王慶東 （單縣勝利路實(shí)驗(yàn)學(xué)校 山東菏澤 274300）

影響生物學(xué)教學(xué)效率的因素很多，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中抓不住事物的本質(zhì)是一個(gè)主要因素。提高生物學(xué)教學(xué)效率需引領(lǐng)學(xué)生快速、牢固抓住事物的本質(zhì)。

1 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突顯事物本質(zhì)

數(shù)學(xué)模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起的等式、不等式、圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式[1]。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有兩大功能：①?gòu)姆彪s的現(xiàn)象抽象出本質(zhì)，從特殊事例中抽象出一般規(guī)律，即化具體為抽象；②將抽象的概念或方法，用數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形表達(dá)，使抽象的概念或方法變得簡(jiǎn)單直觀，即化抽象為直觀。化具體為抽象能使學(xué)生迅速抓住事物的本質(zhì)，易于遷移和應(yīng)用；化抽象為直觀，方便學(xué)生理解和記憶[2]。在生物學(xué)教學(xué)中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，可使學(xué)生快速、牢固地抓住事物的本質(zhì)，提高生物學(xué)教學(xué)效率。

2 應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，提高建模效率

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型依賴數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想決定構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的主動(dòng)性、針對(duì)性、科學(xué)性和實(shí)用性。不同的數(shù)學(xué)思想對(duì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的作用不同。有的側(cè)重于化具體為抽象，突顯內(nèi)在規(guī)律；有的側(cè)重于化抽象為直觀，簡(jiǎn)明呈現(xiàn)規(guī)律。

2.1 應(yīng)用數(shù)學(xué)思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突顯內(nèi)在規(guī)律

2.1.1 應(yīng)用函數(shù)思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從現(xiàn)象提煉規(guī)律 函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。

在生物學(xué)教學(xué)中，常涉及到2個(gè)量的關(guān)系，其中一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，即函數(shù)關(guān)系，例如，酵母菌活性與溫度的關(guān)系、種子萌發(fā)過(guò)程中干重與時(shí)間的關(guān)系等。僅有少數(shù)幾組數(shù)據(jù)，無(wú)法客觀反映2個(gè)量的關(guān)系，學(xué)生不易記憶。涉及函數(shù)關(guān)系的生命現(xiàn)象，都可建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型。

案例1：“晶狀體的曲度與物距的關(guān)系”是函數(shù)關(guān)系。要說(shuō)明“正常情況下，人為什么能看清遠(yuǎn)近不同的物體”，可利用“蠟燭、雙凸透鏡、白板等進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)”闡明其中的原理。通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)生可形成“像距不變，更換雙凸透鏡，可使遠(yuǎn)近不同的物體在白紙板上呈現(xiàn)清晰的物象”的感性認(rèn)識(shí)；并能形成“正常情況下，人能看清遠(yuǎn)近不同的物體與晶狀體的曲度改變有關(guān)”的概念，從而找到“近視眼的形成原因”。

但學(xué)生對(duì)晶狀體的曲度與物距的關(guān)系認(rèn)識(shí)，仍停留在實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象層面，是膚淺的、片面的，難以保持長(zhǎng)久記憶，更不易靈活遷移和應(yīng)用。事實(shí)上，“晶狀體的曲度與物距的關(guān)系”是函數(shù)關(guān)系?；凇昂瘮?shù)思想”指導(dǎo)這部分教學(xué)，在模擬實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引入“高斯成像關(guān)系式”，即1/f=1/u+1/v；其中，f為焦距；u為物距；v為像距。若視1/v為定值k，則焦距與物距的函數(shù)關(guān)系式可表示為：1/f=1/u+k，即焦距與物距關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生在遇到“晶狀體曲度與物距關(guān)系”的相關(guān)問(wèn)題時(shí)就可基于這個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理獲得答案，而非死記硬背。同時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知也實(shí)現(xiàn)了從現(xiàn)象到規(guī)律、從感性到理性、從定性到定量的飛躍。

