許 灝, 魏芝雅, 彭旭輝

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，長沙 410081)

0 引言

近年來，學(xué)者們在保險精算領(lǐng)域的研究有很多[1–4]，考慮以下的經(jīng)典風(fēng)險模型

其中u為初始基金，c表示單位時間保費收入，{N(t),t ≥0}是一個Poisson 過程，Xi(i=1,2,···)為獨立同分布的索賠序列。Poisson 過程的期望等于方差，這可能與實際情況不一致。在現(xiàn)實中，計數(shù)過程中的方差往往大于期望，這種現(xiàn)象通常被稱為過度離散。許多模型用于描述過度離散，如廣義線性混合模型、擬似然模型、泊松回歸模型和多元統(tǒng)計模型等。在過去的幾年中，由于Poisson-Geometric 過程更加貼合保險行業(yè)的實際情況，獲得了廣泛的關(guān)注。因此，關(guān)于這個話題有大量的文獻，毛澤春和劉錦萼[5]研究了模型(1)，當{N(t),t ≥0}為Poisson-Geometric 過程。

然而，在實際中保費收入可能并不像模型(1)中關(guān)于時間的線性函數(shù)。為了彌補模型(1)的缺陷，Boikov[6]用另外一個復(fù)合Poisson 過程代替經(jīng)典模型中的線性保費收入部分，推導(dǎo)出了關(guān)于生存概率的微積分方程。Dufresne 和Gerber[7]、Furrer 和Schmidli[8]則考慮在模型中加入布朗運動來模擬外界環(huán)境的干擾。趙金娥等[9]研究了一個Poisson-Geo metric 過程的風(fēng)險模型，其中保費和索賠的發(fā)生均服從復(fù)合泊松幾何過程。Sundt 和Teugels[10]研究了帶利率的風(fēng)險模型，在此模型下對破產(chǎn)概率進行了估計。除此之外，Kalashnikov 和Norberg[11]、Zhu 等[12]對帶投資的風(fēng)險模型進行了研究，在各自模型下分別得到了最終破產(chǎn)概率。多維風(fēng)險模型也是研究的熱點，Cheng 和Wang[13]、Li 等[14]均對二維風(fēng)險模型進行了研究，得到了關(guān)于破產(chǎn)概率的上界估計和對參數(shù)變化的性質(zhì)。近年來，Poisson-Geometric 計數(shù)過程得到了廣泛關(guān)注。毛澤春和劉錦萼[15]研究了一個索賠是Poisson-Geometric 過程的風(fēng)險模型，在他們的論文中，分析了破產(chǎn)概率的更新方程，得到了個人債權(quán)分布為phase-type 時的破產(chǎn)概率表達式。廖基定等[16]則在Poisson-Geometric 風(fēng)險模型下求出了Gerber-Shiu 折現(xiàn)罰金函數(shù)的更新方程和破產(chǎn)概率的Pollazed-Khinchin 公式。受風(fēng)險模型的啟發(fā)，Chukovaa 和Minkova[17]介紹了一個新的點過程，稱做P′olya-Aeppli 過程(GPAP)，具有潛在的指數(shù)分布。他們給出了這個過程的兩個等價定義，并討論了它的一些性質(zhì)，例如，GPAP 過程到時間t事件發(fā)生次數(shù)的分布、等待時間的分布等等。在文獻[18]中，作者假設(shè)P′olya-Aeppli 過程的強度參數(shù)是時間t的函數(shù)，并稱此過程為非齊次P′olya-Aeppli Process(NHPAP)。另外，他們推導(dǎo)了關(guān)于NHPAP 的一些有趣的性質(zhì)，并且就此過程對于一些特殊的強度函數(shù)進行了模擬說明。

本文考慮以下一維連續(xù)時間下具有隨機投資組合的雙復(fù)合Poisson-Geometric 過程風(fēng)險模型

其中u表示初始資金，U(t)表示保險公司t時刻的資產(chǎn)，{Xi,i ≥0}表示獨立同分布的保費序列，{N1(t),t ≥0}表示時間t內(nèi)保費發(fā)生的次數(shù)，{Yi,i ≥0}表示獨立同分布的索賠序列，{N2(t),t ≥0}表示時間t內(nèi)索賠發(fā)生的次數(shù)。

