孟 健, 梅立泉

(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710049)

0 引言

偏微分方程特征值問題是非常重要的研究課題，在科學(xué)和工程應(yīng)用領(lǐng)域有重要意義，例如，非線性方程譜理論、結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體穩(wěn)定性、電子結(jié)構(gòu)計(jì)算、控制理論和逆散射問題[1–7]。特征值問題的數(shù)值方法和數(shù)學(xué)理論涉及十分廣泛，迄今為止已有一些有重要意義的著作，如Chatelin 研究了Banach 空間中線性算子特征值的數(shù)值逼近，把泛函分析譜理論框架應(yīng)用到特征值問題有限元方法[8]；Babˇuska 和Osborn 進(jìn)一步對(duì)特征值問題協(xié)調(diào)有限元方法和混合有限元方法進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)[9]；文獻(xiàn)[10]討論了特征值問題有限元方法的漸進(jìn)展開和外推；最新的一些著作，可參考文獻(xiàn)[11—13]。而且已有許多數(shù)值方法用來求解特征值問題，如有限差分方法[14]、有限元方法[9,11–12]、譜方法[15]、雜交高階方法[16]、間斷Galerkin 方法[17–18]和弱Galerkin 方法[19]等。

文獻(xiàn)[20]結(jié)合有限元和模擬有限差分方法[21–24]引入了虛擬元方法，闡述了虛擬元方法的主要思想：

1) 局部離散空間包含多項(xiàng)式函數(shù)和由局部微分問題決定的非多項(xiàng)式函數(shù)(“虛擬函數(shù)”)；

2) 為了得到在一般多邊形網(wǎng)格上完全可計(jì)算的虛擬元格式，虛擬元方法需小心選取自由度。

作為一種新型偏微分方程數(shù)值方法，虛擬元方法具有如下特點(diǎn)：

1) 允許一般多邊形網(wǎng)格，有好的網(wǎng)格適應(yīng)性；

2) 易構(gòu)造高階元離散空間。

相較于傳統(tǒng)有限元方法，虛擬元法有好的網(wǎng)格適應(yīng)性和數(shù)值穩(wěn)定性，降低了復(fù)雜幾何區(qū)域上網(wǎng)格生成和自適應(yīng)算法的難度。如果采用三角形網(wǎng)格，虛擬元方法也等價(jià)于傳統(tǒng)有限元方法。除此之外，虛擬元格式與有限元格式有一定的關(guān)聯(lián)性，所以虛擬元方法理論分析可以借鑒有限元方法。除此之外，高階/維虛擬元空間的構(gòu)造與低階/維的構(gòu)造方式統(tǒng)一，其程序編寫也相對(duì)容易。近年來，各類虛擬元空間已經(jīng)被發(fā)展來處理各種數(shù)學(xué)與工程問題，例如，非協(xié)調(diào)虛擬元[25–26]、H(div)和H(curl)虛擬元[27–29]、Cm虛擬元[30–34]。并且，許多學(xué)者研究了特征值問題的虛擬元方法，包括Steklov 特征值問題[35–37]、Laplacian 特征值問題[38–42]、聲音振動(dòng)問題[43]、Kirchhoff板振動(dòng)和屈曲問題[33,44–45]、透射特征值問題[32]和彈性特征值問題[46]。

本文將總結(jié)特征值問題虛擬元方法的主要文獻(xiàn)，簡(jiǎn)要說明虛擬元方法求解特征值問題的特點(diǎn)，提出今后的研究方向和建議，促進(jìn)特征值問題數(shù)值方法的研究。

本文結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)引入虛擬元方法，定義所需虛擬元空間和自由度，包括協(xié)調(diào)虛擬元空間、H(div)虛擬元空間和C1虛擬元空間；第2 節(jié)介紹特征值問題虛擬元方法的研究現(xiàn)狀；第3 節(jié)是本文的總結(jié)與展望。

