沈祺航， 劉小會*,2， 閔光云,3， 伍 川， 張 博

(1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074；2.重慶交通大學 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；3.中山大學 中法核工程與技術學院，珠海 519082； 4.國網(wǎng)河南省電力公司電力科學研究院,鄭州 450052)

1 引 言

覆冰導線舞動會使得金具磨損及線路破壞，嚴重阻礙線路的正常運行，給國民經(jīng)濟帶來巨大損失[1]。由此可知，研究覆冰導線舞動對開發(fā)防舞、抑舞技術具有重要的工程實用價值。由于實驗代價昂貴，人們經(jīng)常采用數(shù)值模擬研究覆冰導線舞動特征。楊威等[2]利用Abaqus模擬覆冰二分裂導線的舞動，研究相間間隔棒對不同排列方式的導線防舞效果。劉小會等[3,4]系統(tǒng)地研究了覆冰四分裂導線舞動特征，使用直接離散法或間接離散法離散動張力應變，發(fā)現(xiàn)不同離散法下覆冰四分裂導線位移響應存在一定的區(qū)別；不同自由度下覆冰四分裂導線的位移響應也有明顯區(qū)別。樓文娟等[5]研究六分裂覆冰導線舞動特性與風速和頻率等關系，判定了輸電線線路的起舞風速。楊曉輝[6]利用Abaqus有限元軟件建立覆冰六分裂導線模型，對雙擺防舞器的設計與使用提出改進方案。

大部分學者研究覆冰導線舞動時沒有考慮溫度效應的影響，為計算方便,用近似模態(tài)來作為導線面內模態(tài)[3，4,7]。趙珧冰等[8]研究指出索力和頻率對溫差變化十分敏感。這些分析說明研究覆冰導線舞動時有必要考慮溫度效應和不同面內模態(tài)的影響。

本文建立考慮溫度效應的覆冰導線舞動簡化模型，推導并求解對應的舞動方程。根據(jù)數(shù)值模擬結果分析了溫度效應對覆冰導線張力、頻率和舞動特征的影響，并比較使用不同面內模態(tài)時覆冰導線時程曲線的區(qū)別。

2 覆冰導線的舞動方程

建立兩端鉸接的覆冰導線簡化模型，如圖1所示。以左懸掛點為原點建立笛卡爾坐標系O-x-y-z，兩鉸接點連線為x軸，y軸正方向垂直于x軸向下，z軸正方向垂直于x和y決定的平面向內。

圖1 單跨導線模型

圖1中l(wèi)為導線檔距，d為導線垂度。x，y和z表示靜態(tài)位移，u1，u2和u3表示x，y和z方向的動態(tài)位移。

為簡化計算，本文根據(jù)實際情況做以下假設。

(1) 忽略覆冰導線的彎曲剛度和剪切剛度；忽略覆冰導線的軸向運動和扭轉運動。

(2) 假設垂跨比d/l<1/8，即可采用拋物線構型描述導線的靜態(tài)構型。靜態(tài)構型y和垂度的表達式分別為

(1)

式中g為重力加速度，m為導線單位長度質量，H為導線靜態(tài)水平張力。

(3) 假設覆冰均勻分布在導線上，不計覆冰的質量；假設溫度應力沿導線橫截面均勻變化。

(4) 忽略溫度變化對彈性模量、阻尼系數(shù)和邊界條件的影響。

2.1 靜態(tài)構型中的平衡方程

覆冰導線只受重力時，靜態(tài)的平衡方程可表示為

(2)

式中ds為導線微元長度，N1為導線的切向張力，在弧垂較小時可近似認為ds≈dx，N1≈H。

2.2 熱應力狀態(tài)的平衡方程

覆冰導線受溫度影響后會形成新的熱應力構型[9]，熱應力狀態(tài)下的平衡方程可表示為

(3)

(4)

式中p1和p2為初始溫度和變化后的單位荷載，α為熱膨脹系數(shù)，t1和t2為初始溫度和變化后的溫度，E為彈性模量，A為橫截面面積。

2.3 動態(tài)構型

覆冰導線在受風荷載下形成動態(tài)構型，動態(tài)的平衡方程可表示為

(5)

式中u1和u2為由風荷載引起的x和y方向上位移，N3為覆冰導線的動張力，可表示為

N3=EAε

(6)

式中ε為動應變，而每個位置的動應變其實差別不是很大，所以ε可表示為

(7)

根據(jù)三種不同構型的平衡方程得到覆冰導線的非線性振動方程組,

(8a)

