閻 巖, 武力兵, 趙楠楠, 張瑞艷

(1. 遼寧科技大學(xué)理學(xué)院，鞍山 114051; 2. 遼寧科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，鞍山 114051)

0 引言

在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的執(zhí)行器、傳感器等部件經(jīng)常會發(fā)生各種故障，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定以及性能的惡化。因此，自適應(yīng)容錯控制方法的研究受到了更多的關(guān)注。在文獻(xiàn)[1]中，針對一類帶有執(zhí)行器故障和外部擾動的不確定線性系統(tǒng)研究了魯棒自適應(yīng)容錯控制補(bǔ)償問題。同時，通過設(shè)計自適應(yīng)容錯控制器以及合適的自適應(yīng)律保證了系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂于零。在文獻(xiàn)[2]中，研究了帶有執(zhí)行器故障和時滯的不確定切換非仿射非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)容錯控制問題。文獻(xiàn)[3]則對一類帶有未知死區(qū)的不確定非線性大系統(tǒng)，提出了自適應(yīng)容錯控制研究方案。伴隨著模糊理論的發(fā)展，模糊自適應(yīng)容錯控制的研究也越來越廣泛[4–5]。

1999 年，?Astr¨om 等人發(fā)表了兩篇關(guān)于事件觸發(fā)的文章[6–7]，這也激起了眾多學(xué)者對事件觸發(fā)控制研究的熱情。傳統(tǒng)的觸發(fā)技術(shù)，主要是以周期觸發(fā)形式進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，該方法會導(dǎo)致不必要的資源浪費(fèi)，控制器更新頻率以及計算負(fù)擔(dān)。而事件觸發(fā)控制是根據(jù)設(shè)計的觸發(fā)機(jī)制對所采樣的數(shù)據(jù)是否傳輸進(jìn)行判斷，只有符合所設(shè)定的條件時數(shù)據(jù)才會被傳輸。文獻(xiàn)[8]針對一類不確定非線性系統(tǒng)設(shè)計了三種不同策略的事件觸發(fā)控制方法，文獻(xiàn)[9]研究了一類帶有執(zhí)行器故障不確定非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題，文獻(xiàn)[10]將事件觸發(fā)與模型預(yù)測控制相結(jié)合來研究無人駕駛汽車的路徑跟隨問題。Fan 和Wang 兩人針對一類多輸入T-S 模糊系統(tǒng)，研究了事件觸發(fā)滑?？刂茊栴}[11]；之后，他們對一類帶有外部擾動的線性系統(tǒng)，研究了事件觸發(fā)積分滑模控制器的設(shè)計問題[12]。就目前的研究成果來看，如何設(shè)計自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制器是本文的研究難點(diǎn)。

基于以上考慮，本文研究一類帶有執(zhí)行器故障和控制方向未知非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制問題。主要是利用反步法[13]與模糊理論相結(jié)合，設(shè)計出自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制器。在本文所考慮的非線性系統(tǒng)中：

1) 與文獻(xiàn)[8—9]研究的系統(tǒng)相比，本文所考慮系統(tǒng)中的非線性函數(shù)是完全未知的；

2) 未知控制系數(shù)是一個有界的實(shí)函數(shù)而不是簡單的常數(shù)；

3) 與文獻(xiàn)[9]相比較，本文在控制器的設(shè)計中引入了Nussbaum 函數(shù)[14]，避免了符號函數(shù)帶來的抖振現(xiàn)象。

1 問題描述

1.1 非線性系統(tǒng)

考慮如下的非線性系統(tǒng)

其中

ˉxn ∈Rn, u ∈R 和y ∈R 分別是系統(tǒng)狀態(tài)變量、控制輸入和輸出；fk(ˉxk)和g(ˉxn)是未知的非線性函數(shù)；dk(t)表示外部擾動。

所考慮的執(zhí)行器故障模型如下

其中υ表示實(shí)際的控制信號；ρ和γ(t)分別表示執(zhí)行器故障因子和有界函數(shù)，且存在γ?>0，使得|γ(t)|≤γ?。

最后，聯(lián)立式(1)和式(2)，系統(tǒng)可被重新表示為

控制目標(biāo)：設(shè)計自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制器Γ(t)和相應(yīng)的自適應(yīng)更新律，確保所有的閉環(huán)信號一致最終有界，且系統(tǒng)的跟蹤誤差能收斂到原點(diǎn)的一個小鄰域內(nèi)。

1.2 基本假設(shè)及引理

假設(shè)1 假設(shè)外部擾動dk(t)是連續(xù)有界的，即存在一個正的常數(shù)δk，使得|dk(t)|≤δk, k=1,2,··· ,n。

引理3[18]在[0,ts)上定義兩個光滑函數(shù)η(·)和V(·)，且V(t)≥0, ?t ∈[0,ts)。如果N(η)為光滑的Nussbaum 函數(shù)，則有

這里p和q是正常數(shù)；g(t)∈[m1,m2]是一個變量，m1和m2是常數(shù)，且滿足0m2>m1，則V(t)和η(t)在[0,ts)上仍保持有界。

