林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué) 528315)

過(guò)圓錐曲線外的一點(diǎn)可作兩條圓錐曲線的切線，一般把此類(lèi)涉及圓錐曲線的兩條切線問(wèn)題稱(chēng)之為圓錐曲線的雙切線問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題一般涉及到雙切線、雙切點(diǎn)、雙斜率等有關(guān)量，求解過(guò)程中的處理方法技巧性較強(qiáng)，對(duì)運(yùn)算能力要求較高，是圓錐曲線的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.

本文通過(guò)典型例題賞析圓錐曲線雙切線問(wèn)題的優(yōu)化解法——同構(gòu)法，它在解決圓錐曲線雙切線問(wèn)題中常能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、舉重若輕的效果.

1 兩種解法比較

示例(2021年全國(guó)統(tǒng)一適應(yīng)性考試(八省聯(lián)考)第7題)已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解法1 (一般解法)因?yàn)锳(2,2)在拋物線y2=2px上，故22=2p×2，即p=1，拋物線方程為y2=2x.

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(2,2)與圓(x-2)2+y2=1相切的直線的方程為y-2=kx-2，即kx-y+2-2k=0.

則圓心2,0到切線的距離

圖1

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0.故選B.

化簡(jiǎn),得2px-(yA+yB)y+yAyB=0.

同理直線AC的方程為2px-(yA+yC)y+yAyC=0，直線BC的方程為2px-(yB+yC)y+yByC=0.

又因A(2,2)，易得p=1，即得直線AB的方程為2x-(2+yB)y+2yB=0.

因?yàn)橹本€AB與圓(x-2)2+y2=1相切，

故選B.

解法3(同構(gòu)解法)由解法2，可知點(diǎn)B,C的縱坐標(biāo)yB,yC滿(mǎn)足方程3y2+12y+8=0，考慮到點(diǎn)B,C的縱坐標(biāo)yB,yC均滿(mǎn)足y2=2x，從而可得6x+12y+8=0.

即3x+6y+4=0.

因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

評(píng)注(1)示例的解法1容易想到，但運(yùn)算量較大，費(fèi)時(shí)耗力，容易算錯(cuò)，解法2與解法3的同構(gòu)法中代數(shù)變形較為簡(jiǎn)單，整體替換、設(shè)而不求，運(yùn)算量較少，解題過(guò)程更為簡(jiǎn)潔.

(2)同構(gòu)式是指除了變量不同，結(jié)構(gòu)與形式都相同的代數(shù)式.同構(gòu)化的解題思想在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位，在圓錐曲線中也應(yīng)用廣泛.一般來(lái)說(shuō)，同構(gòu)法解答圓錐曲線雙切線問(wèn)題的步驟如下：

①過(guò)曲線外一點(diǎn)(x0,y0)設(shè)曲線的切線方程為y=k(x-x0)+y0；

②聯(lián)立切線與曲線方程消元，得Δ=0或圓心到切線的距離d=r(圓的切線)；

③將Δ=0(或d=r)整理成以k為主元的二次方程，則k1,k2為方程的兩個(gè)根(同構(gòu)思想)；

④由韋達(dá)定理得k1+k2,k1k2；

⑤根據(jù)題目條件進(jìn)一步求解.

2 同構(gòu)法在圓錐曲線雙切線問(wèn)題中的應(yīng)用

解析當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的兩條切線一條斜率不存在，另一條斜率為零時(shí)，這樣的點(diǎn)P有四個(gè)，分別是(a,b),(-a,b),(a,-b),(-a,-b)，顯然這四個(gè)點(diǎn)都在圓x2+y2=a2+b2上.

當(dāng)切線PA,PB的斜率均存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓相切的方程為y=k(x-x0)+y0.

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以Δ=0.

整理成關(guān)于k的方程

綜上，交點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

例2 (2021年全國(guó)甲卷理20)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0)，且圓M與l相切.

(1)求C，圓M的方程；

(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與圓M相切．判斷直線A2A3與圓M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解析(1)拋物線C的方程為y2=x，圓M的方程為(x-2)2+y2=1.

(2)若A1A3⊥x軸，且A1A3與圓M相切，則直線A1A3的方程為x=3.

當(dāng)直線A1A2，A1A3均存在斜率時(shí)，設(shè)A1(a2,a)，A2(b2,b)，A3(c2,c),則直線A1A2的方程為

即x-(a+b)y+ab=0.

同理直線A1A3，A2A3的方程分別為

x-(a+c)y+ac=0，x-(b+c)y+bc=0.

因?yàn)橹本€A1A2，A1A3與圓M相切，于是

于是圓心M到直線A2A3的距離

故直線A2A3與圓M相切.

綜上，直線A2A3與圓M相切.

(1)求橢圓C的方程；

圖2

(2)如圖2，設(shè)R(x0,y0)是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓(x-x0)2+(y-y0)2=4引兩條切線，分別交橢圓C于點(diǎn)P,Q.若直線OP,OQ的斜率均存在，并分別記為k1,k2，求證：k1·k2為定值；

例4 (2011年浙江卷理21)已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M.

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)).過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A,B兩點(diǎn)，若過(guò)M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

整理,得

故有x0+x1=k1.即x1=k1-x0.

同理有x2=k2-x0.

圓錐曲線的雙切線問(wèn)題往往需要具備較強(qiáng)的知識(shí)綜合性，較高的思維能力與運(yùn)算能力，而同構(gòu)法可以將此類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)一處理，是一種通性解法，能降低思維強(qiáng)度，簡(jiǎn)化推理證明過(guò)程，具有直觀、簡(jiǎn)捷的特點(diǎn).同構(gòu)轉(zhuǎn)化的解題思想能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)共性的意識(shí),以及利用結(jié)構(gòu)共性解題的思維導(dǎo)向，這正是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)核心素養(yǎng)中不可或缺的重要內(nèi)容.