1 虛擬元方法介紹

有限元方法的出現(xiàn)對(duì)當(dāng)代計(jì)算數(shù)學(xué)有重大意義，在水壩和飛機(jī)的設(shè)計(jì)、天體物理和流體力學(xué)等問題有重要應(yīng)用，有限元方法常用的網(wǎng)格單元有三角形和四邊形。近年來，有限元方法的推廣也是數(shù)學(xué)和工程計(jì)算中的熱點(diǎn)問題，為了處理復(fù)雜區(qū)域，許多學(xué)者把有限元方法推廣到一般的多邊形網(wǎng)格情形[20,47–49]。多邊形網(wǎng)格容易做網(wǎng)格自適應(yīng)，可以用來提升數(shù)值方法的精度和處理結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解，例如，有奇異性的解和界面問題，設(shè)計(jì)多邊形單元數(shù)值方法面臨的關(guān)鍵問題是如何構(gòu)造離散函數(shù)空間。在傳統(tǒng)協(xié)調(diào)有限元方法中，離散函數(shù)空間包含在偏微分方程真解函數(shù)空間中，當(dāng)使用多邊形網(wǎng)格時(shí)，會(huì)導(dǎo)致其上的基函數(shù)求解困難，為了滿足空間的協(xié)調(diào)性，基函數(shù)的形式并不一定是多項(xiàng)式[50]。

結(jié)合模擬有限差分方法和有限元方法，虛擬元方法被引入[20]，如上討論，虛擬元空間包含多項(xiàng)式函數(shù)和局部適定微分問題決定的非多項(xiàng)式函數(shù)。在虛擬元方法中，實(shí)際不需要計(jì)算這些非多項(xiàng)式函數(shù)，所以稱作“虛擬函數(shù)”，可以通過考慮虛擬元空間的定義和自由度來使用這些“虛擬函數(shù)”。對(duì)于構(gòu)造虛擬元離散雙線性形式，可以通過一致項(xiàng)和穩(wěn)定項(xiàng)來保證最后得到矩陣問題的適定性。根據(jù)作者理解，虛擬元方法的優(yōu)勢(shì)主要有：

1) 相較于傳統(tǒng)有限元方法，降低了復(fù)雜幾何區(qū)域上網(wǎng)格生成和自適應(yīng)算法難度；

2) 高維和高正則性Cm虛擬元空間可以由低維和低正則性虛擬元空間遞歸定義；

3) 容易構(gòu)造滿足物理性質(zhì)的空間和數(shù)值格式，如滿足無散度性質(zhì)[51–52]等。

下面引入特征值問題使用的三類虛擬元空間。

1.1 協(xié)調(diào)虛擬元空間

令? ?R2是一個(gè)有界區(qū)域，邊界??上的單位外法向記為ν。令Th是?上多邊形網(wǎng)格剖分，設(shè)E是其中某個(gè)單元，Eh是剖分單元所有邊e的集合。記he、hE、|E|分別為邊e的長(zhǎng)度、E的直徑和E的面積，且網(wǎng)格尺寸h= max{hE:E ∈Th}。假設(shè)網(wǎng)格Th滿足如下正則性條件，存在一致正常數(shù)σ，使得對(duì)每個(gè)單元E，有：

(A1) 單元E是星形的；

(A2) 對(duì)于每條邊e ∈?E，有he ≥σhE。

由文獻(xiàn)[20,53]，局部初始空間定義如下

對(duì)任意v ∈～VE，定義如下線性算子集合：

LB1:LB1(v)表示v在E所有頂點(diǎn)處的函數(shù)值；

LB2:LB2(v)表示v在E的每條邊內(nèi)部k ?1 個(gè)Gauss-Lobatto 積分點(diǎn)處的函數(shù)值；LB3:LB3(v)表示v直到k ?2 階矩的值。

1.2 H(div)虛擬元空間

設(shè)給定區(qū)域?的網(wǎng)格剖分Th，滿足1.1 節(jié)的正則性假設(shè)(A1)和(A2)。在文獻(xiàn)[28]中，H(div)虛擬元空間的定義被引入，一些基本的推廣見文獻(xiàn)[27,29,55]。H(div)虛擬元被應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)問題，例如，Stokes 問題[56]、擬牛頓Stokes 問題[57]、線性和非線性Brinkman 問題[58–59]。H(div)虛擬元空間定義如下

