蘇煥銀，徐光明，曾瓊芳，彭舒婷，賈旭東

(1.五邑大學(xué) 軌道交通學(xué)院，廣東 江門 529020；2.中南大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；3.湖南工商大學(xué) 旅游管理學(xué)院，湖南 長沙 410205)

近些年，中國高速鐵路的建設(shè)和發(fā)展取得了巨大成績，對中國經(jīng)濟發(fā)展起到重要支撐作用。2016年1月1日起，中國發(fā)改委調(diào)整了對高速鐵路列車票價的管制。自政策發(fā)布以來，鐵路公司相繼在部分線路列車上進(jìn)行了票價浮動的嘗試。體現(xiàn)出中國高速鐵路列車的客票定價機制市場化運作，考慮不同旅客出行需求特征以及列車服務(wù)質(zhì)量區(qū)別，實行優(yōu)質(zhì)優(yōu)價、靈活浮動的票價機制。因此，本文從網(wǎng)絡(luò)規(guī)模著手，結(jié)合我國鐵路旅客出行需求的特征，研究高速鐵路多列車差異化定價和票額分配綜合優(yōu)化方法，對于提高鐵路運輸企業(yè)的經(jīng)濟收益具有重要意義。高速鐵路列車票價的優(yōu)化和票額分配屬于收益管理問題，近些年受到越來越多的學(xué)者關(guān)注[1?2]。一些學(xué)者專門研究了高速鐵路列車的票價問題。ZHANG等[3]研究了高速鐵路列車團(tuán)體票的定價問題，但只考慮一趟車的始發(fā)終到站之間的旅客需求。ZHENG等[4]針對中國高速鐵路列車的票價優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，設(shè)計了單趟列車在預(yù)售期內(nèi)的票價優(yōu)化方法，將優(yōu)化模型設(shè)計為凸規(guī)劃，采用拉格朗日乘子和KKT條件對模型進(jìn)行求解。張旭等[5]依據(jù)列車席位存量的變化動態(tài)設(shè)計票價，考慮旅客在民航與高鐵之間的選擇行為，但是只針對單個OD對和單個列車車次的不同等級席位研究。景云等[6]考慮了旅客在多種高鐵車型以及航空運輸之間的選擇行為，研究高速鐵路列車在預(yù)售期內(nèi)的動態(tài)定價問題，但是只考慮了一個OD對。趙鵬等[7]針對單個出行OD對旅客需求研究高速鐵路列車差別定價方法。QIN等[8]基于前景理論研究了高速鐵路多趟列車的差別定價方法，采用模擬退火算法進(jìn)行求解。鑒于實際問題的復(fù)雜性和求解難度，較少學(xué)者研究多列車的票價優(yōu)化問題，多數(shù)學(xué)者將研究范圍限定在一趟列車或一個OD對等較小的規(guī)模上，簡化了研究問題，通常采用離散選擇模型分析旅客的選擇行為。也有些學(xué)者研究了固定票價方案下的列車票額分配問題。WANG等[9]研究了鐵路旅客運輸中多列車的席位分配問題，根據(jù)是否在預(yù)售期內(nèi)分時段分配票額，將問題分為單階段和多階段決策，設(shè)計了2個隨機規(guī)劃模型。假設(shè)旅客出行需求在預(yù)售期內(nèi)隨機到達(dá)，符合泊松過程，并采用多項Logit模型描述旅客的路徑選擇行為，綜合考慮旅途時間、票價和席位舒適度。JIANG等[10]研究了中國高速鐵路收益管理問題，結(jié)合短期動態(tài)客流需求預(yù)測方法，動態(tài)調(diào)整預(yù)售期內(nèi)多趟列車的席位分配方案，提高整體列車網(wǎng)絡(luò)收益。YAN等[11]研究了多列車的席位分配和列車編組問題的綜合優(yōu)化方法，考慮了隨機需求以及旅客的選擇行為，分析了需求強度、票價等級以及需求彈性的影響。高速鐵路列車票價的優(yōu)化和票額分配雖然是收益管理中的2個環(huán)節(jié)，但并不是相互獨立的。票價的調(diào)整影響旅客的出行選擇，進(jìn)而影響到各個出行OD對的需求量，而旅客的出行需求是否得到滿足又受到票額分配的牽制。因此，這2個環(huán)節(jié)相互影響，一些學(xué)者對二者進(jìn)行了綜合優(yōu)化研究。QIN等[12-14]研究了預(yù)售期內(nèi)高速鐵路多列車票價浮動和席位分配的綜合優(yōu)化方法，采用人工蜂群算法、兩階段算法以及基于超分方程的分步算法進(jìn)行求解。HU等[15]研究了高速鐵路多列車動態(tài)定價和席位分配綜合優(yōu)化問題，采用擬牛頓方法進(jìn)行求解。YAN等[16]研究了不同運行交路的多列車票價和席位分配綜合優(yōu)化方法，采用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解。周文梁等[17]基于列車服務(wù)水平的多項指標(biāo)將列車聚類分級，構(gòu)建多類列車的差異化票價和票額協(xié)同優(yōu)化方法，采用模擬退火算法進(jìn)行求解。但這些研究對旅客出行需求特征的分析不夠深入，對旅客出發(fā)時段的選擇偏好缺少研究。鑒于此，本文依據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)研究旅客出行需求的出發(fā)時段偏好特征，采用多項Logit模型分析不同出發(fā)時段偏好的旅客需求在多列車之間的選擇行為。以客票收入最大化為目標(biāo)構(gòu)建多列車差異化定價和票額分配的協(xié)同綜合優(yōu)化模型，設(shè)計改進(jìn)的直接搜索模擬退火算法進(jìn)行求解。

