吳 彪, 李嘉浩, 張召才

(1.國網(wǎng)電力科學(xué)研究院武漢南瑞有限責(zé)任公司，武漢 430074； 2. 武漢大學(xué) 電氣與自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430072；3. 北京空間科技信息研究所，北京 100094)

0 引 言

非線性信道均衡是光纖傳輸系統(tǒng)中一個(gè)熱門的研究方向，非線性效應(yīng)從根本上限制了當(dāng)前光纖通信系統(tǒng)的信息速率和傳輸距離[1]。目前，用于強(qiáng)度調(diào)制和直接檢測 (Intensity Modulation Direct Detection，IMDD) 光纖鏈路的最流行的非線性信道均衡器(Channel Equalizer，CE)是最大似然序列均衡器 (Maximum Likelihood Sequence Equalization, MLSE)[2]和基于 Volterra 級(jí)數(shù)的非線性濾波器[3]。然而，這些非線性CE的計(jì)算復(fù)雜度很高，隨著通道響應(yīng)的維度呈指數(shù)增長。

最近，基于機(jī)器學(xué)習(xí)的非線性CE在提高 IMDD 光纖鏈路中的非線性容限方面顯示出了巨大的潛力，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (Neural Network，NN)[4-5]、徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò) (Radial Basis Function Network，RBFN)[6]、支持向量機(jī) (Support Vector Machine，SVM)[7]和長短期記憶遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (Long Short Term Memory-Recurrent neural network，LSTM-RNN)[8]。與這些非線性CE相關(guān)的一個(gè)常見問題是這些機(jī)器學(xué)習(xí)模型中參數(shù)的物理意義尚不清楚。由于機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)被用作“黑匣子”，因此模型中的參數(shù)是否已被調(diào)整為最優(yōu)，或者參數(shù)如何影響系統(tǒng)性能尚不清楚。

本文使用基于高斯過程回歸(Gaussian Processes for Regression，GPR)的非線性通道均衡。在線性損傷得到補(bǔ)償?shù)臈l件下，提出了用于非線性噪聲抑制的GPR模型。在實(shí)驗(yàn)演示中，在100 km標(biāo)準(zhǔn)單模光纖(Standard Single Mode Fiber，SSMF)上傳輸 28-GBaud 4幅度脈沖幅度調(diào)制 (4-level Pulse Amplitude Modulation，PAM4)信號(hào)來構(gòu)建IMDD鏈路。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于GPR的非線性CE與傳統(tǒng)的基于線性或非線性CE相比具有更好的性能。本文還比較了GPR和NN模型在非線性信道均衡方案中的性能，結(jié)果表明，GPR模型的輸出可以看作是具有優(yōu)化參數(shù)和無限寬度的NN模型輸出的均值。

1 GPR的原理

多徑通信系統(tǒng)中的非線性效應(yīng)可以用函數(shù)g(·)建模為

在無線通信系統(tǒng)中，以下協(xié)方差矩陣已被應(yīng)用于GPR[10]中來實(shí)現(xiàn)非線性信道均衡：

式中：θ=[α1,α2,α3,γ1,γ2,…,γn]T為超參數(shù)，將在訓(xùn)練階段確定；δij為Kronecker的delta函數(shù)。在式(5)中，第1項(xiàng)是平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)，它是無限可微的。由于平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)是xi-xj的函數(shù)，它持有監(jiān)督學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵假設(shè)：若輸入數(shù)據(jù)xi和xj較接近，則可以認(rèn)為他們會(huì)有類似的目標(biāo)輸出y。參數(shù)α1與目標(biāo)y的方差有關(guān)。在平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)中，參數(shù)γl確定元素xi和xj之間的依賴程度。等式第2項(xiàng)表示線性回歸，也稱為點(diǎn)積協(xié)方差函數(shù)。等式第3項(xiàng)表示高斯白噪聲的方差α3=σ2。

在實(shí)際場景中，超參數(shù)的值θ通常是未知的。為了解決這個(gè)問題，首先引入邊際似然函數(shù)log[9]：

式中，Const.=(m/2)·log(2π)。由式(6)可知，超參數(shù)的最優(yōu)設(shè)置θ對應(yīng)于log函數(shù)的最大化。通過計(jì)算log函數(shù)θ的偏導(dǎo)數(shù)，一般采用了一種有效的計(jì)算方法，其中超參數(shù)可表示為[9]