引理4[19]f(X)是定義在緊集?X ?Rn上的連續(xù)非線性函數(shù)，存在一個對應(yīng)的FLSW(X)=QTG(X)，使得

這里的?X和?Q均是緊集。因此，非線性函數(shù)f(X)可以重寫為

其中|ω(X)|≤ω?，ω?>0 為期望的誤差精度。

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

2.1 自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制器設(shè)計

首先，假設(shè)參照信號yr和它的導(dǎo)數(shù)y(k)r(k= 1,2,··· ,n)是有界的且分段連續(xù)，跟蹤誤差定義如下

其中N(?)=?2cos(?)是Nussbaum 函數(shù)，p>0 是正的常數(shù)。

控制信號和事件觸發(fā)機(jī)制如下

其中e(t)=Γ(t)?υ(t)為測量誤差，用于確定事件觸發(fā)的瞬間。閾值ε是一個正的常數(shù)，其中0<|ˉb|ε ≤ˉε。tk(k ∈Z+)表示輸入更新時間，當(dāng)事件觸發(fā)機(jī)制被觸發(fā)時，時間將被立即標(biāo)記為tk+1，并且控制信號υ(tk+1)將應(yīng)用到系統(tǒng)當(dāng)中。需要注意的是，控制信號在t ∈[tk,tk+1)中保持為常數(shù)Γ(tk)。

構(gòu)造下面的Lyapunov 函數(shù)

然后在間隔時間[tk,tk+1)中，從式(37)，我們得到|Γ(t)?υ(t)|≤ε。因此，存在一個連續(xù)時變參數(shù)θ(t)滿足θ(tk) = 0, θ(tk+1) =±1，并且|θ(t)|≤1, ?t ∈[tk,tk+1)，使得Γ(t)=υ(t)+θ(t)ε。考慮到這一點(diǎn)，我們有

從引理2 中，我們得出?mtanh(m/p)≤?p ?|m|，并將其代入到式(40)中，有

可以得到

相應(yīng)地，復(fù)合函數(shù)

定理1 對于不確定非線性系統(tǒng)(1)，在滿足已知假設(shè)條件下，所設(shè)計的自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制器以及自適應(yīng)參數(shù)更新律能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號一致有界且跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個小鄰域內(nèi)。同時，存在常數(shù)t?>0，使得對任意的k ∈Z+，內(nèi)部執(zhí)行時間{tk+1?tk}≥t?。

2.2 穩(wěn)定性分析

將引理3 應(yīng)用到式(51)中，我們可知Vn(t)、?和zk(k=1,2,··· ,n)均是有界的。由式(12)可知，x1,?1,··· ,xn,?n有界。從式(33)～(35)，我們可以得到Γ(t)和˙?是有界的，即閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號一致有界。

此外，為了避免Zeno 現(xiàn)象，我們要證明存在常數(shù)t?> 0，使得對任意的k ∈Z+，內(nèi)部執(zhí)行時間間隔{tk+1?tk}≥t?。根據(jù)e(t)=Γ(t)?υ(t)，可以得到

由式(33)和式(34)可知，Γ(t)是可微的且˙Γ(t)中所有的閉環(huán)信號都一致有界。因此，存在常數(shù)μ> 0，滿足| ˙Γ(t)|≤μ。由e(tk) = 0 和limt→tk+1e(t) =ε，可知存在間隔時間t?滿足t?≥ε/μ，從而有效地避免了Zeno 行為。

3 仿真算例

給出如下非線性系統(tǒng)

其中

參照信號選作yr=0.8 sin(t)，取以下隸屬函數(shù)和模糊基函數(shù)

系統(tǒng)在第10 秒發(fā)生故障

仿真參數(shù)取作ξ1= 100, ξ2= 10, α1= 5, α2= 8, ?= 0.1, p= 30, ε= 0.12,ˉε=10, ?= 6，初始條件[x1(0),x2(0),?χ(0),?(0)]T= [0,0.5,5,0.2]T，仿真結(jié)果如圖1 至圖6 所示。

從圖1 和圖2 可以看出，系統(tǒng)的輸出能夠有效地跟蹤參照信號yr且控制輸入信號發(fā)生故障后系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定狀態(tài)。圖3 展示了自適應(yīng)律?χ和?的曲線。圖4 和圖5 表示控制輸入信號和事件觸發(fā)時間間隔，在20 秒內(nèi)，事件觸發(fā)控制器觸發(fā)次數(shù)為1 406 次。圖6 為將本文控制方法與參考文獻(xiàn)[8]中基于固定閾值法的事件觸發(fā)控制方法對比所得到的仿真結(jié)果，通過調(diào)整參數(shù)系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但觸發(fā)次數(shù)高達(dá)1 758 次。很明顯，本文所設(shè)計的自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制方案效果更好。

圖1 系統(tǒng)輸出y 和參照信號yr 的響應(yīng)曲線

圖2 跟蹤誤差z1 的響應(yīng)曲線

圖3 自適應(yīng)律?χ 和? 的響應(yīng)曲線

圖4 控制輸入信號υ 和Γ 的響應(yīng)曲線

圖5 事件觸發(fā)時間間隔

4 結(jié)論

本文針對一類帶有執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)，研究了模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制問題。利用反步法，設(shè)計出自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制器以及相應(yīng)的自適應(yīng)律。同時，給出的事件觸發(fā)機(jī)制有效地減輕了計算負(fù)擔(dān)。通過Lyapunov 函數(shù)穩(wěn)定性分析，保證了所有閉環(huán)信號在給定的緊集內(nèi)一致最終有界。最后，通過仿真算例驗(yàn)證了本文所提出自適應(yīng)事件觸發(fā)容錯控制方法的有效性。