1 旅客時變需求

旅客出行需求是設(shè)計票價和票額分配的基礎(chǔ)。依據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)對旅客需求從出發(fā)時段和出發(fā)星期的維度上進(jìn)行統(tǒng)計分析，獲得每個OD對在一周內(nèi)每天的每個小時內(nèi)的平均需求分布情況，如圖1所示。根據(jù)圖1可知：1) 旅客需求隨著出發(fā)時段的變化具有明顯高峰與低谷，具有一定的波動規(guī)律性；2) 一周內(nèi)每天的旅客需求體現(xiàn)的波動特征具有較大的相似性；3) 不同OD對的出行需求體現(xiàn)出來的波動特征具有明顯的不同。

圖1 旅客的出行需求分布Fig.1 Passenger demand distribution

上述特征稱為旅客需求的時變特征，對應(yīng)的旅客需求稱為時變需求。根據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)采用統(tǒng)計回歸方法獲取旅客需求的出發(fā)時段概率分布，描述旅客時變需求。將一天的運營時間劃分成若干時段，時段總數(shù)記為K，時段變量記為k，那么k=t0,t0+1,…,t0+K-1，其中t0表示初始時段。將旅客出行OD對記為(r,s)，r為上車站，s為下車站。OD對(r,s)一天內(nèi)的旅客需求記為qrs，旅客需求位于第k個出發(fā)時段的概率記為frsk，旅客在出發(fā)時段k內(nèi)的需求記為qkrs，那么

2 旅客出行選擇行為分析

采用多項Logit模型分析旅客時變需求如何在差別定價的多趟列車中選擇，以此確定每趟列車的旅客需求，進(jìn)而評估票價和票額分配方案。所有車站組成的集合記為SN，所有OD對組成的集合記為RS。所有列車組成的集合記為W={j}。對于列車j?W，記h(j)為列車j的停站數(shù)，STj=(vj1,vj2,…,vjh(j))為列車j的沿途停站序集(vjx?SN)。列車j在停站vjx至停站vjy的運行區(qū)段稱為列車區(qū)段，記為(vjx,vjy)。列車j的運行區(qū)段組成集合，記為Legj。對于x≤x'且y'≤y，稱運行區(qū)段(vjx,vjy)覆蓋運行區(qū)段(vjx',vjy')，記為(vjx',vjy')?(vjx,vjy)。