自由度定義為：

(C1) ∫

e σh·npds, ?p ∈Mk(e), ?e ∈Eh；

(C2) ∫

E σh·?pdx, ?p ∈Mk?1(E){1}, ?E ∈Th；

(C3) ∫

Erotσhpdx, ?p ∈Mk?1(E), ?E ∈Th；

其中Mk(e)表示邊e(設(shè)中點(diǎn)為xe)上的單位化單項(xiàng)式集合Mk?1(E)表示單元E(設(shè)重心為xE)上的單位化單項(xiàng)式集合

1.3 C1 虛擬元空間

眾所周知，全局C1協(xié)調(diào)有限元的構(gòu)造是非常困難的[60]。由于虛擬元方法的靈活性，C1虛擬元構(gòu)造變得相對(duì)容易。下面闡述C1虛擬元空間的構(gòu)造方法，這個(gè)虛擬元空間已經(jīng)應(yīng)用到很多問題[32–34,45]。局部C1初始空間定義如下

LD1:LD1表示v在E所有頂點(diǎn)處的函數(shù)值；

LD2:LD2表示?v在E所有頂點(diǎn)處的函數(shù)值。

2 特征值問題虛擬元方法研究現(xiàn)狀

本節(jié)介紹特征值問題虛擬元方法(協(xié)調(diào)虛擬元方法、H(div)虛擬元方法、C1虛擬元方法)已有的研究工作，以下按不同的虛擬元方法進(jìn)行分類。

2.1 協(xié)調(diào)虛擬元方法

文獻(xiàn)[36]討論了對(duì)稱Steklov 特征值問題的虛擬元方法，這也是首篇使用虛擬元方法研究特征值問題的文獻(xiàn)。在網(wǎng)格正則性假設(shè)下，給出了虛擬元格式的譜逼近性質(zhì)，證明了特征函數(shù)和特征值的最優(yōu)誤差估計(jì)。因?yàn)镾teklov 問題是邊界特征值問題，也考慮了在邊界上特征函數(shù)的高階收斂性。2017 年，Mora 等人[37]利用虛擬元方法網(wǎng)格靈活性考慮了對(duì)稱Steklov 特征值問題協(xié)調(diào)虛擬元格式的后驗(yàn)誤差估計(jì)。定義了一個(gè)可計(jì)算的虛擬元后驗(yàn)誤差估計(jì)子，并把它應(yīng)用于自適應(yīng)網(wǎng)格剖分。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了對(duì)稱Steklov 特征值問題協(xié)調(diào)虛擬元格式數(shù)值解的最優(yōu)收斂性和后驗(yàn)誤差估計(jì)子的有效性，這是第一篇特征值問題虛擬元方法的后驗(yàn)誤差分析。之后，Gardini 和Vacca[41]討論了Laplacian 特征值問題的協(xié)調(diào)虛擬元方法，給出了兩種協(xié)調(diào)虛擬元格式，區(qū)別在于右端項(xiàng)有無穩(wěn)定項(xiàng)。應(yīng)用緊算子和非緊算子譜理論分別證明了兩種協(xié)調(diào)虛擬元格式的譜逼近性質(zhì)和誤差估計(jì)，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，作者說明對(duì)于高階協(xié)調(diào)虛擬元方法，應(yīng)用對(duì)角穩(wěn)定項(xiàng)的數(shù)值格式收斂性更好，為以后討論更復(fù)雜的特征值問題虛擬元方法奠定了研究基礎(chǔ)。應(yīng)用這篇文章的理論框架，文獻(xiàn)[40]考慮了Laplacian 特征問題的非協(xié)調(diào)虛擬元方法，文獻(xiàn)[38]分析了橢圓特征值問題的p與hp虛擬元方法，ˇCert′?k 等人[39]研究了有勢(shì)函數(shù)項(xiàng)的橢圓特征值問題，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中模擬了與量子振蕩相關(guān)的Schr¨odinger 問題，驗(yàn)證了虛擬元方法的有效性。最近，Boffi等人[61]討論了虛擬元方法中穩(wěn)定化參量對(duì)Laplacian 特征值的影響。Meng 和Mei[44]應(yīng)用協(xié)調(diào)虛擬元方法討論了簡(jiǎn)支Kirchhoff板屈曲特征值問題，給出了虛擬元格式并使用“第一Strang 引理”證明了特征模型的誤差分析和最優(yōu)收斂階，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果。Mora 和Rivera[46]討論了彈性特征值問題虛擬元方法的先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)。

