何其昌，許志杰

（上海交通大學(xué)，上海 200240）

裝配孿生模型是利用數(shù)字孿生技術(shù)與虛擬裝配技術(shù)，構(gòu)建與物理裝配現(xiàn)場(chǎng)完全一致的虛擬裝配模型，通過物理裝配現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)驅(qū)動(dòng)虛擬模型的仿真分析，評(píng)估裝配過程中的行為和裝配性能，從而指導(dǎo)裝配現(xiàn)場(chǎng)的操作并保證裝配質(zhì)量[1–2]。以航空航天領(lǐng)域?yàn)榇淼难b備具有極其復(fù)雜的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，其幾何數(shù)字模型的三角面片可達(dá)數(shù)億[3]，如何高效地實(shí)時(shí)繪制該量級(jí)的虛擬裝配可視化模型，是極具挑戰(zhàn)性的研究課題。

目前，自動(dòng)特征識(shí)別的算法主要分為基于立體分解和基于邊界匹配：基于立體分解的算法通過對(duì)零件體分解得到凸體集合，再將凸體集合重組并分類，從而確定特征類型[4]；基于邊界匹配的算法通過查找特征庫(kù)中邊界組合模板，獲取所有符合模板的幾何拓?fù)鋽?shù)據(jù)集合，根據(jù)特征庫(kù)的形式可進(jìn)一步將識(shí)別算法分為基于規(guī)則[5]、基于痕跡[6]和基于圖[7–9]，其中基于圖的特征識(shí)別算法的研究成果最為豐富。Gao等[10]提出一種基于特征抑制的CAD網(wǎng)格模型簡(jiǎn)化框架，通過抑制識(shí)別到的特征，并填充由此造成的孔洞，得到多個(gè)簡(jiǎn)化等級(jí)的網(wǎng)格模型。齊洪方等[11]引入頂點(diǎn)鄰域三角形平均面積、三角形的法向量變化以及邊長(zhǎng)信息計(jì)算折疊代價(jià)，通過邊折疊操作有效減少網(wǎng)格模型的數(shù)據(jù)量。曹增歡等[12]基于曲度，對(duì)網(wǎng)格模型分區(qū)域采用邊折疊和三角形折疊，實(shí)現(xiàn)高效簡(jiǎn)化的同時(shí)，較好地保持了模型細(xì)節(jié)特征。Kwon等[13]通過將CAD模型體分解為若干特征區(qū)域，然后根據(jù)其重要性順序依次刪除并修補(bǔ)網(wǎng)格模型，從而獲取多分辨率的簡(jiǎn)化模型?；趲缀卧卣郫B的簡(jiǎn)化方法可以高效生成任意簡(jiǎn)化精度的網(wǎng)格模型，但容易造成部分特征失真，最終影響裝配仿真的準(zhǔn)確性?；谔卣鞯哪Ｐ秃?jiǎn)化方法以特征為單位從原模型中刪除特征信息，在簡(jiǎn)化的同時(shí)盡可能地保留了模型的外觀，但是無法實(shí)現(xiàn)連續(xù)等級(jí)的簡(jiǎn)化精度，直接刪除或抑制裝配特征區(qū)域可能導(dǎo)致無法完成裝配仿真。

針對(duì)裝備數(shù)字孿生可視化模型精簡(jiǎn)的需求，提出面向裝配仿真過程的模型自適應(yīng)簡(jiǎn)化方法。首先，針對(duì)裝配過程仿真，提出自適應(yīng)簡(jiǎn)化策略；然后，建立模型的AAG（屬性鄰接圖），將其與基本特征庫(kù)中的子圖進(jìn)行匹配實(shí)現(xiàn)特征的自動(dòng)識(shí)別，并通過解析裝配語義獲得當(dāng)前裝配工序的裝配特征；其次，優(yōu)化QEM（Quadratic error metric）的折疊代價(jià)計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)保留裝配特征網(wǎng)格的模型自適應(yīng)簡(jiǎn)化；最后以發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣裝配工藝仿真進(jìn)行應(yīng)用驗(yàn)證。

1 方法描述

復(fù)雜產(chǎn)品的裝配工藝路線通常遵循先子裝配后總裝的思想，通過分解產(chǎn)品PBOM（Process bill of material）結(jié)構(gòu)形成若干子裝配單元，完成子裝配單元的裝配后再進(jìn)行上一層級(jí)的裝配。因此，裝配數(shù)字孿生可視化模型數(shù)量會(huì)隨著裝配過程不斷累加，裝配仿真場(chǎng)景的幾何三角網(wǎng)格數(shù)量也將不斷增長(zhǎng)。

