莊素慧

(福建省漳州第一中學(xué) 363000)

數(shù)學(xué)是高中學(xué)科當(dāng)中對學(xué)生的知識運用以及抽象能力要求最高的一門學(xué)科，其本身的學(xué)科難度讓不少學(xué)生望而卻步，尤其是一些難題，更是讓一些學(xué)生毫無頭緒.傳統(tǒng)的解題思路某種程度上是簡單的解題方法，但是面對一些已知條件和所求所證問題之間的聯(lián)系不明顯的時候，會讓大多數(shù)學(xué)生不知所措，這也是其知識運用的僵化體現(xiàn)，數(shù)學(xué)解題思維的培育就是需要學(xué)生打破解題思維的僵化，基于自身的知識經(jīng)驗活學(xué)活用，創(chuàng)新思維，這也是構(gòu)造法的內(nèi)涵.

1 構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的實際運用

1.1 解題直觀化：函數(shù)的構(gòu)造

在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中函數(shù)的重要性不言而喻，更是高考的必考點.而且函數(shù)本身就是一種針對未知關(guān)系和已知關(guān)系的表達，數(shù)學(xué)歷史上很多的著名問題都是借助函數(shù)得到論證的.所以，針對高中解題中的構(gòu)造法的應(yīng)用，通過構(gòu)造函數(shù)展開題目的分析論證無疑是高效的，通過對已知信息的深化挖掘，從而讓復(fù)雜的題目內(nèi)容變得直觀、簡化，從而提高解題效率和解題精準(zhǔn)度，這種構(gòu)造函數(shù)的方法也在幾何和代數(shù)問題的解決當(dāng)中得到廣泛使用.

例1 已知關(guān)于x的方程x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2=0有唯一實數(shù)解，求實數(shù)a的值．

分析基于題目我們可以看出這是一道二次元方程題.但是因為含有未知參數(shù)，很多學(xué)生毫無頭緒.但是我們通過認真觀察可以發(fā)現(xiàn)題目當(dāng)中的一些已知和未知參數(shù)可以用一些函數(shù)關(guān)系來表達.在教師針對案例講授時，教師可以分析問題后引導(dǎo)學(xué)生書寫解題過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟整體的解題思路，分析函數(shù)構(gòu)造法的具體運用方式，讓學(xué)生做到會一題，通一類，有效提高教師的教學(xué)效率和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

解析構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2，因為f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).

設(shè)x0為f(x)=0的解，則-x0也為f(x)=0的解．

由題目已知可得，f(x)=0有唯一的實數(shù)解，即-x0=x0，顯然x0=0．

所以f(0)=02-(2a+1)sin(cos0)+1-4a2=0.

即(2a+1)(1-2a-sin1)=0.

1.2 條件關(guān)系的表達：方程的構(gòu)建

函數(shù)和方程的聯(lián)系性極大，函數(shù)的構(gòu)造可以讓題目更直觀化，同理，方程的構(gòu)造也可以極大地簡化解題過程.而且當(dāng)方程和函數(shù)同時運用的時候往往可以解決大部分的難題.方程的構(gòu)造需要建立在對于已知條件的深入分析，將各條件和內(nèi)容之間的關(guān)系理清，從而利用方程構(gòu)建這種已知關(guān)系之間的方程式表達，有效解決問題.

例2 已知a>b>c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范圍.

分析根據(jù)已知條件，我們可以通過對問題的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系的分析構(gòu)建等量方程式，從而有效表達已知條件和未知量之間的關(guān)系，而且可以通過變形恒等式，實現(xiàn)內(nèi)容由抽象化轉(zhuǎn)向?qū)嵸|(zhì)化和特殊化，從而有效提高學(xué)生的解題效率，促進學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的提高.

解析由a+b+c=1可得a+b=1-c.

所以(a+b)2=(1-c)2.

將a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c.

所以可知a，b是方程x2+(c-1)x+(c2-c)=0的兩個不等的實根.

所以Δ=(c-1)2-4(c2-c)=-3c2+2c+1>0.

又由(a+b+c)2=1，得

1+2ab+2bc+2ac=1.

所以ab+bc+ac=0.

而a,b,c不可能同號，即c<0.

即a+b=1-c>1.

1.3 解題過程的優(yōu)化：數(shù)列的構(gòu)造

等差數(shù)列和等比數(shù)列難度雖然不是很高，但是其中包含的數(shù)學(xué)知識較為廣泛.構(gòu)造法當(dāng)中數(shù)列的構(gòu)造往往應(yīng)用于一些特殊的題目當(dāng)中，主要是針對題目進行分析,構(gòu)造等差和等比數(shù)列，從而優(yōu)化解題思路.

分析基于傳統(tǒng)的求解我們需要通過分析數(shù)列前幾項的和求出一些條件，從而利用數(shù)列的通項公式求出Sn的具體表達式.但是這種傳統(tǒng)的解題方式往往比較繁瑣，所以我們可以利用數(shù)列構(gòu)造法簡化解題流程和思路，實現(xiàn)高效化解題.

解析由題目已知，n≥2時，an=Sn-Sn-1.