2 GPR輔助的數(shù)字信號(hào)處理算法

圖1 GPR輔助的非線性CE的數(shù)字信號(hào)處理流程Figure 1 DSP scheme of the proposed GPR-aided nonlinear CE

式中：Pch為測試數(shù)據(jù)集的信道功率；Pref為訓(xùn)練集的信道功率。因此，當(dāng)輸入功率值發(fā)生變化時(shí)，無需重新訓(xùn)練 GPR 模型。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證GPR輔助非線性CE在噪聲估計(jì)模式和符號(hào)估計(jì)模式中的有效性，本文進(jìn)行了IMDD的實(shí)驗(yàn)，并在100 km SSMF中傳輸了28-GBaud的PAM4 信號(hào)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示。信號(hào)幀由200個(gè)用于時(shí)間同步的開關(guān)鍵控(On-Off Key，OOK)符號(hào)和60 000個(gè)數(shù)據(jù)PAM4符號(hào)組成。數(shù)字信號(hào)是離線生成的，過采樣因子為2，滾降因子為0.1。將數(shù)字信號(hào)加載到以56 GSa /s采樣率運(yùn)行的任意波形發(fā)生器中，以實(shí)現(xiàn)數(shù)/模轉(zhuǎn)換。模擬信號(hào)的峰峰值電壓最大為1 V。模擬電信號(hào)在1 550.8 nm、帶寬為18 GHz的直接調(diào)制激光器中轉(zhuǎn)換為光信號(hào)。直接調(diào)制激光器的線性度通過設(shè)置偏置電壓來優(yōu)化。為了克服光纖色散引起的功率衰落效應(yīng)，采用光帶通濾波器(Optical Bandpass Filter，OBPF)來產(chǎn)生光單邊帶信號(hào)。然后用摻鉺光纖放大器(Erbium Doped Fiber Application Amplifier，EDFA)來補(bǔ)償由OBPF引起的功率損耗，并將光信號(hào)輸入到長度為100 km的SSMF中。經(jīng)過光纖傳輸后，光信號(hào)由另一個(gè) EDFA進(jìn)行放大，然后由帶寬為40 GHz 的光電探測器 (Photodetector，PD)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)。需要注意的是，EDFA可用于調(diào)整接收端PD的光功率。這主要是因?yàn)镻D沒有集成跨阻放大器，只能在輸入功率>0 dBm的情況下正常工作。最后，模擬信號(hào)在數(shù)字采樣示波器(Digital Storage Oscilloscope，DSO)中以80 GSa/s的采樣率實(shí)現(xiàn)模/數(shù)轉(zhuǎn)換。如圖 1 所示，離線的數(shù)字信號(hào)處理過程包括重采樣到過采樣、時(shí)間同步、FFE、使用GPR 的非線性CE、解映射和判決以及BER計(jì)算。為了更好地評估基于GPR非線性CE的有效性，F(xiàn)FE的工作方式主要基于線性濾波器，濾波器抽頭數(shù)設(shè)置為 67。為了公平比較，我們還在實(shí)驗(yàn)演示中考慮了基于NN模型的非線性CE，如圖1所示[4]。

圖2 56 Gbit/s 100 km IMDD實(shí)驗(yàn)裝置圖Figure 2 Experimental setup of the 56 Gbit/s IMDD fiber transmission link over 100 km

為了避免過擬合問題并確保訓(xùn)練/測試集的隨機(jī)性，每個(gè)PAM4傳輸序列是通過將SIGN(·)函數(shù)應(yīng)用于兩個(gè)獨(dú)立的二進(jìn)制隨機(jī)序列生成的，每個(gè)隨機(jī)序列都來自一個(gè)AWGN序列。在實(shí)驗(yàn)演示中，使用長度為4 000的PAM4序列作為訓(xùn)練集。然后生成另外3個(gè)長度為60 000的不同PAM4序列作為測試集。BER是通過在測試過程之后對所有3個(gè)PAM4序列的BER進(jìn)行平均來計(jì)算的。

