王微 ，趙明程

(1.菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015； 2.菏澤學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院，山東 菏澤 274015)

1 模型的假設(shè)和符號(hào)說明

1.1 條件假設(shè)

1)假設(shè)每一次擲出紙飛機(jī)其瞬時(shí)速度的大小和方向不變.

2)假設(shè)忽略空氣摩擦生成的熱量.

3)假設(shè)測(cè)試環(huán)境的空氣密度恒定不變.

4)假設(shè)在紙飛機(jī)飛行過程中翼面與機(jī)身張開角度不變

1.2 符號(hào)說明

本文所用符號(hào)說明見表1.

表1 符號(hào)說明

2 模型建立與問題求解

紙飛機(jī)留空時(shí)間的長(zhǎng)短必須具備滑行過程中有良好的穩(wěn)定性和較大的升阻比.滑翔機(jī)最重要的部分是主翼.它必須在飛行期間支持飛機(jī).機(jī)翼橫截面的形狀稱為翼型.弦線是從機(jī)翼的前緣到機(jī)翼的后緣繪制的直線.弦線與風(fēng)向的夾角稱為迎角.當(dāng)飛機(jī)的機(jī)頭升高或降低時(shí),迎角會(huì)發(fā)生變化.當(dāng)飛機(jī)滑行時(shí),風(fēng)壓作用于機(jī)翼.產(chǎn)生垂直分量的升力和水平的拖動(dòng)力.留空時(shí)間較長(zhǎng)的飛機(jī)將具有較大的升阻比.

機(jī)翼形狀能夠影響升力與阻力比,比如機(jī)翼彎曲程度、外傾量應(yīng)不超過弦長(zhǎng)的6%等.為減少紙飛機(jī)的阻力，可以使表面盡可能光滑，這樣飛機(jī)在空中飛行時(shí)摩擦力變小.

圖1 空氣氣流分析及其紙飛機(jī)后視圖張角變化

由圖1所示，紙飛機(jī)在飛行過程中收到了空氣流體的作用，隨即機(jī)翼會(huì)發(fā)生延伸，為了更方便地研究空氣氣流對(duì)紙飛機(jī)的影響，本文引入“流線曲率定理”,其定理指出,機(jī)翼上表面的壓力小于遠(yuǎn)處的壓力,下表面的壓力大于遠(yuǎn)處的壓力；因此,機(jī)翼上下表面的壓力差產(chǎn)生升力.壓力場(chǎng)和流動(dòng)曲率之間的這種關(guān)系非常有用.這個(gè)理論解釋了為什么在由流線同心圓組成的旋渦的中心存在如此低的壓力.這也是一種直觀地解釋為什么翼型產(chǎn)生升力的原因[1].設(shè)r為質(zhì)心到原點(diǎn)的距離,其方程為

從物理上來說,利用Rankine-Hugoniot將“跳躍”(不連續(xù))轉(zhuǎn)化為流量(密度、速度、壓力),從而得到弱解.在實(shí)際應(yīng)用中,一些不連續(xù)性通過粘度和傳熱得到了消除.

其中Rankine-Hugoniot 條件，是描述了一維流動(dòng)中沖擊波或燃燒波(爆燃或爆轟)兩側(cè)狀態(tài)之間的關(guān)系.流體或固體中的一維變形[1].

在變坐標(biāo)系中，Rankine-Hugoniot 條件可以表示為

ρ1u1=ρ2u2=m，

在空氣動(dòng)力學(xué)的許多領(lǐng)域中，正確計(jì)算連續(xù)量在不連續(xù)的區(qū)域(例如沖擊波或邊界層),用歐拉方程有限差分方法，一般將太多的時(shí)間點(diǎn)和空間計(jì)算在內(nèi),在這種情況下,必須避免守恒方程的局部形式,通過一些弱形式,可用Burgers方程進(jìn)行求解.

