◎江蔓蔓

(廣州航海學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部(人文社科部)，廣東 廣州 510725)

1 引言

數(shù)列極限的存在性證明是高等數(shù)學(xué)中的常見問題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點.次可加數(shù)列是數(shù)學(xué)中常見的一類數(shù)列.本文以次可加數(shù)列關(guān)于其項數(shù)之比的極限存在性問題為例，分析如何利用上下極限與下確界來證明數(shù)列極限的存在性.本文的第二部分以泛函分析中線性算子的譜半徑以及動力系統(tǒng)中單位圓周的保向自同胚的旋轉(zhuǎn)數(shù)這兩個概念為例，說明次可加數(shù)列在數(shù)學(xué)中的重要作用.

2 次可加數(shù)列的極限性質(zhì)及其兩種證明方法

證法一(上下極限)：我們固定一個正整數(shù)k.

對于任意的正整數(shù)n，都存在唯一的整數(shù)p，r，使得n=pk+r并且0≤r≤k-1.

不難看出，當(dāng)n趨于無窮大時，p也趨于無窮大.

令R=max{ai:0≤i≤r-1}.我們有如下關(guān)系：

(1)

令n→∞，并對不等式(1)的左右兩邊取上極限可得：

由于k可取為任意正整數(shù)，

令k→∞，并對上式左右兩邊取下極限可得：

事實上，將n表示成奇偶形式：n=2p+r，其中r∈{0，1}.

因此，我們有如下關(guān)系：

接下來我們考慮A為有限值的情形.根據(jù)下確界的定義，對于任意ε，存在正整數(shù)k，使得：

(2)

對于任意的正整數(shù)n，存在唯一的整數(shù)p，r，使得n=pk+r并且0≤r≤k-1.

不難看出，當(dāng)n趨于無窮大時，p也趨于無窮大.

令R=max{ai:0≤i≤r-1}.我們有如下關(guān)系：

注2：比較上述給出的兩種方法：定義法相對于上下極限法的優(yōu)勢在于目標(biāo)明確，不足之處在于需要事先猜測可能的極限值.在大多數(shù)情況下，數(shù)列極限值并不明確，也不易猜測.相比之下，上下極限法則不需要猜測極限值.同時，數(shù)列的上極限與下極限總是存在的.因此，對于上下極限法，我們所需要的是證明這兩者相等.

3 應(yīng)用

次可加現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中非常常見，比如我們熟知的三角不等式(對于平面上任意三點A，B，C，A到C的距離不大于A到B的距離與B到C的距離之和)以及測度的次可加性(可測集A與B之并的測度不大于A的測度與B的測度之和).次可加數(shù)列廣泛應(yīng)用于泛函分析、動力系統(tǒng)、遍歷論、隨機過程等現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支.本文以旋轉(zhuǎn)數(shù)與譜半徑為例加以說明.

3.1 旋轉(zhuǎn)數(shù)

由于F:R1→R1是f:S1→S1的提升映射，因此F(x+1)=F(x)+1.由于f:S1→S1保持定向，因此若x,y∈R1滿足x-y≤1，則有F(x)-F(y)≤1.由此可知，若x-y≤k，則Fm(x)-Fm(y)≤k.由遞推可知：

Fm(x)-Fm(y)≤k(?x-y≤k)

(3)

對于所有非負整數(shù)m與k都成立.令kn(x)表示Fn(x)-x的整數(shù)部分(即不超過Fn(x)-x的最大整數(shù))，則Fn(x)-x≤kn(x)+1≤Fn(x)-x+2.從而有：

Fm+n(x)-x=(Fm(Fn(x))-Fm(x))+(Fm(x)-x)

≤kn(x)+1+(Fm(x)-x)

≤(Fn(x)-x)+2+(Fm(x)-x).

因此數(shù)列{Fn(x)-x+2}n≥1是次可加數(shù)列.

對于任意x,y∈R1，記M為不小于|x-y|的最小整數(shù)，

則|x-y|≤M.由(3)式可知|Fn(x)-Fn(y)|≤M對于任意非負整數(shù)n都成立.從而：

綜上，保向自同胚映射f:S1→S1的旋轉(zhuǎn)數(shù)是良好定義的.

3.2 譜半徑

注意到如下關(guān)系：

||Am+n||≤||Am||·||An||.

對上式兩邊取對數(shù)可得：

lg||Am+n||≤lg||Am||+lg||An||.

4 結(jié)語

次可加數(shù)列是數(shù)學(xué)中非常常見的一類數(shù)列，本文從上下極限與下確界兩個角度證明了次可加數(shù)列關(guān)于其項數(shù)之比的極限存在性.同時，本文還選取了譜半徑與旋轉(zhuǎn)數(shù)這兩個概念來說明次可加數(shù)列的應(yīng)用，以加深學(xué)生對次可加數(shù)列的理解.