將在OD對(r,s)停靠的列車組成的集合記為Wrs。列車j在OD對(r,s)之間的旅行時間記為trs(j)，票價記為crs(j)。旅客的出行成本綜合考慮出發(fā)時間偏差、旅途時間和票價，根據(jù)多項Logit模型原理，OD對(r,s)的旅客時變需求qkrs選擇列車j的概率為

其中，Vr,s,k j表示旅客的出行成本；dj表示列車j的出發(fā)時段，選擇列車j出發(fā)的旅客的實際出發(fā)時段即為dj；k為旅客的期望出發(fā)時段，那么|k-dj|表示旅客的出發(fā)時間偏差絕對值；θ1和θ2為時間價值系數(shù)；?為換算系數(shù)。

那么，對于OD對(r,s)，期望出發(fā)時段為k的旅客選擇第j趟列車的需求為qkrsP(j|r,s,k)。第j趟列車在運行區(qū)段(r,s)上的總旅客需求記為Djrs，表示如下：

3 高速鐵路多列車差異化定價和票額分配的協(xié)同綜合優(yōu)化模型設(shè)計

在綜合優(yōu)化模型的設(shè)計中，本文采用指數(shù)函數(shù)來描述列車票價對旅客出行需求總量的影響，即彈性需求，如式（5）所示。

其中，表示OD對(r,s)的平均列車票價；當(dāng)OD對(r,s)的平均列車票價為時，旅客出行需求為，依據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)獲?。粎?shù)?取值越大，表示需求的價格彈性越大。

列車j在運行區(qū)段(r,s)上的票額記為mrs(j)，每個列車運行區(qū)段上能夠接收的旅客需求受到票額的限制。因此，列車j在運行區(qū)段(r,s)上實際接收的旅客需求表示為min{Djrs,mrs(j)}。那么，以高速鐵路多列車的客票收入最大化為目標(biāo)，以票價crs(j)和票額mrs(j)，(r,s)?Legj，j?W，為決策變量的綜合優(yōu)化模型可表示如下：

其中，cminrs和cmaxrs分別表示列車在運行區(qū)段(r,s)上的票價允許取值的下限和上限，約束條件(8)表示每個列車運行區(qū)段上疊加的票額不超過列車運輸能力。

上述綜合優(yōu)化模型體現(xiàn)了高速鐵路運營決策者和旅客之間的相互作用機理。首先，高速鐵路運營決策者在約束范圍內(nèi)制定相應(yīng)的票價方案；然后，在給定的票價方案下，旅客依據(jù)效用最大理論進(jìn)行出行選擇，決定了每個列車運行區(qū)段上的旅客需求；然后，依據(jù)每個列車運行區(qū)段的旅客需求以及相應(yīng)的票價，運營決策者在運輸能力約束下制定票額分配方案，完成對整體方案的評估。這是一個相互牽制、相互影響的過程。

4 啟發(fā)式優(yōu)化算法設(shè)計

本文綜合優(yōu)化模型的決策變量較多，問題規(guī)模較大。模擬退火算法[18]具有全局收斂性，被廣泛應(yīng)用于工程實踐。為了提高算法在求解高維度優(yōu)化問題時的收斂穩(wěn)定性和收斂效率，對新解生成方法以及算法結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計了改進(jìn)的直接搜索模擬退火(MDSA)算法。分兩階段構(gòu)造優(yōu)化模型的解，首先在票價約束范圍內(nèi)構(gòu)造票價方案，并依據(jù)式(1)～(5)計算每個列車運行區(qū)段上的旅客需求；然后計算給定票價方案下的最優(yōu)票額分配方案。

