楊曉瑩, 賈 梅, 劉錫平

(上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093)

0 引言

近年來，由于分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于生物數(shù)學(xué)、信號識別、化學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域，受到了廣泛關(guān)注[1–8]。由于邊值問題在流體力學(xué)、氣體湍流、熱傳導(dǎo)以及電學(xué)等許多問題上有著廣泛應(yīng)用[9–10]，微分方程邊值問題成為微分方程理論研究中的一個基本問題。因此，對分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究受到學(xué)者們的重視[1,11–17]，關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分微分方程邊值問題正解的研究也取得了許多有意義的研究成果[1,14–17]。

本文研究如下具有兩個Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項的非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程積分邊值問題

1) 對所有的u,v ∈R, f(·,u,v)均可測；

2) 對幾乎所有的t ∈[0,1], f(t,·,·)連續(xù)；

3) 對每個r> 0，都存在非負(fù)函數(shù)Φr ∈Lq[0,1]，使得當(dāng)|u|,|v|∈[0,r]且?guī)缀跆幪巘 ∈[0,1]時，有

上下解方法和單調(diào)迭代理論是研究微分方程邊值問題解的存在性的有效方法[18–23]。當(dāng)所研究的問題只含有一個分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項時，可以通過對原問題定義的上下解獲得解的存在性。當(dāng)微分方程中含有兩個或兩個以上相互獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項時，直接定義上下解會遇到諸多麻煩。為了解決涉及兩個分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項的問題直接定義上下解的困難，本文首先通過一個變換，將原問題轉(zhuǎn)化為只有一個導(dǎo)數(shù)項的等價形式，再定義等價問題的上下解，利用單調(diào)迭代技術(shù)建立了原問題正解的存在性與唯一性定理，給出了求唯一正解的迭代格式和誤差估計。最后，給出實(shí)例說明所得結(jié)論的有效性和適用性。

1 預(yù)備知識

下面介紹本文所要用到的一些定義和引理。

定義1[1]函數(shù)y:(0,∞)→R 的γ>0 階Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)積分定義為

則(E,//·//)是Banach 空間。

定義3 設(shè)u ∈E，若u=u(t)滿足邊值問題(1)，則稱u是邊值問題(1)的一個解。若當(dāng)t ∈(0,1]時，u(t)≥0，則稱u是邊值問題(1)的一個正解。

本文總假設(shè)下列條件成立：

(H1) 存在非負(fù)函數(shù)b1,b2∈C[0,1]，使得對任意的t ∈[0,1], u ∈R，有

(H2) 存在r>0, ψr ∈L1[0,1]，當(dāng)|u|∈[0,r]時，使得對幾乎處處的t ∈[0,1]，有

因此，將c1、c2代入(8)式可得，當(dāng)t ∈(0,1]時，有

同理可證，對任意的t,s ∈[0,1]，有

2 正解的存在唯一性

令P={u:u ∈E,t2?βu(t)≥0, t ∈[0,1]}，顯然P ?E為一個錐，即對任意的x,y∈E, x ?y，當(dāng)且僅當(dāng)y ?x ∈P。于是(E,?)為半序的Banach 空間。

定義4 如果x ∈P滿足

假設(shè)：

(H3) 對任意的u1,u2,v1,v2∈[0,+∞)，當(dāng)u1≤u2, v1≤v2時，對任意的t ∈[0,1]，都有

0≤f(t,u1,v1)≤f(t,u2,v2),0≤h(t,u1)≤h(t,u2),0≤g(t,u1)≤g(t,u2).

定理1 假設(shè)條件(H3)成立，邊值問題(2)存在一個下解x0∈P和一個上解y0∈P，且滿足x0? y0。記序區(qū)間D= [x0,y0] ={u ∈P|x0?u ?y0}，則邊值問題(1)在D中存在最小正解和最大正解。

故可得函數(shù)列{xm}，且xm=xm(t)(m= 1,2,···)是邊值問題(2)的下解，xm?1?xm，所以{xm}是單調(diào)增序列。

類似，以y0=y0(t)作為迭代的初始函數(shù)，則有

因?yàn)镚(t,s)、G1(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù)，則t2?βG(t,s)、t2?βG1(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù)。因此，對任意的ε> 0，存在δ> 0，使得對所有的t1,t2,s ∈[0,1]，當(dāng)|t1?t2|<δ時，有

所以序列{xm}是等度連續(xù)的。類似可證明，序列{ym}是等度連續(xù)的。

由Arz′ela-Ascoli 定理可知，序列{xm}和{ym}是相對列緊的。而序列{xm}和{ym}又是單調(diào)的，則存在x?和y?，使得

故有x0?x??y??y0。

4) 證明x?和y?是邊值問題(1)的解。由(13)式及Lebesgue 控制收斂定理，可得

所以x?是積分方程(5)的解。由引理3 及引理4 可得，x?是邊值問題(1)的解。同理可得，y?也是邊值問題(1)的解。

5) 證明x?和y?分別是邊值問題(1)在D中的最小正解和最大正解。設(shè)z?∈D是邊值問題(2)的解，則x0?z??y0。

假設(shè)xm?1?z??ym?1，所以對任意的t ∈(0,1]，有xm?1(t)≤z?(t)≤ym?1(t)。根據(jù)引理5 及假設(shè)(H3)，可得

即xm ?z?。

類似可證得z??ym。因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可得xm ?z??ym(m=0,1,···)。

令m →∞，可得x??z??y?，所以x?是邊值問題(1)在D中的最小正解，y?是邊值問題(1)在D中的最大正解。

綜上所述，定理1 得證。

定理2 假設(shè)定理1 的條件成立，并且滿足條件：

(H4) 存在常數(shù)M1,M2,M3,M4>0，使得對任意的v1,v2∈[x0,y0]，當(dāng)v1?v2時，對任意的t ∈(0,1]，有

對任意的u0∈[x0,y0]，則x0?u0?y0。由(17)式和(H3)，利用數(shù)學(xué)歸納法易得xm?um ?ym，則對任意的t ∈[0,1]，有

綜上所述，定理2 得證。

3 應(yīng)用舉例

為了說明我們所得結(jié)論的有效性和適用性，考慮下列非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程邊值問題

故易知f滿足Lq-Carath′eodory 條件。

于是，假設(shè)(H1)、(H2)成立。

根據(jù)引理3，邊值問題(18)等價于邊值問題

所以x0、y0分別是邊值問題(19)的下解和上解，且滿足x0?y0。

對任意的u1,u2,v1,v2∈[0,+∞)，當(dāng)u1≤u2, v1≤v2時，對任意的t ∈[0,1]，有

所以滿足(H3)。

由以上討論，定理1 的條件成立。由定理1 可得，存在x?,y?∈P，使得x?是邊值問題(18)在D中的最小正解，y?是邊值問題(18)在D中的最大正解。另一方面，取

當(dāng)?shù)?0 次時，誤差不超過0.08，而迭代20 次時，誤差不超過0.000 18。