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        四邊簡支功能梯度圓錐殼的非線性振動分析

        2022-12-19 04:40:36張宇航劉文光呂志鵬
        計算力學(xué)學(xué)報 2022年6期
        關(guān)鍵詞:張角圓錐振動

        張宇航, 劉文光, 劉 超, 呂志鵬

        (南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院,南昌 330063)

        1 引 言

        由高韌性、耐腐蝕金屬和耐高溫陶瓷組成的功能梯度材料FGMs(Functionally Gradient Materials)不僅具備良好的力學(xué)特性,而且具有優(yōu)異的熱防護性能,在高超音速飛行器的熱防護系統(tǒng)設(shè)計中具有良好的應(yīng)用前景。然而,由于高超音速飛行器服役時,振動貫穿其發(fā)射和飛行直至著落等全部過程,所以,了解FGMs結(jié)構(gòu)的振動特性對于熱防護系統(tǒng)的動力學(xué)設(shè)計具有重要的意義。

        在高超音速飛行器結(jié)構(gòu)中,板殼是最為常見的構(gòu)件之一。近年來,針對FGMs板殼結(jié)構(gòu)的振動力學(xué)問題,研究者做了大量的研究工作。蔣偉男等[1]研究了簡支和固支邊界條件下FGMs夾層板的自由振動。利用一階剪切變形理論,Liu等[2]討論了多種邊界條件下幾何尺寸和材料組分對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。結(jié)合Love薄殼理論和微分求積法,Ebrahimi等[3]推導(dǎo)了FGMs殼的自由振動方程,分析了FGMs殼的模態(tài)頻率??紤]材料沿徑向呈梯度分布,滕兆春等[4]采用微分求積法求解了不同邊界條件下FGMs環(huán)扇形板的自由振動頻率。基于Flügge理論,楊萌等[5]研究了FGMs圓柱殼振動響應(yīng)的計算方法。

        動載荷作用下,板殼結(jié)構(gòu)經(jīng)常發(fā)生大的幾何變形,致使越來越多研究者關(guān)注FGMs板殼的非線性振動。Allahverdizadeh等[6]建立了FGMs薄板的振動方程,采用半解析法求解了薄板的非線性自由振動和軸對稱受迫振動?;赟igmoid材料分布函數(shù),Wang等[7]研究了含孔隙FGMs薄板的非線性振動特性?;贙irchhoff薄板理論,胡宇達等[8]研究了熱環(huán)境對FGMs圓板非線性強迫振動響應(yīng)的影響,分析了FGMs圓板進入混沌運動的路徑。Nayfeh等[9]采用多尺度分析法求解非線性方程,討論了邊界條件對圓板非線性振動響應(yīng)的影響??紤]彈性基礎(chǔ)的作用,Sheng等[10]研究了彈簧系數(shù)對FGMs圓柱殼非線性振動的影響??紤]剪切應(yīng)力的作用,Sofiyev等[11]研究了正交異性FGMs圓柱殼的非線性振動特性。

        工程實踐中,板殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域,尤其在高超音速飛行器結(jié)構(gòu)中,很多結(jié)構(gòu)設(shè)計為圓錐形。在保證結(jié)構(gòu)耐用性和使用壽命的前提下,圓錐殼不僅節(jié)省了材料用量、減輕了結(jié)構(gòu)重量和提高了經(jīng)濟性能,而且圓錐殼有利于減少飛行阻力,提高飛行速度。高速飛行時,錐殼結(jié)構(gòu)不可避免地要承受振動沖擊和高溫高壓等載荷的作用,致使圓錐殼產(chǎn)生非線性振動[12,13]。與其他板殼結(jié)構(gòu)不同,圓錐殼的半徑隨不同位置而不同,建模和計算的難度增大,甚至導(dǎo)致計算不可求。因此,本文以FGMs圓錐殼為對象,考慮von-Karman幾何非線性,并結(jié)合Galerkin方法推導(dǎo)出FGMs圓錐殼的單自由度非線性振動微分方程,并探討圓錐殼幾何參數(shù)以及陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對非線性振動響應(yīng)的影響,進一步推進FGMs在高超音速飛行器熱防護結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用。

        2 FGMs圓錐殼模型

        如圖1所示為FGMs開口圓錐殼,假設(shè)殼的幾何尺寸分別為,殼厚為h,母線長為L,圓錐小端的半徑為R1,圓錐大端的半徑為R2,圓錐殼的半錐角為α0,圓錐殼的張角為θ0。

        以圓錐殼的中面為基準(zhǔn),建立圖1所示的柱面坐標(biāo)系(x,θ,z)。坐標(biāo)系中,x表示圓錐殼的母線方向,θ表示圓錐的圓周方向,z表示圓錐殼的厚度方向。

