓展學生思維,加強知識融合,筆者引導學生尋找不同的解法,于是有了輔助圓的解法.此題主要培養(yǎng)學生學會分析題意和善于將未知圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形,在教學過程中,學生可能說出的結(jié)論比較多,這就需要教師抓住核心——探究的結(jié)論進行引導,進行總結(jié)歸納,讓教學主線更突出.

        (三)教學環(huán)節(jié)3——典例剖析,強化模型

        問題3:如圖5所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點D是AC的中點,∠EDF=90°,求證:DE=DF.

        圖5

        師:題中重要的已知條件是什么?欲求證的結(jié)論是什么?

        生7:題中重要的已知條件包括:(1)△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC;(2)點D是底邊AC的中點;(3)∠EDF=90°.欲求證的結(jié)論是:DE=DF.

        師:圖5中存在前面學過的幾何模型嗎?為什么?如何把幾何模型轉(zhuǎn)化為基本型呢?

        生8:圖5中存在前面學過的幾何模型,即對角互補的四邊形EBFD,因為∠ABC=90°,∠EDF=90°,所以四邊形EBFD是對角互補的四邊形.為了轉(zhuǎn)化幾何模型,需要連接BD,如圖6,過點D作DM⊥AB于點M,作DN⊥BC于點N.

        圖6

        生9:因為△ABC是等腰直角三角形,點D是底邊AC的中點,根據(jù)等腰三角形三線合一,得BD平分∠ABC.因為DM⊥AB,DN⊥BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì),得DM=DN.在四邊形BMND中,因為∠DMB=∠DNB=∠ABC=90°,所以∠MDN=90°.因為∠EDF=90°,根據(jù)同角的余角相等,得∠MDE=∠NDF.因為∠DMB=∠DNF=90°,DM=DN,所以△MDE≌△NDF(ASA),所以DE=DF.

        師:很好!這位同學使用了作垂線的方法構(gòu)造對角互補的基本圖形.除了這種方法,還有沒有其他的方法呢?

        生10:也可以只連接BD,通過證明△EBD≌△FCD,得到DE=DF.因為在△EBD 與△FCD 中,∠EBD=∠C=45°,BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△EBD≌△FCD(ASA).

        生11:也可以連接BD,證明△AED≌△BFD,得 到DE=DF.因 為△AED 與△BFD 中,∠A=∠DBF=45°,AD=BD,∠ADE=∠BDF,所以△AED≌△BFD(ASA).

        設(shè)計意圖問題中BD是∠ABC的角平分線是隱含條件,有利于培養(yǎng)學生挖掘隱含條件的能力.通過引導,學生發(fā)現(xiàn)了解決這個問題的三種方法,提高了靈活運用知識解決問題的能力.

        (四)教學環(huán)節(jié)4——變式訓練,提高轉(zhuǎn)化能力

        問題4:讓圖5的∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)一定的角度,如圖7所示,BD是所在直角的平分線,DE交直角的反向延長線于點E,∠EDF=90°,求證:DE=DF.

        圖7

        師:題中的圖形能否轉(zhuǎn)化為對角互補的四邊形呢?方法是什么?

        生12:題中的圖形可以轉(zhuǎn)化為對角互補的四邊形,方法仍然過點D作直角兩邊的垂線DM,DN,垂足分別是點M,N,其中四邊形MBND就是對角互補的四邊形,如圖8所示.

        圖8

        師:接下來如何證明DE=DF?

        生13:可以通過證明△MDE≌△NDF,得到DE=DF.因為BD是角平分線,DM,DN是垂線,根據(jù)角平分線性質(zhì)定理,得DM=DN,因為∠MBN=90°,所以∠MDN=90°;因為∠EDF=90°,根據(jù)同角的余角相等,得∠MDE=∠NDF;在△MDE與△NDF中,因為∠MDE=∠NDF,DM=DN,∠DME=∠DNF=90°,所以△MDE≌△NDF(ASA),所以DE=DF.

        師:這位同學利用作雙垂線構(gòu)造對角互補的四邊形獲得了證明,還有其他的方法嗎?

        生14:還可以過點D作BD的垂線交BF于點N,通過證明△BDE≌△NDF,得到DE=DF,如圖9所示.

        圖9

        生15:還可以過點D作BD的垂線交EB的延長線于點M,通過證明△MDE≌△BDF,得到DE=DF,如圖10所示.

        圖10

        ……

        課例反思

        (一)復習基礎(chǔ),構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

        思想方法的形成必須以知識為依托.因此,在復習過程中,要加強基礎(chǔ)知識的復習與回顧,把零散的知識串聯(lián)起來,構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò).本節(jié)課在深入研究對角互補的幾何模式時,加強全等三角形判定方法與性質(zhì)的復習整理,同時強調(diào)用多種方法解答同一問題,實現(xiàn)知識的有效串聯(lián).

        (二)形成方法,優(yōu)化方法

        學習方法的形成有利于達到會一題、通一類的教學目的.本節(jié)課從角平分線的基本圖形出發(fā),從特殊到一般,從常規(guī)到變形,不斷總結(jié)歸納解題思路與方法,達到了多題一解的目的,使學生有效掌握了解決問題的基本方法.

        (三)關(guān)注思想,有效滲透

        數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂,在中考復習中,教師要設(shè)計拓展提高題,滲透數(shù)學思想方法,以提高學生的數(shù)學能力.在本節(jié)課中,通過基本數(shù)學模型的構(gòu)建,滲透了數(shù)學建模的思想;通過將非常規(guī)圖形轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形,滲透了轉(zhuǎn)化思想,有效提高了教學效果.

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