李曉照， 車 行， 邵珠山， 戚承志

(1.北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 100044；2.西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710055)

1 引 言

脆性巖石是深部地下工程圍巖重要組成部分，此外，脆性巖石內(nèi)部存在大量初始細(xì)觀裂紋，外部荷載作用嚴(yán)重影響了脆性巖石內(nèi)部裂紋擴(kuò)展行為，進(jìn)而影響巖石的宏觀力學(xué)特性。眾多學(xué)者通過試驗(yàn)研究了單軸壓縮、三軸壓縮、單軸拉伸及軸向拉伸側(cè)向壓縮作用下[1-4]，脆性巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，討論了側(cè)向壓縮應(yīng)力對(duì)巖石強(qiáng)度影響，并通過聲發(fā)射、電鏡掃描及CT掃描等技術(shù)分析了巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋變化情況。也有學(xué)者通過有限元、離散元和有限差分法等數(shù)值方法[5-7]，研究了不同外部荷載作用下的巖石力學(xué)特性及內(nèi)部細(xì)觀裂紋擴(kuò)展行為。通過理論解析方法，研究了單軸壓縮或三軸壓縮作用下巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋擴(kuò)展誘發(fā)的變形行為[8,9]。

以上是關(guān)于短時(shí)間內(nèi)，側(cè)向壓縮荷載恒定，軸向壓縮或拉伸荷載漸進(jìn)增大作用下，脆性巖石準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的研究。當(dāng)外部荷載長(zhǎng)時(shí)間恒定不變時(shí)，脆性巖石蠕變特性研究對(duì)于評(píng)價(jià)深部地下工程圍巖長(zhǎng)期穩(wěn)定性也有著重要的意義。因此，眾多學(xué)者試驗(yàn)研究了單軸壓縮、三軸壓縮和單軸拉伸作用下脆性巖石的蠕變行為[10-12]，并結(jié)合彈性、粘性及塑性流變模塊的不同組合，建立巖石蠕變模型；同時(shí)也通過聲發(fā)射監(jiān)測(cè)技術(shù)，研究了脆性巖石內(nèi)部微裂紋變化行為。也有學(xué)者通過有限元和離散元等數(shù)值模擬方法[13,14]，研究了單軸壓縮或三軸壓縮作用下，脆性巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋誘發(fā)的蠕變力學(xué)特性。此外，通過理論解析方法，還研究了單軸壓縮或三軸壓縮作用下，脆性巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋擴(kuò)展演化誘發(fā)的宏觀變形力學(xué)行為[15]。

綜上，關(guān)于側(cè)向拉伸與軸向壓縮荷載作用下，脆性巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋變化力學(xué)機(jī)理及該機(jī)理與宏觀變形關(guān)系尚不清楚。深部地下隧道開挖卸載過程中，隧道圍巖承受的應(yīng)力狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生各種變化，其中側(cè)向拉伸且軸向壓縮也是一種重要的受力狀態(tài)[16,17]，精確地判斷該應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)特性，對(duì)深部隧道圍巖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)也具有重要意義。

因此，本文將在前期關(guān)于側(cè)向及軸向均為壓縮應(yīng)力作用下巖石力學(xué)模型的[8,15]基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究側(cè)向拉應(yīng)力對(duì)軸向壓縮應(yīng)力作用下脆性巖石的應(yīng)力-裂紋擴(kuò)展關(guān)系、應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，以及巖石蠕變裂紋長(zhǎng)度及應(yīng)變演化特性的影響。

2 理論模型

2.1 裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致的軸向壓縮應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系

基于圖1中軸向壓縮應(yīng)力作用下細(xì)觀翼型裂紋力學(xué)模型，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子為[8,15,18]

(1)

(2)

(3)

S=π1/3[3/(4NV)]2/3

(4)

(5)

(6)

圖1 側(cè)向受拉且軸向壓縮脆性巖石細(xì)觀裂紋擴(kuò)展模型

裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KI達(dá)到臨界值KI C時(shí)，巖石發(fā)生斷裂。因此，基于式(1)，巖石的應(yīng)力狀態(tài)與擴(kuò)展裂紋長(zhǎng)度間的關(guān)系為[8]

(7)

(8)

(9)

B3=[π(l+βa)]-3/2+

(10)