記票價決策變量的個數(shù)為cn，令C，CL和CU分別為決策變量票價組成的向量及其下限和上限，均為cn維列向量。那么，

滿足式(9)的票價解向量構(gòu)成票價方案C的搜索空間，記為S。在搜索空間S中隨機生成N=7(cn+1)個票價方案[18]，計算每個票價方案C下的最優(yōu)票額分配方案，記為M*(C)={m*rs(j)|(r,s)?Legj,j?W}，及目標(biāo)函數(shù)Z，構(gòu)成初始解集合，記為A。在解集合A中，對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值最大的票價方案記為CBest，對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值最小的票價方案記為CWorst，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)記為Zmax和Zmin。

4.1 票價方案的生成方法

1) 變尺度柯西分布隨機生成票價方案

在搜索空間S內(nèi)按變尺度柯西分布產(chǎn)生票價方案C，該方法記為GNS1。計算公式如下：

式中：符號“?”表示Hadamard乘積；y是由變尺度柯西分布隨機產(chǎn)生的cn維單位列向量；abs(*)為取絕對值函數(shù)；w為(0,1)內(nèi)按均勻分布產(chǎn)生的隨機數(shù)。該方法可實現(xiàn)優(yōu)化初期的大范圍搜索和優(yōu)化后期的小范圍精細(xì)搜索。

2) 組合隨機生成票價方案

首先從解集合中隨機選取RN個票價方案，記為{cn1,cn2,…,cnRN}，將RN個解與票價方案CBest進(jìn)行隨機的組合生成新票價方案C，其每個分量ci由式(11)確定。該方法記為GNS2。

其中，wi為[0,1]內(nèi)按均勻分布產(chǎn)生的隨機數(shù)。該方法可以提高CBest的搜索效率，提高算法的收斂穩(wěn)定性。

3) 自適應(yīng)方法隨機生成票價方案

自適應(yīng)方法中的票價方案C是在搜索空間S中票價方案CBest鄰域內(nèi)按正態(tài)分布隨機擾動產(chǎn)生的，該方法記為GNS3，可避免搜索過早陷入局部極值。

式中：符號“?”表示Hadamard乘積；b為搜索半

徑調(diào)節(jié)系數(shù)；I為自適應(yīng)因子；y是按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機得到的cn維單位列向量。若票價方案C超出搜索空間S，則由式(13)修正C中的各個分量：

對于新構(gòu)造的票價方案，采用上述的式(1)～(5)計算每趟列車運行區(qū)段的旅客需求Djrs，(r,s)?Legj,j?W。

4.2 給定票價方案下的最優(yōu)票額分配方案生成方法

在給定票價方案C={crs(j)|(r,s)?Legj,j?W}和每個列車運行區(qū)段上的旅客需求Djrs，(r,s)?Legj,j?W的前提下，綜合優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為票額分配優(yōu)化模型，如下：

對于滿足式(15)的任意票額分配方案{mrs(j)|(r,s)?Legj,j?W}， 假 若 存 在 某 個mrs(j)>，那么min{Djrs,mrs(j)}=Djrs，表示該列車運行區(qū)段上分配的票額超過了旅客的需求，部分票額(mrs(j)-Djrs)被閑置。閑置的票額并沒有產(chǎn)生實際的票額收入，如果將這部分票額收回，即調(diào)整mrs(j)， 令mrs(j)=Djrs， 那 么min{Djrs,mrs(j)}=Djrs。因此，調(diào)整后的票額分配方案的優(yōu)化目標(biāo)可保持不變(對應(yīng)的客票收入不變)，且式(15)仍然滿足(票額分配變小了)，僅僅是收回了閑置的票額，使得調(diào)整后的票額剛好匹配旅客的需求。

因此，不失一般性，在保持優(yōu)化目標(biāo)不變的前提下，可在上述優(yōu)化模型中添加約束條件mrs(j)≤Djrs,(r,s)?Legj,j?W， 那 么 min{Djrs,mrs(j)}=mrs(j),(r,s)?Legj,j?W。上述票額分配優(yōu)化模型可調(diào)整如下：

s.t.

