金怡婷

（蘇州市吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)山湖花園小學(xué)，江蘇蘇州 215299）

解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以收獲什么？如何讓每個(gè)學(xué)生實(shí)現(xiàn)收獲最大化？筆者嘗試用數(shù)學(xué)多元表征的方式開(kāi)展教學(xué)，使每一名學(xué)生都能從表層的學(xué)科學(xué)習(xí)走向深度的學(xué)科理解。

一、當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題

（一）教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”之間出現(xiàn)斷層

教育心理學(xué)研究表明，小學(xué)生大多還停留在機(jī)械識(shí)記和形象思維階段，他們所掌握的概念大部分是具體的、直接的、可感知的，對(duì)語(yǔ)言的理解也是比較粗淺的。教師作為成年人，在注意力、觀察力、理解力等方面相較于小學(xué)生都有著極大的優(yōu)勢(shì)，盡管這些年越來(lái)越多的教師從研究?jī)和胧?，從小學(xué)生學(xué)情出發(fā)去設(shè)計(jì)自己的課堂教學(xué)內(nèi)容，但在課堂教學(xué)中還是會(huì)不可避免地出現(xiàn)基于這種差別而產(chǎn)生的問(wèn)題。這也是為什么教師會(huì)時(shí)常發(fā)出這樣的感慨：“這個(gè)內(nèi)容并不難，也講了這么多遍了，學(xué)生怎么還是不懂呢？”雖然教師已經(jīng)關(guān)注了問(wèn)題導(dǎo)向，把握了核心問(wèn)題，但是終究還得回溯到“學(xué)生能聽(tīng)得懂、看明白、想透徹嗎？”這個(gè)本質(zhì)問(wèn)題上去。一旦忽視了這個(gè)問(wèn)題，教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”之間就必然出現(xiàn)斷層。

（二）學(xué)生的“學(xué)”與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間脫鉤

舉一反三、觸類旁通是衡量學(xué)生知識(shí)掌握程度的有效標(biāo)準(zhǔn)，因此，海量刷題的學(xué)習(xí)方式應(yīng)運(yùn)而生。何謂“刷題”？本質(zhì)上就是希望通過(guò)做很多道題來(lái)牢固掌握某種題型。很顯然，這違背了“舉一反三”之理，教師和學(xué)生皆苦不堪言。這種現(xiàn)象背后暴露出了一個(gè)本質(zhì)問(wèn)題：學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的思考是低效的甚至是無(wú)效的。學(xué)生今天學(xué)習(xí)了“小數(shù)加法”，遇到問(wèn)題就用小數(shù)加法來(lái)解決就可以了；明天學(xué)習(xí)“小數(shù)乘法”，遇到問(wèn)題用小數(shù)乘法也就解決了。但是學(xué)生如果遇到小數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，便無(wú)法將知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通。這個(gè)道理同樣可以解釋“學(xué)生越學(xué)越多，但卻越學(xué)越差”這一現(xiàn)象。

（三）數(shù)學(xué)問(wèn)題與學(xué)科理解之間隔斷

學(xué)科理解是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)材料、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)圖表等的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)真實(shí)樣態(tài)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。學(xué)科理解要求學(xué)生不僅要知道“是什么”，還要知道“為什么”，更要知道“怎么做”和“有什么聯(lián)系”，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得一系列知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)、思考等，從而達(dá)到最終學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)科理解是學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、分析、解決、反思一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中逐步生成并建立起來(lái)的。當(dāng)前很多學(xué)生的學(xué)習(xí)往往始于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，止于解決問(wèn)題，忽視了對(duì)“這類問(wèn)題有什么特點(diǎn)？”“這和之前的問(wèn)題有什么相同？又有什么不同？”等問(wèn)題的思考，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系被隔斷，學(xué)生難以有效探尋知識(shí)的本質(zhì)。

二、數(shù)學(xué)多元表征的內(nèi)涵

多元表征是學(xué)生基于不同經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知規(guī)律，根據(jù)學(xué)習(xí)對(duì)象選擇適合自己的一種或多種表征方式來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)的方法，其本質(zhì)是一種基于學(xué)情的個(gè)性化理解與表達(dá)。數(shù)學(xué)多元表征是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，采用合適的表征方式，實(shí)現(xiàn)由具體直觀到一般抽象，再由一般抽象到思維具體的數(shù)學(xué)過(guò)程。它強(qiáng)調(diào)學(xué)生認(rèn)知方式的多元化，尊重每個(gè)學(xué)生的背景和經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的獨(dú)特感受，讓每個(gè)學(xué)生都能通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)多元表征的分類與特點(diǎn)

數(shù)學(xué)多元表征根據(jù)外在形式的不同，大體可以分為言語(yǔ)表征、情境表征、圖示表征、圖表表征、符號(hào)表征五類，不同的表征方式具有不同的特點(diǎn)。