裝配特征在裝配仿真中參與約束求解、碰撞干涉檢測(cè)等計(jì)算，此區(qū)域的三角網(wǎng)格需要保證較高的精度，才能對(duì)物理現(xiàn)場(chǎng)的裝配過程進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，預(yù)測(cè)裝配性能。針對(duì)裝配過程仿真，數(shù)字孿生模型只需要保留當(dāng)前裝配工步對(duì)應(yīng)的裝配特征，而其余區(qū)域的三角網(wǎng)格則可以簡(jiǎn)化。

圖1為裝配工藝PBOM，虛線表示兩個(gè)零件或子裝配之間具有裝配約束關(guān)系，其中裝配工藝AP可分解為n個(gè)裝配工步，Pi表示第i個(gè)裝配工步，i∈[1，n]。Partij表示第i個(gè)裝配工步相關(guān)的零件或子裝配 （零件及子裝配統(tǒng)一用 Part表示），j∈[1，m]，j表示第j個(gè)零件；m表示該工步涉及的零部件總數(shù)。

圖1 裝配工藝PBOMFig.1 Assembly process PBOM

Preserve（ ）與Simplify（ ）分別表示對(duì)網(wǎng)格區(qū)域的保留與簡(jiǎn)化，對(duì)于同一零件，其裝配特征區(qū)域會(huì)隨著工步對(duì)應(yīng)的裝配約束而變化，即{Feature}依賴于Pi的具體內(nèi)容，從而動(dòng)態(tài)調(diào)整精簡(jiǎn)區(qū)域。盡管裝配工步的零部件數(shù)量以及結(jié)構(gòu)會(huì)隨著裝配過程的進(jìn)行趨向復(fù)雜，但是每一個(gè)工步中只保留當(dāng)前的裝配特征區(qū)域，其大小相對(duì)穩(wěn)定，在后序工步仿真中仍有充足的簡(jiǎn)化空間降低裝配仿真場(chǎng)景的三角面片數(shù)量，最終在保證裝配可視化效果的前提下實(shí)現(xiàn)模型的自適應(yīng)精簡(jiǎn)。

2 基于圖的裝配特征識(shí)別

主流的產(chǎn)品幾何模型采用B–Rep數(shù)據(jù)模型，其通過邊界表面表示實(shí)體，其包含了點(diǎn)、邊、面、環(huán)等幾何信息以及幾何元素之間的拓?fù)溥B接信息。如圖2所示，本文利用B–Rep信息，基于AAG進(jìn)行裝配特征識(shí)別。AAG是一種描述零件幾何拓?fù)湫畔⒌膱D結(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)表示模型的面，弧表示面相交形成的邊，面可分為平面、圓柱面、圓錐面、球面等類型，邊可分為直線邊、圓弧邊、橢圓邊等類型[14]。在圖匹配的過程中，內(nèi)外環(huán)以及邊的凹凸性是AAG重要的屬性。首尾連接的邊的方向（沿著法向，使得面在邊的左側(cè)的方向）為逆時(shí)針，定義成外環(huán)；反之為內(nèi)環(huán)。鄰接面的外二面角大于180°時(shí)，定義成凸邊；等于180°時(shí)，為光順邊；小于180°時(shí)，為凹邊。圖3為三維線框模型及其屬性鄰接圖，圖3（a）和 （b）分別表示零件的線框模型（數(shù)字1~9表示模型邊界表面，其中弧為1表示凸邊，–1表示凹邊，0表示光順邊）及對(duì)應(yīng)的AAG。

構(gòu)建基本特征圖庫(kù)，其包含了常見特征的屬性鄰接圖，如圓通孔和通臺(tái)階的AAG（圖4）。圓通孔由兩個(gè)圓柱面組成，圓柱面相交成兩條光順邊；通臺(tái)階由兩個(gè)平面組成，平面相交成一條凹邊。由于AAG規(guī)模隨著模型的復(fù)雜度而變大，為了提高圖匹配的效率，需要對(duì)AAG進(jìn)行分解，提取潛在的特征子圖，最終得到最小屬性鄰接圖 （Minimum attributed adjacency graph，MAAG），如圖3（c）所示。MAAG的構(gòu)建算法如下：

圖3 三維線框模型及其屬性鄰接圖Fig.3 3D wireframe model and its AAG

（1）遍歷AAG，判斷是否存在內(nèi)邊界環(huán)，若存在，則先分解內(nèi)邊界環(huán)對(duì)應(yīng)的邊，由此得到子圖集合SG1；

