任敏，張光輝

(宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000)

引言

為了更精準地描述物種繁衍模型，1968年，Daley首次引入兩性分枝過程模型[1]，隨后眾多學者對該模型進行系統(tǒng)地研究，并取得一系列豐碩的研究成果[2-5].物種的繁衍受自然環(huán)境和社會環(huán)境等諸多因素的影響，為了描述更復雜的物種繁衍模型，一些推廣的兩性分枝過程模型被引入，如MOLINA,M.等人研究了變化環(huán)境中兩性分枝過程的極限性質[6,7]，馬世霞研究了隨機環(huán)境中兩性分枝過程的極限性質[8]，任敏給出隨機環(huán)境中具有遷移兩性分枝過程的極限性質[9]，李應求等人研究了隨機環(huán)境中兩性分枝過程的極限性質、矩收斂準則[10,11]，宋明珠等人研究了隨機環(huán)境中可遷移兩性分枝過程的極限性質[12]，任敏研究了隨機環(huán)境中受病毒傳染性影響的兩性分枝過程的馬氏性和滅絕的充分條件[13]，等等.本文繼續(xù)研究隨機環(huán)境中受病毒傳染性影響的兩性分枝過程，給出過程每個配對單元條件均值增長率的極限性質和過程條件均值的上、下界.并研究了過程由此上界規(guī)范化后隨機序列的若干極限性質以及各代雌性個體數(shù)適當規(guī)范化后的極限性質.

1 模型的介紹

jn,i,kn,i∈N,0≤n≤l,1≤i≤s,s∈N+,l∈N;

在定義1中fn,i和mn,i表示第n代第i個配對單元產(chǎn)生雌性和雄性后代數(shù)；且當?shù)趎代第i個配對單元中的雌性個體因感染病毒未治愈而死亡時，If,ni=0，即該配對單元不繁衍后代，當?shù)趎代第i個配對單元中的雌性個體沒有感染病毒或感染病毒已治愈時，If,ni=1，即該配對單元正常繁衍后代，對雄性個體可類似定義Im,ni.Fn+1,Mn+1分別表示第n代所有配對單元繁衍的雌性和雄性后代總數(shù)，并由配對函數(shù)L(·,·)產(chǎn)生第n+1代的所有配對數(shù)Zn+1.

定義2 若配對函數(shù)L(·,·)滿足對任意的k∈N+,xi,yi∈N有

則稱配對函數(shù)L(·,·)是上可加的.

注1k組個體混在一起增加了不同組配對的可能性，因此k組混在一起配對比每組單獨配對的配對總數(shù)要多，增加后代的繁衍數(shù)，故配對函數(shù)的上可加性符合物種繁衍的實情.

文中的一些記號和約定：

0≤jnl≤rl,l=1,2,…,i}

約定：(A1)對任意的θ∈Θ,β(θ),d(θ),b(θ)∈(0,1)，0

2 條件均值增長率

由rj(ξn)的定義可得

證明由rj(ξn)的定義、L(·,·)的上可加性以及在給定ξn的條件下{(fn,iIf,ni,mn,iIm,ni),i≥1}是獨立同分布的，可得對任意的j∈N+有

定理證畢.

證明由rj(ξn)的定義、L(·,·)的上可加性以及在給定ξn的條件下{(fn,iIf,ni,mn,iIm,ni),i≥1}是獨立同分布的可得

定理證畢.

推論1 對任意的n∈N+，有

(1)

下證對n+1有(1)式成立，由定理1和rj(ξn)的定義知

即(1)式左端對n+1成立，由定理2可得

即(1)式右端對n+1成立，從而(1)式對n+1成立.故對任意的n∈N+有(1)式成立.

推論證畢.

注2 對隨機環(huán)境中的受傳染性病毒影響的兩性分枝過程，雖不能給出條件均值的具體表達式，但可以給出其上、下界.

證明由引理1 和定理1可得

(2)

(3)

定理證畢

結合推論1知，對任意的n∈N有

所以有

由引理2和Jensen不等式可得

(4)

(5)

(6)

由(5)式和(6)式可得

定理證畢.

證明對任意的n∈N，由引理2和Jensen不等式可得

從而有

(7)

由推論1，可得

(8)

定理證畢.

又因為

定理證畢.

證明 由定義1和L(·,·)的上可加性可得

存在，且有

又因為對任意的j∈N+，有

(9)

由(9)式遞推可得

由引理2得

(10)

由(10)式遞推可得

于是由控制收斂定理得

即定理得證.

下證{Tn,n∈N}L2有界.

因為對任意給定的n∈N,{γk(ξn),k∈N+}是非增序列，由引理2 和Jensen不等式可得

證明由定義1可得

所以有

(11)

在(11)式兩邊取期望值得

定理得證.

6 結語

本文首先研究了隨機環(huán)境中受傳染性病毒影響的兩性分支過程的每個配對單元條件均值增長率的極限性質和過程條件均值的上、下界，其次給出過程適當規(guī)范化后的若干極限性質.推廣了隨機環(huán)境中兩性分支過程的相關理論，接下來可以研究過程的大偏差、重對數(shù)律等極限理論.