(8b)

使用模態(tài)截斷法把位移函數(shù)分離成一階模態(tài)函數(shù)Ψ2(x)和Ψ3(x)與振型函數(shù)q2(t)和q3(t)的乘積。

u2(x,t)=Ψ2(x)q2(t)，u3(x,t)=Ψ3(x)q3(t)

(9)

將式(9)代入式(8)，應用伽遼金法把偏微分方程組(8)轉化為常微分方程組，得到覆冰導線二自由度振動方程組為

(10a)

(10b)

篇幅所限，各項系數(shù)表達式不一一列舉。

在求解式(5)時只考慮線性項，并根據(jù)導線的位移邊界條件可得面內精確模態(tài)的表達式為

(11)

在式(11)的正對稱模態(tài)時，包含頻率的超越方程表達式[12]為

(12)

式中λ2=(EA/H)(mgl/H)2，λ為與垂度相關的Irvine參數(shù)[13]。

3 覆冰導線氣動荷載特性

3.1 建立氣動荷載模型

研究舞動及其防治技術的前提條件是確定覆冰導線的氣動力荷載[14]。本文基于以下假設建立如圖2所示的新月形覆冰導線橫截面的模型。

圖2 覆冰導線橫截面

(1) 平均風沿z軸水平方向從左向右吹過來。(2) 覆冰的形狀是新月形；厚度和形狀延導線保持不變。(3) 基于準定常理論，不考慮導線運動對氣動參數(shù)的影響。

圖2中PD和PL是平均風引起的阻力和升力，PD方向與相對風速的方向一致，PL方向與PD垂直向上。U為平均風速，Ur為相對風速，α為風攻角，α0為初始風攻角。

根據(jù)空氣動力學理論，覆冰導線無量綱的氣動力系數(shù)定義為

(13)

式中Cy和Cz分別為y和z方向的升力系數(shù)和阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，D為裸導線的直徑。

3.2 氣動力系數(shù)

劉小會等[4]進行風洞試驗，獲得了在風速 18 m/s，風攻角α=55°，冰厚12 mm時氣動力系數(shù)的數(shù)據(jù)。通過三次曲線擬合測得的數(shù)據(jù)可以得到氣動力系數(shù)表達式為

Cy=-0.9606α-1.40716α2+97.62315α3

(14a)

Cz=2.39795α-7.00826α2-119.95612α3

(14b)

將式(14)代入式(13)得y和z方向的升力及阻力表達式為

(15a)

(15b)

把式(15)代入式(10)得

(16a)

(16b)

4 多尺度法對非線性方程求解

覆冰導線的舞動問題屬于弱非線性振動問題，對于弱非線性問題的分析，多尺度法可以計算其穩(wěn)態(tài)響應和暫態(tài)響應。利用多尺度法求解式(16)得

(17a)

(17b)

(17c)

式中a2和a3為舞動幅值，θ2和θ3為初始相位，令式(17)等式右邊為零可以得到覆冰導線的穩(wěn)態(tài)幅值。

5 數(shù)值算例及結果分析

本文選擇LGJ-400/50鋼芯鋁絞線，各項物理參數(shù)為導線的長度300 m，單位長度質量1.511 kg/m，重力加速度9.8 m/s2。橫截面積599.5862 mm2，彈性模量6.9×104N/mm2。裸導線直徑27.63 mm，初始張力2.9308×104N，y方向的阻尼比0.067×10-2，z方向阻尼比 0.067×10-3，空氣密度 1.2929 kg/m3,風速18 m/s，熱膨脹系數(shù) 19.3×10-6℃-1。

鋼芯鋁絞線會因為溫度變化產(chǎn)生熱脹冷縮現(xiàn)象，從而改變垂度和張力的值，進而導致舞動特征改變。由于導線一階振動頻率振幅比較大，與Irvine參數(shù)密切相關，圖3給出了當覆冰導線在溫度均勻變化的情況下，一階正對稱模態(tài)頻率與Irvine參數(shù)的關系圖。

圖3 溫度變化對Irvine參數(shù)與無量綱頻率λ之間的關系曲線

圖3所示頻率隨著λ的增加而增加，降溫40 ℃時，頻率變化最大相差28.4%；Irvine參數(shù)λ較小時，溫度變化對頻率影響不明顯；Irvine參數(shù)λ增大到一定范圍時，溫度越低則頻率越低；Irvine參數(shù)λ較大時，溫度變化對頻率影響也不明顯。這是由于導線頻率對溫度的敏感性取決于導線的長寬比。在導線垂度較小或者較大時，導線的頻率對溫度敏感性都不高，這與使用有限元方法得出的結論相吻合[11]。