        圖1 FGMs圓錐殼模型

        假設(shè)FGMs圓錐殼的外表面為純陶瓷,內(nèi)表面為純金屬。材料沿厚度方向的分布用Voigt模型來描述[14],其物理屬性表達式為

        P(z)=PcVc(z)+PmVm(z)

        (1)

        (2)

        式中N為陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)。

        3 FGMs圓錐殼的運動方程

        根據(jù)一階剪切變形理論,F(xiàn)GMs圓錐殼上任意點的位移沿x,θ和z軸上的分量可由中面上的位移表示為[15]

        (3)

        式中u,v和w為圓錐殼上任意一點的位移,u0,v0和w0為圓錐殼中面上的位移,Φx和Φθ分別為圓錐殼沿軸x和θ方向的轉(zhuǎn)角,t為時間變量。

        因此,F(xiàn)GMs圓錐殼的動能K為

        R(x)dSdz

        (4)

        圓錐殼中面任意一點的半徑R是關(guān)于坐標(biāo)x的函數(shù),

        R(x)=R1+xsin(α0)

        (5)

        考慮von-Karman幾何非線性,圓錐殼的應(yīng)變分量與中面位移分量的關(guān)系為

        (6)

        式中

        (7)

        基于胡克定律,F(xiàn)GMs圓錐殼的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

        (8)

        式中σx和σθ為殼內(nèi)任意一點沿x和θ方向的正應(yīng)力,τx θ為xθ平面內(nèi)的切應(yīng)力,τx z為xz平面的切應(yīng)力,τθ z為θz平面的切應(yīng)力,Qi j(i,j=1,2,6)為剛度元素。

        因此,F(xiàn)GMs圓錐殼的應(yīng)變能U為

        τθ zγθ z+τx zγx z)R(x)dSdz

        (9)

        考慮式(14,15),根據(jù)Hamilton原理[2],F(xiàn)GMs圓錐殼的運動方程可表示為

        (10a)

        (10b)

        Nxw0,xR(x),x+Nx,xw0,xR(x)+

        (10c)

        (10d)

        (10e)

        式中Nx,Nθ和Nx θ為內(nèi)力,Mx和Mθ為彎矩,Mx θ為扭矩,下標(biāo),表示對變量求導(dǎo),上標(biāo) ¨ 表示對時間t求二階導(dǎo)數(shù),I1,I2和I3為慣性矩,表達式為

        (11)

        假設(shè)FGMs圓錐殼四邊簡支,其位移函數(shù)可表示為[16]

        (12)

        式中um n(t),vm n(t),wm n(t),pm n(t)和qm n(t)為關(guān)于時間t的變量,n和m分別為環(huán)向波數(shù)和軸向波數(shù)。

        4 FGMs圓錐殼的非線性振動求解

        將式(12)代入式(10),應(yīng)用Galerkin積分,只考慮橫向振動[17],圓錐殼簡化為單自由度模型,

        (13)

        式中Q1為線性剛度系數(shù),Q2和Q3為非線性剛度系數(shù)。

        為便于后續(xù)分析,令

        (H=1 m)

        (14)

        將式(14)代入式(13),可得

        (15)

        (i=1,2,3)(16)

        考慮式(15)含強非線性項,使用L-P法求出的結(jié)果與實際有較大誤差[18]。本文采用改進的L-P法分析FGMs圓錐殼的非線性振動。根據(jù)改進的L-P法,可得圓錐殼的非線性頻率ωm n,n - l和位移W,即

        (17)

        (18)

        (19)

        式中A為初始無量綱振幅,ωm n 0為線性頻率。

        (20)

        5 討論與分析

        5.1 模型驗證

        SUS304和Si3N4的材料參數(shù)列入表1。假設(shè)圓錐殼的幾何尺寸為L/R1=4,R1/h=20,θ0=120°,α0=15°,h=0.01 m。通過式(20)計算了FGMs圓錐殼的模態(tài)頻率,并與文獻[19]進行對比,圖2 結(jié)果表明,兩者十分吻合。

        圖2 FGMs圓錐殼無量綱頻率的對比

        圖3和圖4對比了A=1時的位移響應(yīng)以及相圖的解析解和數(shù)值解。結(jié)果表明,采用改進的L-P法時,選取的階數(shù)滿足求解精度。因此,后續(xù)研究采用改進的L-P法計算非線性頻率以及頻域響應(yīng),使用Runge-Kutta法計算時域響應(yīng)。

        圖3 FGMs圓錐殼的非線性位移比較(m=1,n=1,N=1)

        圖4 FGMs圓錐殼的速度與位移相圖比較

        5.2 圓錐殼結(jié)構(gòu)對振動頻率的影響

        圖5研究了張角θ0取90°,120°和180°時,圓錐角對非線性頻率的影響。結(jié)果表明,當(dāng)α0取0°~50°時,F(xiàn)GMs圓錐殼的非線性頻率隨著錐角的增大而增大;當(dāng)α0大于50°時,非線性頻率顯著下降,減小速率由明顯趨于平緩。而當(dāng)α0越趨近90°時,張角對FGMs圓錐殼的非線性頻率影響微小。