2.2 H(div)虛擬元方法

迄今為止，特征值問題H(div)虛擬元方法的參考文獻(xiàn)十分有限，第一篇參考文獻(xiàn)是使用H(div)虛擬元處理聲音振動(dòng)問題[43]。在網(wǎng)格正則性假設(shè)下，證明了虛擬元格式的正確譜逼近和最優(yōu)誤差估計(jì)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果。最近，Meng 等人[42]應(yīng)用混合虛擬元方法討論了Laplacian 特征值問題。在Brezzi-Babuska 理論框架下，驗(yàn)證了解空間的弱逼近性、強(qiáng)逼近性和Fortin 條件，從而證明了數(shù)值格式的收斂性和最優(yōu)性，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了混合虛擬元方法的最優(yōu)收斂性。在這篇文章的基礎(chǔ)上，Lepe 和Rivera[62]證明了Laplacian 特征值問題混合虛擬元方法的誤差估計(jì)。

2.3 C1 虛擬元方法

Mora 等人[33]考慮了夾緊Kirchhoff板振動(dòng)特征值問題，應(yīng)用非緊算子的譜理論證明了譜逼近和誤差估計(jì)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了在凸和非凸區(qū)域上特征值問題虛擬元方法的收斂性。之后，Mora 和Vel′asquez[32]應(yīng)用C1虛擬元方法分析了非對(duì)稱透射特征值問題，這個(gè)特征值問題是四階且非對(duì)稱的，其理論和數(shù)值研究是具有挑戰(zhàn)性的研究課題，諸多學(xué)者對(duì)透射特征值問題的數(shù)值方法進(jìn)行了研究。特別地，C1Argyris 有限元方法已經(jīng)被用來求解這個(gè)特征值問題[63–64]，但全局C1協(xié)調(diào)有限元的構(gòu)造是非常困難的[60]。由于虛擬元方法的靈活性，C1虛擬元構(gòu)造變得相對(duì)容易。最后，Mora 和Vel′asquez[45]推廣了文獻(xiàn)[32—33]中C1虛擬元空間到任意階(k ≥2)的情況，并處理了夾緊Kirchhoff板屈曲特征值問題。

3 總結(jié)與展望

自從虛擬元方法誕生以來，特征值問題虛擬元方法的理論和數(shù)值方法取得了一些進(jìn)展，使用各種虛擬元方法處理了各類特征值問題，但還有很多關(guān)鍵問題亟需解決。

1) 非對(duì)稱特征值問題的虛擬元方法。非對(duì)稱特征值問題有重要的應(yīng)用背景，例如，環(huán)境問題和流體力學(xué)里中的對(duì)流擴(kuò)散，但非對(duì)稱特征值問題必須考慮復(fù)特征值且無法保證特征值的陡度為1，從現(xiàn)有文獻(xiàn)看，其數(shù)值方法研究工作略滯后于對(duì)稱特征值問題。由于工程問題的實(shí)際需求，非對(duì)稱特征值問題虛擬元方法的理論和數(shù)值分析有重要意義。例如，來源于非均勻介質(zhì)逆散射理論的非對(duì)稱Steklov 特征值問題，特征值能通過遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)得到并且可以用來分析散射物體的屬性，在很多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。目前，非對(duì)稱Steklov 特征值問題數(shù)值方法的參考文獻(xiàn)十分有限，如有限元方法、非協(xié)調(diào)Crouzeix-Raviart 元方法、多網(wǎng)格方法和間斷Galerkin 方法。其虛擬元方法可以使用已有文獻(xiàn)的虛擬元離散空間，但非對(duì)稱性阻礙了數(shù)值方法的理論分析和對(duì)復(fù)數(shù)特征值的求解，這也是非對(duì)稱特征值問題面臨的困難。