本文選擇四種常見的初始張力來研究溫度變化對張力比值的影響。

圖4所示覆冰導線不同初始拉力時，溫度對張力比值的影響并不一致。當覆冰導線初始張力為2×104N，降溫40 ℃時，張力的比值變化最小為20.51%；而初始張力為4×104N，降溫40 ℃時，張力的比值變化最大為40.4%。降溫使得導線張力增大，與實驗結果和實際工程相符[15，16]。這是由于求解式(4)可以得知溫度下降對張力的影響很大。當初始張力在某一范圍時，降溫會導致張力變化更大。

圖4 溫度變化對輸電線張力比值的影響

由式(11)可知模態(tài)中包含頻率，所以使用不同模態(tài)計算幅值會有誤差，為了比較面內使用不同模態(tài)對覆冰導線時程曲線的影響，本文采用數(shù)值模擬方法，如圖5和圖6所示，面外模態(tài)都用Ψ3(x)=sin(πx/l)。

圖5所示黑色曲線是采用精確模態(tài)式(11)計算得到的舞動時程曲線。當弧垂比較小時，部分學者也使用面內的近似模態(tài),Ψ2(x)=sin(πx/l)，使用近似模態(tài)計算得到的舞動時程曲線見紅色曲線。在前40 s，兩種模態(tài)下面內幅值很接近。近似模態(tài)下覆冰導線舞動在80 s左右趨于穩(wěn)定，精確模態(tài)下在60 s時就趨于穩(wěn)定，兩者相差33.3%。趨于穩(wěn)定時，近似模態(tài)下覆冰導線面內幅值接近0.95 m，而精確模態(tài)覆冰導線接近0.46 m，兩者相差106.5%。近似模態(tài)下圓頻率2.49，精確模態(tài)下圓頻率2.52，兩者相差1.1%。

圖5 面內位移響應

使用多尺度法得到近似模態(tài)下面內穩(wěn)態(tài)幅值0.94 m，精確模態(tài)面內穩(wěn)態(tài)幅值0.45 m，結果與龍格庫塔函數(shù)求得的幅值基本一致。

圖6所示兩種模態(tài)下的覆冰導線舞動都在70 s左右時趨于穩(wěn)定。在面外位移響應趨于穩(wěn)定前，精確模態(tài)的幅值略大于近似模態(tài)；在趨于穩(wěn)定后，兩種模態(tài)的幅值都接近0.23 m。由此得知面內使用不同模態(tài)對覆冰導線面外舞動影響并不大。

圖6 面外位移響應

本文使用精確模態(tài)作面內模態(tài)，得到覆冰導線舞動已經(jīng)穩(wěn)定時，三種溫度下的位移時程曲線圖。

圖7所示，溫度降低使覆冰導線舞動的周期減小，面內位移增大。在0 ℃時，覆冰導線的幅值接近0.43 m，周期2.51。在-40 ℃時，覆冰導線幅值接近0.46 m，周期2.73。從0 ℃降溫到-40 ℃，兩者幅值相差6.97%，周期相差8.76%。

如圖8所示，在0 ℃時，覆冰導線幅值接近 0.23 m，周期2.56。在-40 ℃時，覆冰導線幅值接近0.31 m，周期2.46。從0 ℃降溫-40 ℃，兩者幅值相差34.78%，周期相差3.90%。

圖8 溫度對面外位移響應曲線的影響

6 結 論

本文建立了考慮溫度影響的覆冰輸電線舞動控制方程，分析了溫度效應對導線張力及第一階對稱模態(tài)對應的頻率的影響，進一步使用多尺度法和數(shù)值方法研究了溫度變化對覆冰導線舞動特征的影響，研究結果如下。

(1) 溫度對第一階對稱模態(tài)對應的無量綱頻率有顯著的影響，而對無量綱頻率影響的強弱與Irvine參數(shù)λ有關。

(2) 溫度對覆冰輸電線的張力影響十分顯著，溫度對導線張力影響大小主要取決于初始張力的一定范圍內。

(3) 溫度下降后覆冰導線的面內舞動幅值變化不大，但面外舞動幅值顯著增加；面內舞動周期增大，面外舞動周期減小。另外近似模態(tài)與精確模態(tài)計算得到的舞動幅值相差較大，所以舞動分析時應選用精確模態(tài)。