        圖5 不同張角下圓錐角對頻率的影響(N =1,A =0.01)

        圖6研究了α0分別取0°,30°和45°時,張角θ0對線性頻率的影響。結(jié)果表明,θ0在20°~40°范圍內(nèi)時,非線性頻率隨θ0的增大而減小,非線性頻率下降幅度明顯。在θ0較小的范圍內(nèi),錐角α0的變化對FGMs圓錐殼的頻率影響不大。在結(jié)構(gòu)上,圓錐殼結(jié)構(gòu)趨近閉合時,即θ0不斷增大至180°,此過程中其頻率逐漸增大。值得一提的是,當(dāng)α0=90°時,結(jié)構(gòu)變?yōu)閳A環(huán)結(jié)構(gòu),與取其他錐角情況不同,F(xiàn)GMs圓錐殼的頻率隨θ0增大而逐漸減小,θ0越大,頻率的下降幅度越小,最后趨近于平穩(wěn)。

        圖6 不同圓錐角下張角對頻率的影響(N =1,A =0.01)

        分析認(rèn)為,增大FGMs圓錐殼的張角,會降低錐角α0對頻率的影響。即θ0取小值時,結(jié)構(gòu)頻率的變化主要取決于θ0,與之相反,F(xiàn)GMs圓錐殼趨于圓環(huán)時,頻率變化主要受圓錐角α0的影響。

        5.3 FGMs組分對振動響應(yīng)的影響

        圖7給出了不同陶瓷體積分?jǐn)?shù)對圓錐殼頻率比的影響。圖8研究了不同體積分布指數(shù)對圓錐殼位移響應(yīng)的影響。

        圖7 不同N時振幅與非線性頻率比的關(guān)系(A =0.01)

        圖8 不同N時FGMs圓錐殼的位移-時間曲線(m =1,n =1,A =1)

        結(jié)果表明,隨著N的增大,頻率比增大,但整體上分布指數(shù)對頻率影響不明顯;N并不改變圓錐殼的振動趨勢,只是通過影響頻率從而改變振動周期。

        5.4 結(jié)構(gòu)幾何尺寸對振動響應(yīng)的影響

        圖9研究了L/R1分別取5,10和20時,初始振幅對頻率的影響。圖10給出了L/R1對位移響應(yīng)的影響??梢钥闯觯穹酱?頻率比越大,且變化速率越來越快,是由于長徑比越大,結(jié)構(gòu)剛度減小,頻率下降,導(dǎo)致振動周期增大。圖11給出了不同h/R1時,頻率比隨振幅的變化情況。圖12研究了h/R1對位移響應(yīng)的影響。分析發(fā)現(xiàn),與L/R1類似,h/R1越大,圓錐殼的非線性頻率比越小。h/R1越大,圓錐殼的剛度越大,相對應(yīng)的振動周期縮短。

        圖9 不同長徑比時振幅與非線性頻率比的關(guān)系(N =1,A =0.01)

        圖10 不同長徑比時FGMs圓錐殼的位移-時間曲線(m =1, n =1,N =1,A =1)

        圖11 不同厚徑比時振幅與非線性頻率比的關(guān)系(N =1,A =0.01)

        圖12 不同厚徑比時FGMs圓錐殼的位移-時間曲線(m =1,n =1,N =1,A =1)

        6 結(jié) 論

        在考慮von-Karman幾何非線性的基礎(chǔ)上,利用Galerkin法對圓錐殼的運動方程進行離散化處理,得到圓錐殼的非線性自由振動微分方程,然后采用改進的L-P法以及Runge-Kutta法求解,得到方程的解析解和數(shù)值解,研究了圓錐殼的幾何尺寸以及陶瓷體積分布指數(shù)對其頻率以及響應(yīng)的影響。主要結(jié)論如下。

        (1) 增大FGMs圓錐殼的張角,錐角對頻率的影響減??;當(dāng)圓錐殼結(jié)構(gòu)趨近于圓環(huán)時,圓錐殼的張角對頻率影響甚微。因此,合理設(shè)計圓錐殼的圓錐角和張角可有效節(jié)約材料。

        (2) 陶瓷體積分布指數(shù)越大,陶瓷材料占比越小,圓錐殼的剛度越小,非線性頻率越小,振動周期隨之增大。

        (3) 增大圓錐殼的長度和厚度,圓錐殼的非線性頻率比減小。因此,改變圓錐殼的幾何參數(shù)會影響整個結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。

        (4) 改變功能梯度材料的組分和錐殼的幾何尺寸,都會導(dǎo)致圓錐殼的非線性幅頻特性曲線呈向右彎曲的態(tài)勢,圓錐殼具有明顯的彈簧漸硬非線性振動特性。

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