生物學(xué)上常用的函數(shù)有二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正比例函數(shù)等。多數(shù)生物學(xué)函數(shù)不能用明確的一個(gè)代數(shù)式表達(dá)，但可繪制出函數(shù)圖像。借助函數(shù)圖像，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、記憶、遷移和應(yīng)用。

2.1.2 應(yīng)用抽象思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓具體化為抽象 抽象思想是指從眾多的現(xiàn)象中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，舍棄非本質(zhì)特征的思想。

在生物學(xué)教學(xué)中，基于抽象思想，將生物學(xué)知識(shí)最本質(zhì)的東西抽象出，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，可使學(xué)生的模糊認(rèn)識(shí)變得明朗清晰，并方便學(xué)生靈活運(yùn)用。

案例2：圖1“羅亞島上駝鹿和狼的數(shù)量關(guān)系”[3]，是基于大量事實(shí)和數(shù)形結(jié)合所呈現(xiàn)的一定規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。但圖1中隱含的一些規(guī)律學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)：例如，①駝鹿和狼數(shù)量相互影響，2種動(dòng)物的數(shù)量變化曲線近似；②駝鹿的個(gè)體數(shù)量遠(yuǎn)高于狼的個(gè)體數(shù)量，因而駝鹿的變化量遠(yuǎn)高于狼的變化量；③狼的數(shù)量變化，滯后于駝鹿的數(shù)量變化。教師可基于學(xué)生認(rèn)知，提出“狼個(gè)體數(shù)量的變化與駝鹿個(gè)體數(shù)量的變化是否同步”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考“捕食關(guān)系的被捕食者和捕食者的關(guān)系特征”，并繪出“捕食關(guān)系數(shù)學(xué)模型”圖。

通過(guò)對(duì)圖1的深入分析，將其中隱含的信息進(jìn)行抽象化、簡(jiǎn)單化、模式化，可構(gòu)建圖2所示的“捕食關(guān)系數(shù)學(xué)模型”。不僅可糾正學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)知，建立科學(xué)的概念；還有助于提高學(xué)生解答與“捕食關(guān)系”相關(guān)問(wèn)題的效率。

2.1.3 應(yīng)用整體思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)完整 整體思想是指從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，將某些關(guān)系式或圖形視為一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，有目的、有意識(shí)地處理。

在生物學(xué)教學(xué)中常有因缺乏整體思想而導(dǎo)致的解題效率或?qū)W習(xí)效率低下的現(xiàn)象?；谡w思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生從整體的角度切入問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的效率。

案例3：學(xué)習(xí)了1個(gè)學(xué)期的“人體新陳代謝”后，學(xué)生能描述“吸氣的過(guò)程、肺泡內(nèi)的氣體交換過(guò)程、組織里的氣體交換過(guò)程、血液循環(huán)的途徑”，但說(shuō)不出“氧氣到達(dá)細(xì)胞的過(guò)程”。此外，學(xué)生還易形成“吸入的氧氣最終到了肺、呼出的氣體源于肺、各種營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)最終到了小腸、肺是呼吸作用的場(chǎng)所、食物進(jìn)入人體后變成了糞便排出體外”等一系列的錯(cuò)誤概念。

究其原因，與學(xué)生缺少整體思想有關(guān)，這是長(zhǎng)期的碎片化教學(xué)造成的。解決上述問(wèn)題，需要將整體思想應(yīng)用于生物學(xué)教學(xué)，并基于整體思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

將整體思想應(yīng)用于人體“新陳代謝”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，可從新陳代謝的基本單位是細(xì)胞，引導(dǎo)學(xué)生繪制新陳代謝的過(guò)程，構(gòu)建或應(yīng)用新陳代謝的數(shù)學(xué)模型。

在今后每次上課都從“新陳代謝的大致過(guò)程數(shù)學(xué)模型”切入，并基于整體思想，構(gòu)建課時(shí)學(xué)習(xí)的知識(shí)整體結(jié)構(gòu)。例如，學(xué)習(xí)呼吸時(shí)，首先繪制出呼吸的4個(gè)連續(xù)過(guò)程；然后基于知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，逐一探究相關(guān)問(wèn)題，各個(gè)擊破，最后建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