紙飛機(jī)在飛行過程中能從后視圖看出兩個(gè)翼面會(huì)分開,而空氣會(huì)從中間流過,由于力的作用,定風(fēng)翼,定風(fēng)尾會(huì)如圖1所示，這里θ角時(shí)刻發(fā)生變化.與真正的飛機(jī)一樣,在空中主要受到四種主要的作用力,統(tǒng)稱為空氣動(dòng)力.當(dāng)向前拋出飛機(jī)時(shí)稱為推力.升力是作用在機(jī)翼上的力,有助于飛機(jī)向上移動(dòng).機(jī)翼的較大表面積增加升力.升力是拉動(dòng)飛機(jī)的動(dòng)力，輕質(zhì)的材料可以制作更輕的飛機(jī),可以保持更長(zhǎng)的時(shí)間.拖曳(由尾部引起)與推力相反,它使飛機(jī)減速. 還有其他因素會(huì)影響紙飛機(jī)的飛行效果.使用的紙張類型會(huì)影響其重量和存在的摩擦力.飛機(jī)的設(shè)計(jì)方式也有很大差異.機(jī)翼,機(jī)頭和機(jī)尾的設(shè)計(jì)都可以徹底改變飛機(jī)飛行的方式.對(duì)于 Suzanne 紙飛機(jī)的質(zhì)心,通過頂針法尋找的同時(shí),也利用三重積分在物理學(xué)上的應(yīng)用[2].

如果質(zhì)量分布是連續(xù)的,密度函數(shù)ρ(r)在空間Ω上也是連續(xù)的,加權(quán)的積分點(diǎn)的位置坐標(biāo)相對(duì)于質(zhì)心r除以體積V是零,

重力場(chǎng)被看做是均勻的,質(zhì)心和重心將是相同的點(diǎn).然而,對(duì)于紙飛機(jī)在空中飛行,其軌跡有一段是在空中旋轉(zhuǎn)下落,在缺乏其他扭矩應(yīng)用于紙飛機(jī),輕微的變化的引力場(chǎng)之間的接近或者遠(yuǎn)離地面會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩.在這種情況下,區(qū)分重心和質(zhì)心是很重要的.兩者之間的任何水平偏移都會(huì)導(dǎo)致扭矩.

在平行重力場(chǎng)中,每一點(diǎn)r處的力f為

其中dm為質(zhì)心r的質(zhì)量,g為重力加速度,k為定義垂直方向的單位向量.在體積中選擇一個(gè)參考點(diǎn)R,這一點(diǎn)的合力和扭矩為[3]

并且有

圖2 紙飛機(jī)在投擲出瞬間

由圖2所示，本文對(duì)紙飛機(jī)被投擲出的瞬間受到了多個(gè)力作用進(jìn)行了分析，設(shè)投擲出的初速度為v,與水平面的夾角為α,那么在水平與豎直方向的速度分量為

vx=v·cosα,vy=v·sinα.

設(shè)紙飛機(jī)上升到最大高度時(shí)的水平與豎直方向上的分速度分別為vx2，vy2

那么這一過程中水平位移與豎直位移分別是

當(dāng)飛機(jī)落地時(shí)，水平速度是個(gè)定值，豎直方向的速度越小，則飛行時(shí)間最長(zhǎng).

對(duì)于升力有,

對(duì)于阻力有,

根據(jù)力的合成與分解并結(jié)合相關(guān)空氣動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論，得到兩個(gè)推進(jìn)力方程,這兩個(gè)方程分別為水平與豎直兩個(gè)方向上的力.

如果紙飛機(jī)在空中的四種作用力相互抵消的話,那么留空時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)一些.

因此,有

對(duì)于這個(gè)模型不能無限的將投擲角度減小或者增大,實(shí)驗(yàn)得出重心在距機(jī)頭的三分之一處，投擲度為80°時(shí)，紙飛機(jī)留空間最長(zhǎng).

3 結(jié)語

對(duì)于模型的誤差可用PDE進(jìn)行相關(guān)誤差分析，并且可以為其導(dǎo)出邊界.在擴(kuò)散(或更一般的)Markov過程中，模型風(fēng)險(xiǎn)問題允許基于經(jīng)典工具的嚴(yán)格方法來分析可解模型的靈敏度.這些工具在概率學(xué)和數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)教科書中常被忽視.

該模型應(yīng)用了物理學(xué)中流體學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、靜力學(xué)、物體的運(yùn)動(dòng)、壓強(qiáng)、伯努利效應(yīng)等知識(shí)，數(shù)學(xué)中多元函數(shù)的積分學(xué)、微分學(xué)、三角函數(shù)等專業(yè)知識(shí)，并用MATLAB軟件工具，結(jié)合Python語言,繪制飛行軌跡曲線,求出了最佳出手角度，延長(zhǎng)了紙飛機(jī)留空時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)使紙飛機(jī)飛行距離最遠(yuǎn)的目的.