1.4 抽象變直觀：向量的構(gòu)造

在高中，向量不應(yīng)該局限于單一的知識討論，而是應(yīng)該參與高中階段的數(shù)學(xué)知識的整合深化，通過利用向量，將抽象問題直觀化，將函數(shù)問題圖形化，從而有效地解決難題，避免了傳統(tǒng)的復(fù)雜解題過程.

這道題是一類經(jīng)典的函數(shù)問題，能夠使用傳統(tǒng)的解題方法進行解決，而傳統(tǒng)的方法會產(chǎn)生大量的計算步驟，并且容易產(chǎn)生計算錯誤.如果能夠利用向量，使用構(gòu)造向量法，將有效降低其解題難度.

2 構(gòu)造法在高中解題中的關(guān)鍵點

構(gòu)造法是基于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新性和思維敏捷性開展的一種解題方法，學(xué)生可以通過具體問題的特征發(fā)散思維，發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)新性，從而開展基于函數(shù)、圖形、方程等手段的構(gòu)造，將問題直觀化、具體化，實現(xiàn)問題的解決.

2.1 構(gòu)造法運用的前提：審題和題意的理解

在高中數(shù)學(xué)解題中運用構(gòu)造法，教師首先要教會學(xué)生審題，這是學(xué)生開展正確解題的前提.如果學(xué)生在處理題目時不重視審題，那么在解題時就會走進誤區(qū)，會導(dǎo)致過程或結(jié)果出現(xiàn)嚴重偏差或錯誤.審題時，通過對題目條件的分析和提取，對求證問題展開分析，是否存在隱藏條件，從而揣摩題目的真實解題路徑.題意的錯誤理解直接就造成了解題的出錯，所以一定要重視審題工作和深刻理解題意以免錯誤.

2.2 構(gòu)造法運用的思維：問題的多角度思考

在高中數(shù)學(xué)解題中運用構(gòu)造法，是指學(xué)生根據(jù)已學(xué)知識點而展開的多維度的問題思考，并由此進行了多方位的問題處理.高中數(shù)學(xué)問題非常靈活，在審清問題以后要求學(xué)生靈活運用自己所學(xué)知識從不同的視角去思考數(shù)學(xué)問題，從而讓學(xué)生能夠自己尋找解題的思路，做到構(gòu)造法的熟練運用.教師應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生跳出框架式解題思維，注重核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)思維的培育，督促學(xué)生養(yǎng)成知識的活學(xué)活用、活學(xué)活練，實現(xiàn)教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效率的雙重提高.

數(shù)學(xué)問題一般較為靈活，解題思路比較多樣，如果從不同的視角去審題，所得出的解題思維方式就會有所不同.教師在學(xué)生平時的習(xí)題訓(xùn)練當(dāng)中，一定要督促學(xué)生基于自身的實際知識儲備和解題經(jīng)驗出發(fā)，多角度地開展題目的深度解析，從而開展適合題意的解題方式.在初中剛升入高中的學(xué)生中，往往會存在將初中的解題思維帶到高中的數(shù)學(xué)問題中，這也對他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾.因為這種解題思維的框架已經(jīng)局限了學(xué)生自身，無法跳出解題框架處理問題，導(dǎo)致高中的學(xué)習(xí)成績得不到有效提高，另外一方面可能也是因為高中的數(shù)學(xué)知識架構(gòu)更加復(fù)雜，難度更大.所以，高中生需要的不僅僅是解題方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，更是解題思維和學(xué)習(xí)思維的革新.教師應(yīng)該基于這種問題開展針對性的教學(xué)，在教學(xué)中對學(xué)生的解題思維和學(xué)習(xí)方法做出引導(dǎo)，規(guī)范學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的有效提高.

2.3 構(gòu)造法的實踐保障：題目的檢查整理

題目的檢查是必要的.這不僅可以提高學(xué)生的解題正確率，更是一個好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.高中畢竟要面對高考的考驗，而高考的成功不僅僅在于對知識的掌握，還在于知識的運用程度，心態(tài)的良好以及學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.教師有針對性地培養(yǎng)學(xué)生解題之后的檢查和錯題整理，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，而且可以引導(dǎo)學(xué)生自我反思，在解題思維和解題方法上不斷自我深化和改變，促進學(xué)生提高知識實踐能力.而且錯題集的整理，可以讓學(xué)生掌握題型，在以后的學(xué)習(xí)中舉一反三，在復(fù)習(xí)的時候會發(fā)揮出更大的作用.

總之，構(gòu)造法的展開方式應(yīng)該是多種多樣的，是基于具體問題和已掌握的數(shù)學(xué)知識的深化利用，是學(xué)科核心素養(yǎng)的有效體現(xiàn)，在內(nèi)容上構(gòu)造法可以基于數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對偶、模型建立、反例等方式方法展開.提高對構(gòu)造法應(yīng)用的重視，開展以構(gòu)造法為主體的習(xí)題講解課，幫助學(xué)生掌握構(gòu)造法的應(yīng)用，打破學(xué)生的解題僵化思維，促進學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的活學(xué)活用，讓學(xué)生可以多角度地展開解題分析.教師應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生跳出框架式解題思維，注重核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)思維的培育，督促學(xué)生養(yǎng)成知識的活學(xué)活用、活學(xué)活練，實現(xiàn)教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效率的雙重提高.