式(15)

在保持優(yōu)化效果不變(最優(yōu)客票收入不變)的前提下，調(diào)整后的票額分配優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)簡化了，方便采用Cplex優(yōu)化器求解，計算給定票價方案C下的最優(yōu)票額分配方案M*(C)及目標(biāo)函數(shù)Z(C,M*(C))。

4.3 MDSA算法設(shè)計

在MDSA算法中，新解(C,M*(C))被接受的概率Pacc按照式(18)計算：

其中，Ta為第a次降溫得到的溫度。若連續(xù)幾次降溫(以Δa標(biāo)記，Δa<τ，τ為給定參數(shù))中Zmax無明顯改變(即ΔZmax=Za+1max-Zamax≤δ，δ為給定的正實數(shù))作為算法陷入局部極值的判據(jù)。馬氏鏈長度La按照式(19)計算，是MDSA算法內(nèi)層循環(huán)次數(shù)的上限。

MDSA算法的具體步驟如下所示。

1) 構(gòu)造初始解集合A，確定CBest，CWorst，Zmax和Zmin。初始化參數(shù)，確定初始溫度T0，降溫迭代次數(shù)a=0。計算馬氏鏈長度La，令Δa=0。

2) 令i=0。

3) 令i=i+1。若Δa<τ，則按一定的概率采用方法GNS1和GNS2生成新票價方案C；否則采用方法GNS3生成新票價方案C。

4)計算票價方案C下每個列車運行區(qū)段上的旅客需求。采用Cplex優(yōu)化器計算最優(yōu)票額分配方案M*(C)以及目標(biāo)函數(shù)Z(C,M*(C))。

5)計算被接受概率Pacc，在[0,1]內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)Pran。若Pran≤Pacc，則從集合A中刪除最差解并添加新解(C,M*(C))到集合A中。

6) 若新解C,M*(C)是集合A中的最優(yōu)解或者i等于La，則更新CBest，CWorst，Zmax，Zmin和 Δa；否則更新CWorst和Zmin，轉(zhuǎn)步驟3。

7) 若Ta≤ε1且Zmax-Zmin≤ε2，則算法結(jié)束；否則令a=a+1，更新馬氏鏈長度La和溫度Ta，轉(zhuǎn)步驟2。

5 數(shù)值實驗

5.1 實驗設(shè)置

選取武廣高速鐵路51趟列車進(jìn)行實驗，涉及11個OD對和8個車站(武漢、岳陽東、長沙南、衡陽東、郴州西、韶關(guān)、廣州南和深圳北，依次編號0至7)。以小時為間隔，將一天的運營時間[6:00,23:00]劃分為17個時段。根據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)確定每個OD對(r,s)的固定票價及旅客需求q0rs，如表1所示。固定票價下客票收入為Z0=10 721 194。列車在每個運行區(qū)段的票價下限和上限是在固定票價的基礎(chǔ)上下浮30%和上浮30%。

表1 各 OD對的固定票價(上限和下限)和需求Table 1 Fixed prices and demands of OD pairs(the upper limits and the lower limits)

優(yōu)化算法中解的維度cn=296，解集合的大小N=2 079，在算法運算初期，馬氏鏈長度La=5 920。收斂精度ε1=0.05，ε2=0.05。時間價值系數(shù)θ1=0.8元/min，θ2=1元/min。在算法運行前期(a≤50)，以較大概率采用GNS1方法生成新票價方案，提高搜索空間S的覆蓋范圍。在算法運行后期(a>50)，以較大概率采用GNS2方法生成新票價方案，提高算法收斂效率。當(dāng)算法陷入局部極值時采用GNS3方法生成新票價方案，跳出局部極值。