大部分生物學(xué)教學(xué)任務(wù)都可從整體切入，基于宏觀的問(wèn)題，繪制問(wèn)題解決路線，然后逐一解決細(xì)枝末節(jié)的問(wèn)題；這樣有利于學(xué)生建立完整清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)效率。

2.1.4 應(yīng)用有序思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓認(rèn)知過(guò)程清晰 有序思想是指要按照一定的順序，有條理地、全面地觀察和思考問(wèn)題。建立基于有序思維的數(shù)學(xué)模型可有效避免思維的重復(fù)或遺漏。

案例4：濟(jì)南出版社的《義務(wù)教育教科書(shū)·生物學(xué)》8年級(jí)上冊(cè)的一個(gè)練習(xí)題。

在探究種子萌發(fā)的外界條件實(shí)驗(yàn)中，對(duì)4組實(shí)驗(yàn)分別進(jìn)行了如下處理（表1）。

表1 探究種子萌發(fā)的外界條件

請(qǐng)分析回答：

1）本實(shí)驗(yàn)中有幾組對(duì)照？變量分別是什么？

2）請(qǐng)寫(xiě)出每個(gè)瓶?jī)?nèi)預(yù)期的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并陳述理由。

回答這個(gè)問(wèn)題，首先需要兩兩比較。而學(xué)生往往會(huì)遺漏部分比較或重復(fù)比較。其根本原因是思維的無(wú)序性，例如，比較了1和2，接著比較3和 4；而不是按照 1-2、1-3、1-4、2-3、2-4、3-4的順序依次進(jìn)行比較。

為培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考，怎樣才能避免重復(fù)或遺漏。教師可引導(dǎo)學(xué)生繪制比較表格（表2）。

表2 “比較”的順序和內(nèi)容

這種表格語(yǔ)言，簡(jiǎn)潔清晰，學(xué)生能直觀地感受到“比較”應(yīng)遵循的順序和方法，使學(xué)生的思路更加有序。表2可作為一個(gè)基于有序思維的數(shù)學(xué)模型，用于解決比較類的問(wèn)題。分析遺傳問(wèn)題也可應(yīng)用這類數(shù)學(xué)模型。

2.2 應(yīng)用數(shù)學(xué)思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)明呈現(xiàn)規(guī)律

2.2.1 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，直觀展現(xiàn)客觀規(guī)律 數(shù)形結(jié)合思想是指將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系相結(jié)合的思想。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)，將數(shù)和形相結(jié)合，從而將隱蔽的問(wèn)題明朗化、抽象的問(wèn)題直觀化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，化難為易，達(dá)到快速、形象、簡(jiǎn)單易行地解決問(wèn)題的目的。

在生物學(xué)教學(xué)中，常涉及到一些數(shù)據(jù)，例如，一個(gè)心動(dòng)周期中心房和心室舒縮的時(shí)間等；僅憑數(shù)據(jù)，無(wú)法發(fā)現(xiàn)其中隱含的規(guī)律。凡涉及“量的大小、量的變化、量的關(guān)系”的生命現(xiàn)象都可建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)模型。

案例5：講授“心臟的跳動(dòng)”時(shí)，可展示心臟跳動(dòng)的視頻，可展示“心臟收縮和舒張示意圖”，還可提供“心臟跳動(dòng)的系列數(shù)據(jù)”，例如，“若心率為75次/min，則心動(dòng)周期為0.8 s；其中心房收縮維持0.1 s，余下0.7 s為舒張期；當(dāng)心房收縮后心室才開(kāi)始收縮，維持0.3 s，余下0.5 s為舒張期”。

無(wú)論哪種資源，學(xué)生都不易發(fā)現(xiàn)“一個(gè)心動(dòng)周期中心房收縮、心房舒張、心室收縮和心室舒張四者的關(guān)系”，更難找出其中隱含的規(guī)律?；跀?shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建如圖3所示的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生不僅可直觀發(fā)現(xiàn)“一個(gè)心動(dòng)周期中心房收縮、心房舒張、心室收縮和心室舒張四者的關(guān)系”，而且可感受到心臟舒張期明顯大于收縮期，更容易理解“在人的一生中心臟可以永不停歇地跳動(dòng)而不疲勞”的原因。