基于細(xì)觀與宏觀定義的損傷，宏觀應(yīng)變與細(xì)觀裂紋擴(kuò)展間的關(guān)系可建立為[19]

ε1=εo[-ln(1-(l/a+1)3Do)]1/m

(11)

式中m和εo為材料常數(shù)。將l=0代入方程(11)，得到裂紋啟裂應(yīng)變?chǔ)?c i；將llim代入方程(11)，得到巖石裂紋貫通極限應(yīng)變?chǔ)?f，該值可近似判斷巖石失效應(yīng)變。

將式(11)代入式(7)，翼型裂紋擴(kuò)展誘發(fā)的軸向應(yīng)力與應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系[19]為

(ε1c i<ε1<ε1f)(12)

(13)

(14)

此外，翼型裂紋啟裂前(即l=0)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系假設(shè)為線性彈性行為。將l=0代入方程(7)，可得到裂紋啟裂應(yīng)力σ1c i，結(jié)合裂紋啟裂應(yīng)變?chǔ)?c i，經(jīng)計(jì)算，裂紋啟裂前應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示為

(0<ε1≤ε1c i)(15)

式(12，15)共同描述了巖石初始彈性、應(yīng)變硬化與軟化及失效階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

2.2 側(cè)向拉壓應(yīng)力判別條件

本文理論模型中壓縮應(yīng)力為負(fù)值，拉應(yīng)力為正值。模型中巖石裂紋擴(kuò)展機(jī)制可以描述為，遠(yuǎn)端應(yīng)力作用下，巖石內(nèi)部初始裂紋面的剪切應(yīng)力克服初始裂紋面法向壓應(yīng)力導(dǎo)致的摩擦力，進(jìn)而引起初始裂紋兩端產(chǎn)生翼型裂紋擴(kuò)展。因此，本文模型需滿足不等式關(guān)系(16)，

(16)

通過求解不等式(16)，得到軸向壓應(yīng)力作用下，側(cè)向應(yīng)力為拉壓應(yīng)力時(shí)需要滿足的參數(shù)范圍為

(17)

(18)

滿足不等式(17)，側(cè)向應(yīng)力為壓縮應(yīng)力時(shí)，脆性巖石力學(xué)關(guān)系已經(jīng)得到廣泛研究[8,15,19]。然而，對(duì)于滿足不等式(18)條件的脆性巖石拉應(yīng)力作用下，巖石軸向壓縮力學(xué)行為研究很少，因此，本文重點(diǎn)關(guān)注該方面的研究。

此外，值得注意的是，不等式(18)中，當(dāng)側(cè)向應(yīng)力為拉應(yīng)力時(shí)，巖石內(nèi)部初始裂紋面上的法向應(yīng)力是壓縮應(yīng)力，即σn<0。那么是否存在初始裂紋面法向應(yīng)力為拉應(yīng)力的情況。如果存在，則初始面摩擦力消失，則不等式關(guān)系滿足

(19)

根據(jù)不等式(19)，求解得到軸向壓縮應(yīng)力作用下，初始裂紋面法向應(yīng)力為拉應(yīng)力時(shí)，需要滿足的參數(shù)要求如下，

(20)

如果初始裂紋面法向應(yīng)力為拉應(yīng)力，則導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展的楔力Fw重新定義為

(21)

將方程(21)替換方程(2)，則一個(gè)新的類似于方程(7)的應(yīng)力-裂紋擴(kuò)展關(guān)系和方程(12)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系方程可以推出。然而，經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在固定側(cè)向拉應(yīng)力作用，軸向壓縮應(yīng)力漸進(jìn)變化而引起的翼型裂紋擴(kuò)展過程中，不能同時(shí)滿足方程(20)條件，即初始裂紋面法向應(yīng)力為拉應(yīng)力的情況不可能出現(xiàn)。因此，本文模型關(guān)于側(cè)向受拉，軸向壓縮應(yīng)力作用下，脆性巖石內(nèi)部初始裂紋面法向應(yīng)力只能取負(fù)，即為壓縮應(yīng)力，考慮初始裂紋面摩擦系數(shù)。