5.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

采用C#編程，針對9個不同彈性需求系數(shù)?進(jìn)行優(yōu)化計算分析，優(yōu)化解的客票收入記為Z*，Z*相比Z0的變化比例記為ΔZ，計算結(jié)果如表2所示。根據(jù)表2可知優(yōu)化解的客票收入明顯提高，受彈性需求系數(shù)?影響較大，提高了9%～27%，旅客出行需求滿足率達(dá)到97%以上。當(dāng)?=1時，客票收入提高最??；當(dāng)旅客出行需求缺乏彈性(?較小)或者富有彈性(?較大)時，客票收入提高幅度較大。在算法降溫200次時，優(yōu)化目標(biāo)已經(jīng)實現(xiàn)了97%以上，降溫總次數(shù)較多是因為算法收斂精度設(shè)置較高所致。不同彈性需求系數(shù)下優(yōu)化解的迭代收斂情況如圖2所示。根據(jù)圖2可知，算法收斂效果較好，算法在迭代到50次以后收斂效率明顯提高，說明采用GNS2方法生成票價方案可以顯著提高算法收斂效率。

表2 優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimal results

圖2 優(yōu)化解的收斂圖Fig.2 Convergence of the optimal solutions

選取彈性需求系數(shù)為0.6和1.4 2種情況進(jìn)行分析。表3展示了優(yōu)化解的部分票價方案，表4展示了優(yōu)化解部分列車的票額分配方案以及旅客需求。根據(jù)表3可知，不同出發(fā)時段的列車票價具有差異性。當(dāng)?=0.6時，列車的票價多數(shù)靠近上限，說明在旅客出行需求缺乏彈性的情況下，提高列車票價可以提高客票收入。當(dāng)?=1.4時，列車的票價多數(shù)低于固定票價，說明在旅客出行需求富有彈性的情況下，降低列車票價可以提高客票收入。根據(jù)表4可知(標(biāo)注下劃線部分為票額分配與需求不相等的情況，未標(biāo)注的為完全匹配的情況)，大部分列車區(qū)段上的票額分配和旅客出行需求剛好相等，在出現(xiàn)偏差的列車運行區(qū)段上，多數(shù)偏差不超過1，極少數(shù)偏差大于1的情況也是出現(xiàn)在短途運行區(qū)段上，如運行區(qū)段2-3和5-6。因此，列車在各個運行區(qū)段上的票額分配方案與相應(yīng)的旅客需求高度匹配，說明票額分配方案的合理性以及優(yōu)化方案的需求導(dǎo)向性。

表3 優(yōu)化解的部分票價方案(?=0.6/?=1.4)Table 3 Part train prices of the optimal solutions (? =0.6/? =1.4)

表4 優(yōu)化解的部分列車票額分配方案/旅客需求(?=1.4)Table 4 Seat allocations of part trains for the optimal solution/passenger demand (?=1.4)

6 結(jié)論

1) 綜合考慮旅客出發(fā)時間偏差、旅途時間和票價支出3項因素設(shè)計了多項Logit模型，分析旅客在差異化定價的多列車之間的選擇行為。以客票收入最大化為目標(biāo)構(gòu)建高速鐵路多列車差異化定價和票額分配的協(xié)同綜合優(yōu)化模型。

2) 將解的生成分為2個階段，第1階段采用變尺度柯西分布隨機生成方法、組合隨機生成方法和自適應(yīng)隨機生成方法構(gòu)造票價方案，第2階段采用Cplex優(yōu)化器求解給定票價方案下的最優(yōu)票額分配方案。設(shè)計了基于兩階段的改進(jìn)直接搜索模擬退火算法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

3) 選取武廣高速鐵路的51趟列車進(jìn)行實驗分析。計算結(jié)果表明算法整體收斂效果較好，優(yōu)化解的客票收入受彈性需求系數(shù)的影響較大，提高了9%～27%。不同出發(fā)時段的列車票價具有差異性，列車在各個運行區(qū)段上的票額分配方案與相應(yīng)的旅客出行需求高度匹配，說明優(yōu)化方案的需求導(dǎo)向性。