張 軍

(遼寧省大連市第二十四中學(xué))

數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.高考評價體系確立了高考考查中要增強試題的靈活性和開放性,改變相對固化的試題形式,減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象.開放性試題是與封閉性試題相對應(yīng)的概念,一般來說,封閉性試題具有確定的條件、方法和答案,而開放性試題是指圍繞某一個核心主題,提供一定的核心材料,要求學(xué)生就試題設(shè)問進行深層分析和開展探究的一種命題形式,即題目的條件是不完備的、解題策略是多種多樣的.數(shù)學(xué)開放性試題的核心是考查學(xué)生綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,從而激發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新的意識.

解決開放性問題難在要求學(xué)生的思維要多向輻射,它沒有固定的解題模式.由于開放性試題所提的問題要么是條件不充足或條件是多種多樣的,要么結(jié)論被隱去或不確定,要么只是給出一定的問題情境,其條件、解題策略和結(jié)論都需解題者從情境中尋找和設(shè)定,收集其他必要的信息,才能著手解題,所以它的解答有的是沒有固定的、現(xiàn)成的模式可循,有的是答案可能易于被發(fā)現(xiàn),但是求解過程中往往需要學(xué)生進行主動思考,從多個角度進行探究.這一探究過程往往能夠拓寬和深化解題思維過程,揭示解題過程的思維途徑,培養(yǎng)學(xué)生的探究思維,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一個含有若干個變量的多項式中,如果任意交換兩個變量的位置,多項式不變,則稱這樣的多項式關(guān)于這兩個變量是對稱的,否則稱為非對稱式.在解析幾何中,當直線和曲線相交時經(jīng)常會涉及與交點有關(guān)的開放性試題.對于這類試題,在求解過程中如果相應(yīng)的目標式子是關(guān)于兩個交點的橫(或縱)坐標x1,x2(或y1,y2)的和或積的式子,這個式子往往是關(guān)于x1,x2(或y1,y2)對稱的,這時只要把直線方程和曲線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題.然而在有的時候,往往也會出現(xiàn)相關(guān)的目標式子不是簡單的關(guān)于x1,x2(或y1,y2)的和或積的對稱式子,也就是出現(xiàn)了非對稱的形式,此時就不能通過根與系數(shù)的關(guān)系進行簡單的代換來解決,下面舉例介紹如何解決這類開放性試題.

1 多解探究

2 鞏固練習

圖1

圖2

練習3 如圖3 所示,已知點F1(－1,0),F2(1,0),以線段F2G為直徑的圓內(nèi)切于圓O:x2＋y2＝4,點G的軌跡為F.

圖3

(1)求點G的軌跡E的方程;

(2)若軌跡E與x軸的左、右兩個交點分別為M,N,過定點P(－3,0)的直線l與軌跡E交于R,S兩點,設(shè)直線MR與NS交于點T.試探究點T是否在一條定直線上.若是,求出此定直線方程;若不是,說明理由.

圖4