2.3 側(cè)向受拉且軸向壓縮脆性巖石蠕變失效方程

對(duì)于脆性巖石側(cè)向受拉、軸向壓應(yīng)力作用下，裂紋擴(kuò)展誘發(fā)的蠕變時(shí)間演化力學(xué)特性，可結(jié)合應(yīng)力強(qiáng)度因子方程(1)與亞臨界裂紋擴(kuò)展法則dl/dt=v(KI/KI C)n [20]，滿足不等式(18)的條件下，翼型裂紋擴(kuò)展速率演化方程為

(22)

式中v為特征裂紋速率，n為應(yīng)力腐蝕參數(shù)。求解微分方程(22)，可推出翼型裂紋長(zhǎng)度時(shí)間演化結(jié)果。給定應(yīng)力狀態(tài)下微分方程的初始裂紋長(zhǎng)度可通過方程(7)應(yīng)力-裂紋長(zhǎng)度關(guān)系獲得。方程(22)側(cè)向應(yīng)力定義為與時(shí)間相關(guān)函數(shù)σ3(t)，可分析側(cè)向應(yīng)力變化路徑影響下的巖石蠕變裂紋擴(kuò)展行為。

早晨刮胡子，剃須刀斷了。我也沒怎么用力，可是剃須刀的脖子卻啪的一聲，斷了。一次性剃須刀？當(dāng)然不是。這是吉列公司的最新產(chǎn)品，價(jià)格將近六千元。再?zèng)]有比它更結(jié)實(shí)的了，如果不是有人故意把它弄斷，它不可能自己折斷。我才用了一個(gè)月，就變成了這樣。

結(jié)合方程(22)得到的翼型裂紋長(zhǎng)度演化結(jié)果與方程(11)，裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致的軸向應(yīng)變演化為

(23)

3 結(jié)果與討論

本文基于前期提出的錦屏大理巖三軸壓縮應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系及蠕變演化宏細(xì)觀力學(xué)模型[8,15]，考慮初始裂紋面法向應(yīng)力及剪切應(yīng)力正負(fù)方向判別條件，展開進(jìn)一步深入研究。具體模型參數(shù)選取方法參考文獻(xiàn)[8]。由于目前軸向漸進(jìn)壓縮、側(cè)向拉伸作用下的實(shí)驗(yàn)研究較難實(shí)施，因此本文是在前期已經(jīng)驗(yàn)證的三軸壓縮宏細(xì)觀理論模型基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè)與討論。具體研究結(jié)果如下。

3.1 側(cè)向拉壓應(yīng)力對(duì)初始裂紋面楔力影響

初始裂紋面上的楔力，對(duì)于側(cè)向受拉壓作用，軸向壓縮巖石力學(xué)行為有著重要的影響。圖3給出了側(cè)向拉壓應(yīng)力對(duì)楔力的影響曲線，側(cè)向應(yīng)力由壓到拉轉(zhuǎn)化過程中，楔力不斷增大，即側(cè)向壓應(yīng)力越大，楔力越小，側(cè)向拉應(yīng)力越大，楔力越大。

圖2研究了初始裂紋尺寸、摩擦系數(shù)及裂紋角度對(duì)楔力與側(cè)向應(yīng)力關(guān)系的影響。隨著初始裂紋尺寸增大和摩擦系數(shù)的減小，在給定側(cè)向應(yīng)力時(shí)，楔力越大。隨著裂紋角度的增大，給定側(cè)向應(yīng)力，楔力先增大，后減小，即存在一個(gè)最不利裂紋角度。文獻(xiàn)[8]對(duì)于裂紋角度對(duì)軸向與側(cè)向壓縮作用下的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)曲線進(jìn)行了詳細(xì)討論，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究的軸向壓縮與側(cè)向拉伸作用下應(yīng)力應(yīng)變曲線存在相同的變化趨勢(shì)，因此不再贅述，本文將重點(diǎn)分析側(cè)向拉應(yīng)力對(duì)巖石軸向壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線及壓縮蠕變演化曲線的影響。

圖2 側(cè)向應(yīng)力與楔力關(guān)系

3.2 側(cè)向拉壓應(yīng)力對(duì)軸向漸進(jìn)壓縮失效特性影響

圖3給出了側(cè)向應(yīng)力由壓應(yīng)力到拉應(yīng)力轉(zhuǎn)換過程中，巖石壓縮軸向應(yīng)力與裂紋長(zhǎng)度關(guān)系曲線、軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線、初始彈性模量、裂紋啟裂應(yīng)力及峰值強(qiáng)度變化規(guī)律。