2.2.2 應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)難點(diǎn)易化 轉(zhuǎn)化思想是將一個(gè)問(wèn)題由抽象轉(zhuǎn)化為具體、由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題解決思想?；谵D(zhuǎn)化思想，教師可將陌生、抽象、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的、具體的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。

案例6：由于學(xué)生難以想象生物體內(nèi)“能量的貯存、釋放和利用”，嚴(yán)重影響了“呼吸作用”的學(xué)習(xí)效果。但學(xué)生對(duì)木材燃燒的現(xiàn)象十分熟悉，能理解其變化過(guò)程。學(xué)生知道，木材的主要成分是有機(jī)物，木材燃燒主要是有機(jī)物燃燒，燃燒過(guò)程中會(huì)釋放熱量，發(fā)出光。學(xué)生還知道，燃燒汽油可為汽車(chē)運(yùn)動(dòng)提供動(dòng)力。

運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”，在學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容之前，教師應(yīng)幫助學(xué)生在熟悉的、具體的事例與陌生的、抽象的概念之間建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生，列表比較并思考呼吸作用與燃燒的關(guān)系（表3）。

表3 呼吸作用與燃燒

實(shí)踐證明，基于轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用比較數(shù)學(xué)模型教學(xué)，可降低教學(xué)難度，提高教學(xué)效率?；谵D(zhuǎn)化思想，還可構(gòu)建分解數(shù)學(xué)模型（表4）。將復(fù)雜的問(wèn)題分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，在逐一解決簡(jiǎn)單問(wèn)題后，再進(jìn)行綜合，解決復(fù)雜問(wèn)題，同樣也可降低教學(xué)難度，提高教學(xué)效率。

表4 分解數(shù)學(xué)模型

2.2.3 應(yīng)用代數(shù)思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓知識(shí)簡(jiǎn)明呈現(xiàn) 代數(shù)思想是用字母代替具體數(shù)值進(jìn)行思考的思想。具體的數(shù)值刻畫(huà)的是某一種情況，而用字母表示數(shù)之后，就可表示一類情況，從而實(shí)現(xiàn)從特殊到一般、從具體到抽象、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的跨越。同樣，在生物學(xué)教學(xué)中，也可用字母代替具體數(shù)值。

案例7：“人的體細(xì)胞分裂成生殖細(xì)胞時(shí)，染色體數(shù)目由23對(duì)變成了23條”是一個(gè)特殊事例。將這一特殊事例上升為一般規(guī)律，可用字母代替數(shù)值。體細(xì)胞中染色體成對(duì)存在，可表示為“2n”。生殖細(xì)胞中染色體可表示為“n”。體細(xì)胞經(jīng)過(guò)減數(shù)分裂，染色體數(shù)目減半，形成生殖細(xì)胞。減數(shù)分裂中染色體的變化，可表示為“2n=n+n”這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)式，可讓學(xué)生迅速抓住體細(xì)胞、生殖細(xì)胞、減數(shù)分裂等本質(zhì)特征，同時(shí)可讓學(xué)生明確把握“量”和“量的變化”。

基于“代數(shù)思想”，在生物學(xué)教學(xué)中，不僅可用字母代替具體數(shù)值，還可用字母代替“變”和“不變”的所有事物，以便簡(jiǎn)單明確表達(dá)“變”和“不變”。

很多生命規(guī)律都可用字母表示，例如，有性生殖過(guò)程中染色體數(shù)目的變化、新陳代謝過(guò)程中物質(zhì)和能量的變化、生態(tài)系統(tǒng)中能量的傳遞等。用字母表示生命規(guī)律，簡(jiǎn)單、直觀、明確，有利于學(xué)生理解、記憶和應(yīng)用。

總之，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，將生物學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，可促進(jìn)學(xué)生將非本質(zhì)的認(rèn)知轉(zhuǎn)化為本質(zhì)的認(rèn)知，將復(fù)雜的認(rèn)知轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的認(rèn)知，從而提高生物學(xué)教學(xué)效率。