通過在信道均衡階段應(yīng)用線性CE，當(dāng)針對每個(gè)發(fā)射功率單獨(dú)訓(xùn)練GPR 模型時(shí)，具有兩種操作模式的GPR CE的性能如圖3(a)所示。如圖所示，經(jīng)過線性CE之后，基于GPR模型的CE比沒有使用GPR模型的CE的性能更好。兩種GPR模式的性能相似。接下來，我們僅使用發(fā)射功率為16 dBm時(shí)獲得的GPR模型來測試所有發(fā)射功率范圍內(nèi)的信號(hào)。如圖3(b) 所示，噪聲估計(jì)模式可以提供比符號(hào)估計(jì)模式更好的性能。當(dāng)真實(shí)發(fā)射功率和參考發(fā)射功率之間的差異變大時(shí)，符號(hào)估計(jì)模式的性能會(huì)迅速下降。

圖3 GPR輔助CE的BER性能Figure 3 BER performances of GPR-aided CEs versus launch power with GPR models trained at

然后，我們考慮線性均衡之后的NN非線性CE，將其性能與基于GPR的非線性CE進(jìn)行比較。NN模型由具有維數(shù) (9×1) 向量的輸入層、具有200個(gè)節(jié)點(diǎn)的隱藏層和一個(gè)與估計(jì)噪聲對應(yīng)的輸出節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。我們選擇整流線性單位函數(shù)作為激活函數(shù)。如圖4(a) 所示，使用GPR的非線性CE的性能優(yōu)于使用NN的非線性CE，使用NN的非線性CE相比于線性CE也有一定程度的性能提升。

圖4 GPR輔助CE的性能與參數(shù)的關(guān)系Figure 4 Relationship between GPR-aided CE performance and parameters

對于圖4(a)中結(jié)果的解釋是，若NN模型的寬度是無限的，則NN模型計(jì)算的函數(shù)是從多維中心極限定理意義上的高斯過程得出的函數(shù)。因此，當(dāng)NN模型進(jìn)行隨機(jī)優(yōu)化訓(xùn)練時(shí)，可以認(rèn)為GPR在非線性建模中的表現(xiàn)優(yōu)于NN。接下來，我們對隱藏層中節(jié)點(diǎn)數(shù)量的影響進(jìn)行評估。具體來說，BER是通過對每個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)量使用不同的隨機(jī)初始化運(yùn)行NN模型100次來平均的。如圖4(b) 所示，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加，NN模型的性能不斷接近GPR模型。因此，GPR輔助非線性CE的輸出可以看作是具有無限寬度和優(yōu)化參數(shù)的NN輔助非線性CE輸出的平均值。

我們還研究了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的長度和維數(shù)n如何影響GPR在訓(xùn)練階段的表現(xiàn)。如圖5(a)所示，訓(xùn)練數(shù)據(jù)長度越大，性能越好。這主要是因?yàn)椋绻谟?xùn)練階段應(yīng)用更多的訓(xùn)練符號(hào)，多維高斯分布的逼近會(huì)更準(zhǔn)確。由圖 5(b) 可知，發(fā)射功率為13和16 dBm兩種情況的最優(yōu)維數(shù)n均為9。需要指出的是，式(5)中的協(xié)方差函數(shù)假設(shè)輸入向量中的元素具有相同的長度尺度xl。在我們看來，維數(shù)n與符號(hào)之間的相關(guān)程度有關(guān)，可以根據(jù)光纖長度進(jìn)行優(yōu)化。

圖5 GPR輔助CE的參數(shù)對BER性能的影響Figure 5 BER versus length of training symbols and number of dimensions n in GPR model

4 結(jié)束語

本文提出了GPR輔助的CE來減輕IMDD光纖鏈路中的非線性噪聲。研究結(jié)果表明，GPR模型可用于在常規(guī)線性均衡后進(jìn)一步提高系統(tǒng)性能。此外，本文還對GPR和NN模型在CE中的性能進(jìn)行了比較，以證明GPR模型相對于NN模型的優(yōu)越性。