（2）遍歷SG1中每個(gè)子圖，進(jìn)行一次圖匹配，未成功完成圖匹配的子圖進(jìn)入步驟（3）；

（3）遍歷SG1中未完成圖匹配的子圖，分解弧值為1的邊，完成二次分解，得到SG2；

（4）整理合并SG1和SG2，得到最終的分解結(jié)果SG。

圖匹配實(shí)際上是判斷MAAG與基本特征圖庫(kù)中的AAG是否為圖同構(gòu)關(guān)系的過程。圖同構(gòu)的定義為兩個(gè)圖的節(jié)點(diǎn)和弧的數(shù)量、屬性相同，且弧的連接性相同。給定兩個(gè)圖G1= （V1，E1）、G2= （V2，E2），V和E分別表示圖的節(jié)點(diǎn)集和弧集，圖匹配的具體過程如下：

（1）判斷節(jié)點(diǎn)集和弧集的數(shù)量是否相同，若不相同則直接判定不為圖同構(gòu)關(guān)系，反之進(jìn)入步驟（2）；

（2）在V1、V2中任意選取一個(gè)頂點(diǎn)v1i、v2j，構(gòu)成未遍歷過的頂點(diǎn)對(duì)（i，j）；

（3）判斷 （i，j）對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)屬性及其一階鄰接弧的數(shù)量和屬性是否完全相同，若相同則標(biāo)記Flag（i，j）為True，反之則為False；

（4）判斷是否存在未遍歷過的頂點(diǎn)對(duì)，若存在，跳回步驟（2）；

（5）遍歷 Flag（i，j），判斷每個(gè)v1i是否至少有一個(gè)v2j與之匹配，每個(gè)v2j是否至少有一個(gè)v1i與之匹配，若滿足，則G1、G2同構(gòu)，反之不為同構(gòu)。

經(jīng)過圖匹配后將得到模型的基本特征圖集SFG，而數(shù)字孿生模型只需保留當(dāng)前裝配工步的裝配特征，因此需要從SFG中提取裝配特征圖集SAFG。

如圖2所示，通過解析裝配語義構(gòu)建了裝配語義特征庫(kù)，以此提取SFG中當(dāng)前裝配工序的裝配特征。裝配語義特征庫(kù)基于裝配約束信息，列舉了裝配語義對(duì)應(yīng)的裝配特征。例如針對(duì)螺栓連接零件A與B的裝配語義，A的裝配特征定義為

圖2 基于AAG的裝配特征識(shí)別流程Fig.2 Flow of assembly feature recognition based on AAG

FeatureA={CircularThoughHole，TopFace，BottomFace}

表明圓通孔特征在螺栓連接裝配時(shí)額外需要上下平面作為面貼合的關(guān)鍵特征，其提取規(guī)則表示為

“If feature Is Type (Circular Through Hole), Then feature.Add(TopFace and BottomFace).”

即若圖4（a）中的特征為螺栓連接語義中的圓通孔，則TopFace與BottomFace分別對(duì)應(yīng)3號(hào)面與4號(hào)面。針對(duì)齒輪C安裝到傳動(dòng)軸D上的裝配語義，傳動(dòng)軸D的裝配特征定義為

圖4 圓通孔及通臺(tái)階的AAGFig.4 AAG of circular through hole and through step

FeatureD={OuterCylindricalFace,RingFace}

由傳動(dòng)軸的外圓柱面及其鄰接的圓環(huán)面組成，分別作為徑向和軸向的定位特征，其提取規(guī)則表示為

“If feature Is Type (Outer Cylindrical Face), Then feature.Add (RingFace).”

鄰接的圓環(huán)面可由外圓柱面通過凹邊連接的節(jié)點(diǎn)取得，由此得到準(zhǔn)確的裝配特征圖集SAFG。

3 基于改進(jìn)QEM的模型精簡(jiǎn)

目前，基于幾何網(wǎng)格的簡(jiǎn)化算法可分為幾何元素刪除法[15]、網(wǎng)格重新劃分法[16]和幾何元素折疊法[17]。幾何元素刪除法通過不斷地從網(wǎng)格中刪除頂點(diǎn)或三角形，并對(duì)留下的空洞重新三角化。網(wǎng)格重新劃分法通過增加新頂點(diǎn)，再對(duì)網(wǎng)格三角剖分，最終產(chǎn)生一個(gè)更為簡(jiǎn)單的逼近網(wǎng)格。幾何元素折疊法不需要對(duì)折疊區(qū)域重新三角化，相比前兩種方法具有更好的穩(wěn)定性和更快的簡(jiǎn)化速度[18]，如Garland等[19]使用QEM計(jì)算邊折疊的代價(jià)，是經(jīng)典的網(wǎng)格簡(jiǎn)化算法。

