王洪波

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引 言

設(shè)G是一個(gè)頂點(diǎn)集為V={v1,v2,…,vn}，邊集為E的簡單圖.圖G的鄰接矩陣定義為A(G)=(aij)n×n，其中aij=1，若vi與vj相鄰；否則aij=0.A(G)的特征多項(xiàng)式被稱為G的特征多項(xiàng)式，記為ψ(G,λ)=det(λI-A(G))，其根也被稱為G的特征值.由于A(G)是實(shí)對(duì)稱的，故其特征值是實(shí)數(shù)[1].記G的全部互異特征值為λ1,λ2,…,λl，這些特征值的代數(shù)重?cái)?shù)分別為m1,m2,…,ml，其中m1+m2+…+ml=n.G的全部互異特征值連同它們的重?cái)?shù)被稱為G的譜，記為

圖的特征值的絕對(duì)值之和被定義為圖的能量.能量是一類重要的圖指標(biāo)，與共軛碳?xì)浞肿拥摩?電子能量緊密關(guān)聯(lián).若兩個(gè)圖的能量相同，則稱這兩個(gè)圖是等能量的.與能量有關(guān)的問題被許多學(xué)者研究[2-3]，許多的文獻(xiàn)都給出了構(gòu)造等能量圖的方法.Ramane等[4-5]利用線圖的性質(zhì)給出兩個(gè)非同譜等能量無限圖族；Kwong等[7]利用刪邊運(yùn)算給出許多對(duì)等能量圖(圖對(duì)中一個(gè)圖是另外一個(gè)圖的子圖)；Saroja等[6]給出了一些由完全圖構(gòu)造而成的正則等能量圖；王洪波等[8]利用聯(lián)并圖的譜的性質(zhì)給出一個(gè)構(gòu)造等能量圖的方法.本文利用矩陣的相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造了若干等能量圖族.

例如，若G=P3(長度為2的路)，m=4，則G(1),G(2),G(3),G(4),G(5)分別如圖1所示.

圖1

1 相關(guān)引理

若矩陣A=(aij)m×n，B=(bij)p×q.定義A和B的Kronecker積為

引理1[1]設(shè)A=(aij)n×n的特征值為λ1,λ2,…,λn，B=(bij)m×m的特征值為μ1,μ2,…,μm，則A?B的特征值為{λiμj|1≤i≤n,1≤j≤m}.

引理2 設(shè)A,B,C,D是n階方陣，則

證明：記左邊的行列式為D2nm，由Laplacian展開定理，將D2nm按第(m-1)n+1,(m-1)+2,…,mn,mn+1,…,(m+1)n列展開，易得

以此作遞推公式，即可得

2 等能量圖

定理1 設(shè)G的頂點(diǎn)數(shù)為n的簡單圖，G(1),G(2),G(3),G(4)是按前文方式構(gòu)造的圖.則G(1),G(2),G(3),G(4)是等能量的且E(G(1))=E(G(2))=E(G(3))=E(G(4))=mE(G).

證明：設(shè)

對(duì)G(1),G(2),G(3),G(4)的頂點(diǎn)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐判?，則G(1),G(2),G(3),G(4)的鄰接矩陣可以分別表示為

A(G(1))=diag(A(G),A(G),…,A(G)).

這里Jm是m階全1方陣.

這里A(G)=(aij)n×n.

Spec(G(2))=Spec(G(4))=

從而

(3)對(duì)G(3)，分以下兩種情形討論：

Spec(G(3))=

從而

情形2若m是奇數(shù)，

綜上所述，E(G(1))=E(G(2))=E(G(3))=E(G(4))=mE(G).證畢

定理2 設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n的簡單圖且其所有特征值的絕對(duì)值都不小于1，G(1),G(2),G(3),

G(4),G(5)是按前文方式構(gòu)造的圖.則G(1),G(2),G(3),G(4),G(5)是等能量的且E(G(1))=E(G(2))=E(G(3))=E(G(4))=E(G(5))=mE(G).

證明：設(shè)

由定理1，G(1),G(2),G(3),G(4)是等能量的且E(G(1))=E(G(2))=E(G(3))=E(G(4))=mE(G).

對(duì)G(5)的頂點(diǎn)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐判颍?1)當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，G(5)的鄰接矩陣可以表示為

從而

Spec(G(5))=

故當(dāng)|λi|≥1(i=1,2,…,l)時(shí)，

(2)當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，G(5)的鄰接矩陣可以表示為

A(G(5))=

由引理2，引理3，經(jīng)計(jì)算知，

ψ(G(5),λ)=

(λIn-A(G)).

從而

Spec(G(5))=

故當(dāng)|λi|≥1(i=1,2,…,l)時(shí)，