圖3 側(cè)向拉壓應(yīng)力對(duì)軸向應(yīng)力-裂紋長(zhǎng)度曲線、軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線、初始彈性模量Ei n i、峰值強(qiáng)度σ1peak與裂紋啟裂應(yīng)力σ1 c i的影響

在軸向應(yīng)力與裂紋長(zhǎng)度關(guān)系曲線、軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線中，在給定裂紋長(zhǎng)度或應(yīng)變下，隨著側(cè)向壓應(yīng)力增大，軸向應(yīng)力不斷增大；隨著側(cè)向拉應(yīng)力增大，軸向應(yīng)力不斷減小。隨著側(cè)向壓縮應(yīng)力增大，巖石初始彈性模量、裂紋啟裂應(yīng)力及峰值強(qiáng)度逐漸增大，隨著側(cè)向拉應(yīng)力增大，巖石初始彈性模量、裂紋啟裂應(yīng)力及峰值強(qiáng)度逐漸減小。圖3(d)中側(cè)向拉應(yīng)力下的裂紋啟裂應(yīng)力與峰值強(qiáng)度之間的軸向應(yīng)力取值范圍，為側(cè)向拉伸與軸向壓縮蠕變特性的恒定應(yīng)力狀態(tài)選取提供了依據(jù)。

3.3 側(cè)向拉應(yīng)力對(duì)軸向壓縮蠕變失效特性影響

圖4 側(cè)向拉應(yīng)力對(duì)蠕變過程中裂紋長(zhǎng)度l、裂紋速率l′、軸向應(yīng)變?chǔ)?、應(yīng)變率蠕變破壞時(shí)間tf及穩(wěn)態(tài)蠕變率影響

3.4 側(cè)向拉-壓應(yīng)力突變對(duì)軸向壓縮蠕變失效影響

3.3節(jié)研究了恒定軸向壓縮應(yīng)力與恒定側(cè)向拉壓應(yīng)力作用下的脆性巖石蠕變演化曲線。圖5(a,b)研究了側(cè)向應(yīng)力由壓應(yīng)力到拉應(yīng)力的突變轉(zhuǎn)化，對(duì)軸向壓縮蠕變裂紋長(zhǎng)度、裂紋速率、軸向應(yīng)變及應(yīng)變率演化曲線的影響。在側(cè)向壓應(yīng)力階段，裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變經(jīng)歷了減速增大到穩(wěn)態(tài)增大的蠕變演化，在側(cè)向拉應(yīng)力階段，裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變經(jīng)歷了減速增大、穩(wěn)態(tài)增大及加速增大直至失效的蠕變演化。側(cè)向應(yīng)力由壓到拉的突變，導(dǎo)致了裂紋速率或軸向應(yīng)變率的突增，進(jìn)而導(dǎo)致在短時(shí)間內(nèi)裂紋長(zhǎng)度或軸向應(yīng)變也產(chǎn)生了一個(gè)較大的增量。

圖5 側(cè)向拉-壓應(yīng)力突變及壓-拉應(yīng)力突變對(duì)軸向壓縮蠕變裂紋長(zhǎng)度及應(yīng)變演化影響

在側(cè)向拉應(yīng)力階段的穩(wěn)態(tài)裂紋速率及應(yīng)變率均大于側(cè)向壓應(yīng)力階段的穩(wěn)態(tài)裂紋速率及應(yīng)變率。

圖5(c,d)研究了側(cè)向應(yīng)力由拉應(yīng)力到壓應(yīng)力突變轉(zhuǎn)化，對(duì)軸向壓縮蠕變裂紋長(zhǎng)度、裂紋速率、軸向應(yīng)變及應(yīng)變率演化曲線的影響。在側(cè)向拉應(yīng)力階段，裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變經(jīng)歷了減速增大、穩(wěn)態(tài)增大及加速增大的蠕變演化，此時(shí)的加速蠕變并沒有導(dǎo)致巖石的最終失效；在側(cè)向壓應(yīng)力階段，裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變經(jīng)歷了穩(wěn)態(tài)增大及加速增大直至失效的蠕變演化。側(cè)向應(yīng)力由拉到壓的突變，導(dǎo)致了裂紋速率或軸向應(yīng)變率的突降，進(jìn)而導(dǎo)致在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)裂紋長(zhǎng)度或軸向應(yīng)變?cè)隽坎淮蟆?cè)向壓應(yīng)力階段的穩(wěn)態(tài)裂紋速率及應(yīng)變率均小于側(cè)向拉應(yīng)力階段的穩(wěn)態(tài)裂紋速率及應(yīng)變率。