2) 高效準(zhǔn)確的數(shù)值算法。目前，已有部分特征值問題虛擬元方法的文獻(xiàn)，下一目的是提出能提高計(jì)算效率和減少計(jì)算消耗的虛擬元格式。首先，在特征值問題限元方法中，存在很多加速算法，例如，多重網(wǎng)格算法、兩空間加速算法和位移反冪算法，都可以推廣到虛擬元方法中，并給出相應(yīng)的理論和數(shù)值分析。其次，對(duì)于高階虛擬元方法的構(gòu)造，應(yīng)注意虛擬元格式的定義，原始虛擬元格式在使用高階(k ≥3)虛擬元空間時(shí)，數(shù)值結(jié)果的收斂階是次優(yōu)的。所以為構(gòu)造高效準(zhǔn)確的數(shù)值方法，也應(yīng)特別注意虛擬元格式的構(gòu)造。最后，也可以從問題本身出發(fā)，考慮不同的虛擬元方法。

以方形區(qū)域?= (0,1)2為例，考慮如圖1 的三角形網(wǎng)格Th、方形網(wǎng)格Sh、泰森多邊形網(wǎng)格Vh和無結(jié)構(gòu)六邊形網(wǎng)格Nh上兩種方法的自由度個(gè)數(shù)，表1 給出了在四種網(wǎng)格上兩種不同方法的自由度個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)以往文獻(xiàn)中的方法使用了更少的自由度，提高了計(jì)算效率。但隨之而來的問題是如何進(jìn)行理論分析？在以往文獻(xiàn)中，作者使用“第一Strang 引理”進(jìn)行理論分析，但這時(shí)不能直接使用這個(gè)引理，需要考慮另外的理論分析方法。最近的文獻(xiàn)給出了這個(gè)問題最低階虛擬元方法譜逼近理論，并在如圖2 三維網(wǎng)格上考慮了三維透射特征值，但因?yàn)閱栴}的非自共軛性，文中還未證明虛擬元方法的誤差估計(jì)。

表1 不同方法的自由度個(gè)數(shù)

圖1 二維網(wǎng)格描述

圖2 三維網(wǎng)格描述

3) 譜理論的推廣。現(xiàn)有特征值問題虛擬元方法所應(yīng)用的譜理論是緊算子和非緊算子的譜理論框架，也可以考慮把其他算子的譜理論推廣到虛擬元方法來處理更復(fù)雜的特征值問題，可以推廣Fredholm 算子譜理論來處理各向異性的透射特征值問題。

4) 其他特征值問題的虛擬元方法。總結(jié)來看，使用虛擬元方法處理的特征值問題包括：Steklov 特征值問題、Laplacian 特征值問題、聲音振動(dòng)問題、Kirchhoff板振動(dòng)和屈曲問題、透射特征值問題和彈性特征值問題。目前用H(div)虛擬元方法處理特征值問題的文獻(xiàn)僅有三篇，但H(div)元在特征值問題中有著重要應(yīng)用，對(duì)于流體結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題，基于對(duì)偶形式的標(biāo)準(zhǔn)有限元方法導(dǎo)出的廣義特征值問題會(huì)引入錯(cuò)誤的特征模型，H(div)有限元方法就可以避免這種譜污染，現(xiàn)有的H(div)虛擬元研究為以后討論更復(fù)雜流體結(jié)構(gòu)特征值問題奠定了研究基礎(chǔ)。另外，對(duì)于三維特征值問題的虛擬元方法數(shù)值結(jié)果較少，限制了在實(shí)際中的應(yīng)用。所以可將虛擬元方法應(yīng)用于其他更具實(shí)際意義的特征值問題，如流體、輸運(yùn)、電磁場(chǎng)等特征值問題，解決更多實(shí)際問題。