邊折疊是簡(jiǎn)化時(shí)的關(guān)鍵步驟，是指將頂點(diǎn)Vi和頂點(diǎn)Vj折疊成新頂點(diǎn)Vn，并重新調(diào)整新頂點(diǎn)的鄰接三角形的過程，如圖5所示。

圖5 邊折疊過程Fig.5 Edge collapse process

邊折疊會(huì)引起網(wǎng)格形狀的變化，因此需要有指標(biāo)衡量折疊前后的誤差。QEM采用新頂點(diǎn)到原頂點(diǎn)鄰域三角形面的距離的平方和 （即二次誤差）作為折疊代價(jià)，其計(jì)算過程如下。

三維空間中的平面P可以表示為ax+by+cz+d=0，且a2+b2+c2=1，d為常數(shù)。令p=[a，b，c，d]T，則空間中的頂點(diǎn)v= [vx，vy，vz，1]T到P的距離的平方DP2（v）為

令誤差矩陣KP=ppT，則v的二次誤差Δ（v）為

式中，P（v）表示頂點(diǎn)v的一階鄰域平面集合；Q為v的誤差矩陣。定義邊vivj折疊到新頂點(diǎn)vn的二次誤差Δ（vn）為

式中，Qi、Qj、Qn分別對(duì)應(yīng)vi、vj、vn的誤差矩陣。對(duì)Δ（vn）求偏導(dǎo)即可推出二次誤差極小時(shí)的vn，若無法取得誤差的極小值，則vn取vi、vj或兩個(gè)頂點(diǎn)的中點(diǎn)（vi+vj）/2中二次誤差最小的頂點(diǎn)。

基于QEM的計(jì)算可以保證模型的簡(jiǎn)化沿著曲率較小的方向，但是在簡(jiǎn)化時(shí)容易丟失網(wǎng)格的幾何特性，而機(jī)械CAD網(wǎng)格模型具有輪廓規(guī)則分明、三角網(wǎng)格分布不均、含有眾多特征面的特點(diǎn)，對(duì)產(chǎn)品機(jī)械CAD網(wǎng)格直接應(yīng)用QEM算法容易導(dǎo)致特征失真。因此，針對(duì)當(dāng)前裝配工步需要保留的裝配特征，通過修正，對(duì)QEM進(jìn)行改進(jìn)，算法流程如圖6所示。

圖6 改進(jìn)QEM算法流程Fig.6 Improved QEM simplification algorithm flow

首先按照式（6）計(jì)算出所有邊的新頂點(diǎn)vn及其二次誤差，若邊vivj屬于當(dāng)前工步裝配特征的三角網(wǎng)格區(qū)域，修正的二次誤差Δ′（vn）為

式中，Max （Δ（vn））表示所有未修正的二次誤差最大值，以此保證裝配特征區(qū)域的簡(jiǎn)化優(yōu)先級(jí)最低。完成修正后，根據(jù)邊折疊的代價(jià)建立最小堆結(jié)構(gòu) （經(jīng)排序過的完全二叉樹，保證非葉子節(jié)點(diǎn)的值不大于其左右子節(jié)點(diǎn)的值），每次折疊時(shí)取堆頂?shù)倪叄⒕S護(hù)最小堆結(jié)構(gòu)使得堆頂?shù)恼郫B代價(jià)始終為最小值。假設(shè)計(jì)算機(jī)渲染的最大三角面數(shù)量為Nmax，當(dāng)前工步Pi未簡(jiǎn)化的模型三角面片總數(shù)為N1，Partij的三角面片數(shù)量為N2，則Partij簡(jiǎn)化后的三角面數(shù)量要求N為

然后不斷進(jìn)行邊折疊，同時(shí)更新網(wǎng)格與折疊代價(jià)的排序，直至當(dāng)前的三角面數(shù)量滿足要求為止。

4 應(yīng)用驗(yàn)證

采用某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣機(jī)匣的數(shù)字孿生裝配仿真進(jìn)行應(yīng)用驗(yàn)證，其CAD模型面片數(shù)量為35548，選取的兩個(gè)裝配工步P1、P2分別是機(jī)匣工作環(huán)上螺釘?shù)臄Q緊以及端面法蘭的螺栓連接，需要識(shí)別工作環(huán)上的沉頭孔特征與法蘭上的圓通孔特征，并保證簡(jiǎn)化后的面片數(shù)量維持在5200（保證渲染幀率fps>60），精簡(jiǎn)率為85.4%。