3.5 側(cè)向拉應(yīng)力分級(jí)加載對(duì)軸向壓縮蠕變失效影響

圖6給出了側(cè)向拉應(yīng)力分級(jí)增大作用下，軸向壓縮蠕變裂紋長(zhǎng)度、裂紋速率、軸向應(yīng)變及應(yīng)變率演化曲線。隨著側(cè)向拉應(yīng)力分級(jí)增大，裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變都分別經(jīng)歷了多次的減速增大至穩(wěn)態(tài)增大演化，直至最后一次側(cè)向拉應(yīng)力增大，在短時(shí)間內(nèi)裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變分別經(jīng)歷了一個(gè)減速增大、穩(wěn)態(tài)增大及加速增大的演化，直至巖石最終失效。

圖6 側(cè)向拉應(yīng)力分級(jí)加載及軸向恒定壓縮應(yīng)力作用下，脆性巖石蠕變翼型裂紋長(zhǎng)度、裂紋速率、軸向應(yīng)變及應(yīng)變率演化曲線

loading of lateral tensile stress and the constant axial stress

4 結(jié) 論

基于脆性巖石細(xì)觀裂紋擴(kuò)展模型中初始裂紋面法向應(yīng)力與剪切應(yīng)力正負(fù)方向關(guān)系，確定了軸向壓縮作用下，側(cè)向應(yīng)力拉壓判別條件。提出側(cè)向受拉的軸向壓縮應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，以及軸向壓縮蠕變應(yīng)變演化模型。結(jié)論如下。

(1) 側(cè)向恒定拉應(yīng)力和軸向壓縮應(yīng)力漸進(jìn)變化過程中，脆性巖石內(nèi)部初始裂紋面法向應(yīng)力為壓應(yīng)力。側(cè)向應(yīng)力由壓縮轉(zhuǎn)化為拉伸時(shí)，脆性巖石峰值強(qiáng)度、裂紋啟裂應(yīng)力與彈性模量均逐漸減小。即峰值強(qiáng)度、裂紋啟裂應(yīng)力及彈性模量隨側(cè)向壓應(yīng)力增大而增大，隨側(cè)向拉應(yīng)力增大而降低。

(2) 在恒定軸向壓縮蠕變作用下，由側(cè)向壓應(yīng)力逐漸轉(zhuǎn)化為拉應(yīng)力的過程中，巖石蠕變失效時(shí)間不斷減小，巖石穩(wěn)態(tài)蠕變應(yīng)變率不斷增大。當(dāng)側(cè)向應(yīng)力由壓應(yīng)力突變?yōu)槔瓚?yīng)力，導(dǎo)致了裂紋速率或軸向應(yīng)變率的突增，進(jìn)而導(dǎo)致在短時(shí)間內(nèi)裂紋長(zhǎng)度或軸向應(yīng)變產(chǎn)生較大的增量；側(cè)向應(yīng)力由拉到壓的突變，導(dǎo)致了裂紋速率或軸向應(yīng)變率的突降，進(jìn)而導(dǎo)致在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)裂紋長(zhǎng)度或軸向應(yīng)變?cè)隽坎淮蟆?/p>

(3) 隨側(cè)向拉應(yīng)力的分級(jí)增大，裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變都分別經(jīng)歷了多次的減速增大至穩(wěn)態(tài)增大的演化，直至最后一個(gè)側(cè)向拉應(yīng)力階段，巖石裂紋長(zhǎng)度及軸向應(yīng)變產(chǎn)生加速增大，直至巖石失效。

本文提出的脆性巖石宏細(xì)觀力學(xué)模型中，所有裂紋尺寸或角度均假設(shè)為相同值，且僅考慮了兩個(gè)裂紋間相互作用，是一種平均化方法。該方法不能很好地分析隨機(jī)裂紋分布下，多個(gè)裂紋相互作用下導(dǎo)致的巖石非均力學(xué)特性。因此，如何研究隨機(jī)分布裂紋巖石力學(xué)特性是需要進(jìn)一步解決的問題。