首先，我們給出Poisson-Geometric 分布和Poisson-Geometric 過程的定義。

定義1 設(shè)λ>0,0≤ρ<1，稱隨機變量X服從參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric分布，記為X ～PG(λ,ρ)，如果X的矩母函數(shù)為

定義2 設(shè)λ>0,0≤ρ<1，稱{N(t),t ≥0}是參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過程，如果滿足：

1)N(0)=0；

2){N(t),t ≥0}具有獨立平穩(wěn)增量；

3) 對任意的t>0, N(t)～PG(λt,ρ)。

對于風(fēng)險模型(2)，我們作如下假設(shè)和規(guī)定：

1){N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}分別是參數(shù)(λ1,ρ1)、(λ2,ρ2)的Poisson-Geometric過程；

其中θ>0 稱作模型(2)的相關(guān)安全負載因子；

4) 泊松幾何過程{N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}以及隨機變量序列{Xi,i ≥0}和{Yi,i ≥0}之間均相互獨立。

定義模型(2)的破產(chǎn)時間為T= inf{t> 0|U(t)< 0}，基于T，我們定義無限時間破產(chǎn)概率ψ(u) =P(T<∞|U(0) =u)，有限時間破產(chǎn)概率ψ(u,t) =P(T

本文剩余部分做如下安排：第1 節(jié)利用鞅的性質(zhì)和停時的技巧，得到了風(fēng)險模型中破產(chǎn)概率的上界，Lundberger 不等式以及調(diào)節(jié)系數(shù)方程；第2 節(jié)分別推導(dǎo)出無限時間生存概率所滿足的微積分方程以及有限時間生存概率所滿足的偏微積分方程，在索賠和保費均為指數(shù)分布的情況下，本文求解出了關(guān)于破產(chǎn)概率的精確表達式。

1 上界和無限時間的破產(chǎn)概率

在這一章節(jié)，我們利用鞅方法和停時定理考慮破產(chǎn)概率的上界和無限時間的破產(chǎn)概率。在給出定理1 之前，我們先給出一個引理。我們令

引理得證。

因為隨機變量Y恒正，容易得到MY(0)=1,limr→+∞MY(r)=+∞，并且MY(r1)

對于上述所得的關(guān)系式，取極限s →+∞，定理結(jié)論得證。

推論1 假設(shè)R是風(fēng)險模型(2)中的調(diào)節(jié)系數(shù)，則有Ψ(u)≤e?Ru。

證明 在定理2 中，令R=r，并且注意到注意到g(R)=0，推論結(jié)果顯然成立。

定理3 在風(fēng)險模型(2)中，無限時間破產(chǎn)概率的表達式為

證明 由停時的理論可知，對于任意固定的s>0, T ∧s是有界停時。對盈余過程使用全概率公式以及利用鞅的性質(zhì)，可以得到

2 微積分方程及其解

在本節(jié)中，我們利用全概率公式得到無限時間的生存概率的積分方程和有限時間的生存概率的微積分方程?？紤]保費和索賠額均服從指數(shù)分布FX(x) = 1?e?ax以及FY(y)=1?e?by，我們可以得到無限區(qū)間和有限區(qū)間生存概率的精確公式。

證明 和定理4 的證明方法類似，在充分小的時間?t內(nèi)，下列等式成立

通過化簡可以得到

在上式中除以?t，并取極限?t →0，定理5 的前半部分得證。

將等式(8)和(9)代入到(10)中，可以得到

通過對u求連續(xù)的偏導(dǎo)，我們得到下列偏微分方程

其中φ依賴于u和t。為了幫助我們解決偏微分方程(12)，引入下列輔助函數(shù)

將方程(12)乘以因子e?ts，對t從0 積分到∞，我們能夠得到下列常微分方程

顯然常微分方程(13)有兩個實根，一個是正根，一個是負根。又因為函數(shù)φ(u,t)取值范圍為[0,1]，所以函數(shù)W(s,u)的值域是有界的，并且W(s,u) =K(s)eγ(s)u，其中γ(s)是常微分方程(13)的負根。同時，我們可以通過將u= 0 代入方程(13)中，解出參數(shù)K(s)。

注1從定理5 中，我們可以得到

這個結(jié)果和定理4 中的φ(u)保持一致。