楊蒼洲
(福建省泉州第五中學(xué) 362000)
解法1先證xex-x-lnx-1≥0在(0,+∞)上恒成立.
令g(x)=xex-x-lnx-1(x>0),則
因?yàn)閤>0,所以g″(x)>0.
所以g′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.
g′(1)=2e-2>0,
且當(dāng)0 當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增. 故g(x)min=g(x0) =x0ex0-x0-lnx0-1. 由g′(x0)=0,得 即x0ex0=1,lnx0+x0=1. 因此g(x)min=g(x0)=0. xex-3ax-lnx-1≥g(x)≥0, 滿足題意. xex-3ax-lnx-1 又g(x0)=0, 所以x0ex0-3ax0-lnx0-1 不滿足題意. 分析2觀察不等式的結(jié)構(gòu),從而產(chǎn)生聯(lián)想,進(jìn)行指對(duì)同構(gòu).觀察到題中不等式包含指數(shù)與對(duì)數(shù),且可以通過(guò)指對(duì)互化構(gòu)造出相同的結(jié)構(gòu),因此,考慮直接同構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn)放縮. xex-3ax-lnx-1≥0. 即ln(x·e3ax)-(x·ex)+1≤0. 令g(t)=lnt-t+1,則 當(dāng)0 當(dāng)t>1時(shí),g′(t)<0,g(t)單調(diào)遞減. 所以g(t)≤g(1)=0. 即lnt-t+1≤0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),等號(hào)成立. 因?yàn)閤ex>0,所以 ln(x·ex)-(x·ex)+1≤0. ① 所以ln(x·e3ax)-(x·ex)+1≤ln(x·ex)-(x·ex)+1≤0,符合題意. 令h(x)=xex-1(x>0),則 h′(x)=(1+x)ex>0. 故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增. 又h(0)=-1<0,h(1)=e-1>0, 所以存在唯一x0∈(0,1),使得h(x)=0. 故當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),①式等號(hào)成立. 即ln(x0·ex0)-(x0·ex0)+1=0. 因此,存在x0∈(0,e),使得ln(x0·e3ax0)-(x0·ex0)+1>ln(x0·ex0)-(x·ex0)+1=0. 不符合題意. 分析3直接變參分離后,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值的問(wèn)題,再利用“隱零點(diǎn)”,設(shè)而不求,整體代換,求解最值. xex-3ax-lnx-1≥0. 由g′(x)=0,得 x2ex+lnx=0. 又因?yàn)閥=xex在(0,+∞)單調(diào)遞增, 即lnx+x=0. 令h(x)=lnx+x, 因?yàn)閔(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增, 故當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),g′(x0)=0. 因?yàn)閥=x2ex+lnx在(0,+∞)單調(diào)遞增, 所以當(dāng)0 所以g′(x)<0. 所以g(x)單調(diào)遞減. 當(dāng)x>x0時(shí),x2ex+lnx>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增. 因此g(x)min=g(x0) xex-3ax-lnx-1≥0. 令g(t)=t-lnt-1,則 當(dāng)0 當(dāng)t>1時(shí),g′(t)>0,g(t)單調(diào)遞增. 所以g(t)≥g(1)=0. 即t-lnt-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),等號(hào)成立. 因此xex-ln(xex)-1≥0. ② 令h(x)=xex-1(x>0),則 h′(x)=(1+x)ex>0. 故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增. 又h(0)=-1<0, h(1)=e-1>0, 所以存在唯一x0∈(0,1),使得h(x)=0, 此時(shí)x0ex0=1. 所以[xex-ln(xex)-1]min=x0·ex0-ln(x0·ex0)-1=0. 因?yàn)閤>0,所以