（一）言語(yǔ)表征——復(fù)雜問(wèn)題細(xì)致化

言語(yǔ)表征是一種最常見(jiàn)和最有效的表征方法。它可以具體分為有聲言語(yǔ)表征和無(wú)聲言語(yǔ)（肢體）表征。例如，在“認(rèn)識(shí)圖形”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，教師在介紹正方體6 個(gè)面時(shí)用“相鄰”這個(gè)詞，學(xué)生顯然是無(wú)法理解的，應(yīng)運(yùn)用言語(yǔ)表征把“相鄰”表述為“和這個(gè)面連著的面”“旁邊的”“隔壁”等，引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考問(wèn)題。言語(yǔ)表征在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更多地發(fā)揮著描述數(shù)學(xué)概念的作用。

（二）情境表征——陌生問(wèn)題熟悉化

創(chuàng)設(shè)有趣合適的教學(xué)情境不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能激發(fā)學(xué)生自主探究的動(dòng)力。例如，教師在“乘法分配律”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)了“領(lǐng)體育器材”的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生用兩種不同的方法解決問(wèn)題。學(xué)生可以從計(jì)算結(jié)果和實(shí)際意義兩個(gè)層面體會(huì)兩個(gè)算式的相等關(guān)系，達(dá)到了良好的教學(xué)效果。

（三）圖示表征——抽象問(wèn)題形象化

圖示又稱示意圖，能清楚地呈現(xiàn)題目的邏輯并找出問(wèn)題的核心。在教學(xué)中，教師經(jīng)常借助“畫(huà)一畫(huà)”“圈一圈”等手段，讓抽象的問(wèn)題變得形象具體。在小學(xué)階段比較常見(jiàn)的圖示表征方法有畫(huà)線段圖、規(guī)則圖形示意圖、點(diǎn)子圖、方格圖等。

（四）圖表表征——煩冗問(wèn)題直觀化

在概率統(tǒng)計(jì)的范疇中，圖表發(fā)揮著舉足輕重的作用。圖表不僅能直觀地顯示各類數(shù)據(jù)，還能清晰地呈現(xiàn)核心數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系。除了統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)表也是教師在教學(xué)中解決復(fù)雜問(wèn)題的好幫手。在遇到信息量比較大、數(shù)據(jù)比較多的問(wèn)題時(shí)，教師可以畫(huà)張圖表，幫助學(xué)生梳理題目中的條件和問(wèn)題。

（五）符號(hào)表征——同類問(wèn)題系統(tǒng)化

用符號(hào)來(lái)描述數(shù)學(xué)中的一般規(guī)律是一種既簡(jiǎn)明又方便的方法。學(xué)生從剛進(jìn)入小學(xué)起，教師就應(yīng)當(dāng)讓他們接觸一些特殊符號(hào)，并明白它們的意義。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)來(lái)表征一類事物或特定的規(guī)律，可以啟蒙學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，符號(hào)表征是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法之一。

四、數(shù)學(xué)多元表征的具體實(shí)踐

（一）跨越斷層，走出誤區(qū)

學(xué)生在表征時(shí)的傾向是存在區(qū)別的。有的學(xué)生看到“比”可以想到“分?jǐn)?shù)”，有的學(xué)生看到“部分與部分的比”可以聯(lián)想到“部分與整體的比”。同一個(gè)條件被不同的學(xué)生進(jìn)行了不同的精細(xì)加工。教師應(yīng)為每個(gè)學(xué)生都量身定制一級(jí)可以跨越“教”與“學(xué)”認(rèn)知斷層的“臺(tái)階”。有了這樣的立足于學(xué)情的“臺(tái)階”，學(xué)生的思維才能繞出誤區(qū)，向更深、更遠(yuǎn)處發(fā)展。

（二）打通隔斷，走向理解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生在不同的表征方式下可以通過(guò)分析得到不同的數(shù)量關(guān)系，不同的數(shù)量關(guān)系也呈現(xiàn)出各式各樣的計(jì)算過(guò)程。教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己習(xí)慣的表征方式列出算式并算出結(jié)果，然后把算式放在一起讓學(xué)生進(jìn)行觀察和比較，并向?qū)W生提問(wèn)：“你更喜歡哪種方法？”對(duì)于學(xué)生的每一個(gè)回答，教師都要給予關(guān)注、鼓勵(lì)和贊許。教師的主要目的是通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生明白解決問(wèn)題的方法不分好壞，只要找到最適合自己的方式就行，以此鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生按照自己的經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知規(guī)律找到適合自己的發(fā)展路徑。

綜上所述，教師要引導(dǎo)學(xué)生不要過(guò)于追求最終成績(jī)，而要花時(shí)間去體悟運(yùn)用數(shù)學(xué)多元表征解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生不僅知道“問(wèn)題是什么”“解決問(wèn)題該怎么做”，還知道“為什么這樣做”。這樣才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)、分析、解決、反思問(wèn)題，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真實(shí)樣態(tài)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。