王軍光 郭浩軒

（1.國能榆林化工有限公司；2.東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院）

永磁同步電動(dòng)機(jī)（PMSM）系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性，具有高效率、高性價(jià)比、高可靠性等特性［1］，適用于中低端的工業(yè)應(yīng)用功率范圍，被廣泛應(yīng)用于石油石化等領(lǐng)域［2～4］。 分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)由于在系統(tǒng)模型中引入了分?jǐn)?shù)階微積分理論，優(yōu)化了系統(tǒng)模型，因而能夠更好地表現(xiàn)永磁同步電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性［5］。

PMSM系統(tǒng)是含有多變量耦合的非線性系統(tǒng)。 對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，PMSM的狀態(tài)變量存在混沌現(xiàn)象［6］。文獻(xiàn)［7］討論了PMSM系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的存在， 發(fā)現(xiàn)在一定條件下，PMSM系統(tǒng)狀態(tài)變量呈現(xiàn)雜亂無章的變化，但相圖中存在吸引子。 PMSM系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象會(huì)影響電機(jī)工作的穩(wěn)定性，為了消除此種不穩(wěn)定特性，需要對(duì)其混沌狀態(tài)進(jìn)一步分析和研究。

近年來， 分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)同步控制被廣泛研究。 文獻(xiàn)［8］針對(duì)不確定參數(shù)分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)同步控制， 提出了一種新分?jǐn)?shù)階控制方法，實(shí)現(xiàn)了初值不同參數(shù)不確定的兩個(gè)分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)的同步控制。 文獻(xiàn)［9］研究了分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象存在的條件，并通過設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)的同步控制。 文獻(xiàn)［10］利用分?jǐn)?shù)階滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，實(shí)現(xiàn)了兩種不同PMSM系統(tǒng)的同步控制。 然而，目前對(duì)于柔性變結(jié)構(gòu)控制策略的研究則較少。

筆者利用柔性變結(jié)構(gòu)控制策略實(shí)現(xiàn)同步控制， 對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行理論分析， 最后通過常見的分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

1 問題描述

分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)如下［11］：

當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x（0）=［1，1，0.1］時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出如圖1所示的混沌現(xiàn)象。

圖1 分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)初始狀態(tài)下的混沌現(xiàn)象

對(duì)上述結(jié)構(gòu)相同初值不同的分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步控制， 可將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如下形式：

2 同步控制器設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)兩初值不同系統(tǒng)的同步控制，采用分?jǐn)?shù)階Lyapunov理論，設(shè)計(jì)柔性變結(jié)構(gòu)同步控制器。由式（3）得：

其 中，ui=H（p，e），H 為 光 滑 函 數(shù) 并 且 滿 足Lipschitz條件，p=［p1，p2，p3］為控制器參數(shù)；aij為系統(tǒng)參數(shù)。 為了設(shè)計(jì)柔性控制器，采用分?jǐn)?shù)階微積分的方法確定選擇參數(shù)pi，則選擇參數(shù)pi連續(xù)變化時(shí)，控制器也會(huì)變化，避免出現(xiàn)抖振情況。 其中選擇參數(shù)取：

定義1 在所設(shè)計(jì)控制器ui的作用下， 系統(tǒng)（4） 是Lyapunov穩(wěn)定的。 即控制器實(shí)現(xiàn)兩分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)的實(shí)時(shí)跟蹤。

證明 根據(jù)分?jǐn)?shù)階PMSM同步系統(tǒng)選取Lyapunov函數(shù)：

由分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論判定該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，證明從任意初始條件出發(fā)的誤差系統(tǒng)（3）將穩(wěn)定在平衡點(diǎn)。 所設(shè)計(jì)的控制器（6）實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（1）狀態(tài)變量之間的同步控制。

3 數(shù)值仿真

對(duì)三維分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬仿真，以驗(yàn)證該方法對(duì)兩永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)同步控制的效果。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

分?jǐn)?shù)階階次q=0.98。 兩系統(tǒng)的狀態(tài)變量初始值x（0）=［1，1，0.1］，y（0）=［0.01，0.01，0.01］。

如圖2所示，當(dāng)控制器u無輸出時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)誤差在10 s內(nèi)不收斂。

圖2 無控制器作用時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線

為使系統(tǒng)誤差收斂并趨于穩(wěn)定，加入柔性控制器ui=-kiei-piliei，選取k=［2，2，2］。

為體現(xiàn)柔性控制器反應(yīng)迅速的優(yōu)越性，先設(shè)置控制器中的l=［0，0，0］，即控制器為：

得到當(dāng)控制器為比例控制器時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線如圖3所示， 可以看出此時(shí)誤差曲線收斂速度較慢。

圖3 比例控制器下系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線

為縮短兩分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)同步的時(shí)間，利用柔性變結(jié)構(gòu)控制器（6）對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行控制。 為簡(jiǎn)化仿真，選取l=［1，1，1］，φ（p，e）=1，β=1，使選擇參數(shù)pi在一定范圍內(nèi)。 通過數(shù)值仿真得出柔性控制器作用下系統(tǒng)誤差曲線如圖4所示， 選擇參數(shù)pi如圖5所示。從圖4中可以看出，柔性變結(jié)構(gòu)控制使得系統(tǒng)誤差更快地收斂至平衡狀態(tài)，具有更短的收斂時(shí)間。 圖5中最初2 s需要控制器較大的調(diào)節(jié)能力， 此時(shí)選擇參數(shù)較大；2 s后系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，控制器輸出會(huì)干擾系統(tǒng)穩(wěn)定，故選擇參數(shù)逐漸衰減至0，從而具有更快的穩(wěn)定時(shí)間。

圖4 柔性控制器下狀態(tài)誤差曲線

圖5 選擇參數(shù)變化曲線

為進(jìn)一步驗(yàn)證柔性控制器對(duì)系統(tǒng)誤差的影響，仿真中對(duì)柔性變結(jié)構(gòu)控制器的加入時(shí)間加以設(shè)定，在仿真開始2 s后加入控制器，結(jié)果如圖6所示。可以看出，仿真的前2 s誤差曲線不穩(wěn)定、波動(dòng)大，在2 s后加入柔性控制器后，系統(tǒng)狀態(tài)誤差逐漸趨于穩(wěn)定，收斂速度較快。 仿真結(jié)果表明，兩分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)在任意初始條件下， 柔性變結(jié)構(gòu)控制器使得同步誤差狀態(tài)漸近穩(wěn)定，兩系統(tǒng)狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)了同步。

圖6 2 s后加入柔性控制器后的誤差曲線

4 結(jié)束語

筆者設(shè)計(jì)了一種柔性變結(jié)構(gòu)控制器，實(shí)現(xiàn)了兩不同初值分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的同步控制。通過柔性變結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)兩系統(tǒng)同步時(shí)間的改變，并通過分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論判定了誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 控制器縮短了兩分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)狀態(tài)變量的跟蹤時(shí)間。Matlab仿真驗(yàn)證了在分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)同步控制中， 該控制器縮短收斂時(shí)間的優(yōu)點(diǎn)。