圖7（a）為機(jī)匣模型局部區(qū)域的AAG，通過與基本特征圖庫(kù)中沉頭孔的AAG（圖7（b））進(jìn)行圖匹配，可得77~81節(jié)點(diǎn)為沉頭孔特征。針對(duì)螺釘擰緊的裝配語義，沉頭孔的裝配特征FeatureE定義為

圖7 機(jī)匣模型的AAGFig.7 AAG of casing model

FeatureE={CounterboredHole,BottomFace}

即裝配沉頭孔時(shí)，下底面也是關(guān)鍵的配合特征，提取規(guī)則需要增加344節(jié)點(diǎn)，這里指機(jī)匣的內(nèi)環(huán)面，因此P1的識(shí)別結(jié)果為77 ~ 81及344節(jié)點(diǎn)。50、51為圓通孔特征，P2的裝配語義為螺栓連接，因此，P2的識(shí)別結(jié)果為50、51、235、105 節(jié)點(diǎn)，235與 105 節(jié)點(diǎn)分別為圓通孔特征鄰接的上下平面。

根據(jù)識(shí)別到的裝配特征區(qū)域，采用改進(jìn)的QEM簡(jiǎn)化算法對(duì)機(jī)匣網(wǎng)格模型進(jìn)行精簡(jiǎn)處理。設(shè)置機(jī)匣模型的精簡(jiǎn)要求N= 5200，圖8展示了改進(jìn)的QEM簡(jiǎn)化算法與原QEM簡(jiǎn)化算法的效果對(duì)比。由圖8（b）可知，QEM算法趨向?qū)⒕W(wǎng)格模型的各個(gè)部分均勻簡(jiǎn)化，在總體上保持了較好的可視化效果，但是針對(duì)P1、P2工步，沉頭孔與圓通孔特征網(wǎng)格均嚴(yán)重失真，無法滿足數(shù)字孿生裝配仿真的要求。當(dāng)Pi=P1時(shí)，圖8（c）中的網(wǎng)格模型保留了機(jī)匣的沉頭孔與內(nèi)環(huán)面特征。Pi=P2時(shí)，圖8（d）中的網(wǎng)格模型保留了圓通孔與法蘭端面特征，兩個(gè)裝配工步下都分別提高了其非特征區(qū)域的簡(jiǎn)化率。由此可得，改進(jìn)的QEM算法針對(duì)不同工步中的相同的網(wǎng)格模型，通過自適應(yīng)地調(diào)整局部精簡(jiǎn)率使得裝配區(qū)域保持較高的分辨率。因此，改進(jìn)的QEM算法更好地保留了裝配特征。

圖8 機(jī)匣模型精簡(jiǎn)效果對(duì)比（N = 5200）Fig.8 Comparison of simplified eあect of casing model (N= 5200)

另外，QEM算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（nlogn），空間復(fù)雜度為O（n），在處理大型復(fù)雜網(wǎng)格模型時(shí)仍可以表現(xiàn)出較好的運(yùn)算速度[20]，而改進(jìn)的QEM算法只是在計(jì)算邊折疊代價(jià)時(shí)增添了是否修正的判斷，不會(huì)增加QEM算法的時(shí)間復(fù)雜度，案例運(yùn)行時(shí)電腦配置CPU為Intel Core i7–10710U，內(nèi)存大小為 16 G，顯卡型號(hào)是GeForce MX350，圖8（b） ~ （d）的平均簡(jiǎn)化耗時(shí)分別為450 ms、472 ms和 475 ms。

5 結(jié)論

針對(duì)數(shù)字孿生裝配可視化模型簡(jiǎn)化的需求，本文實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)調(diào)整網(wǎng)格局部簡(jiǎn)化率的精簡(jiǎn)方法，保持了當(dāng)前裝配工步的裝配特征網(wǎng)格質(zhì)量。在基于圖的自動(dòng)特征識(shí)別算法之上，引入了裝配語義特征庫(kù)提取實(shí)際裝配特征?；谘b配特征識(shí)別的結(jié)果，改進(jìn)了QEM算法的代價(jià)計(jì)算，最后的應(yīng)用驗(yàn)證表明，改進(jìn)后的算法具有更好的精簡(jiǎn)效果。未來，可以采用深度學(xué)習(xí)的方法提高復(fù)雜裝配特征識(shí)別的效率，同時(shí)對(duì)折疊簡(jiǎn)化算法進(jìn)一步優(yōu)化，在保留裝配特征的同時(shí)，提高非裝配區(qū)域的網(wǎng)格質(zhì)量，從而優(yōu)化裝配模型整體的可視化效果。