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        邏輯推理素養(yǎng)指導(dǎo)下的解題活動(dòng)
        ——發(fā)散思維,一題多解

        2022-12-10 03:29:00楊蒼洲
        數(shù)理化解題研究 2022年31期
        關(guān)鍵詞:同構(gòu)邏輯推理化簡(jiǎn)

        楊蒼洲

        (福建省泉州第五中學(xué) 362000)

        解法1先證xex-x-lnx-1≥0在(0,+∞)上恒成立.

        令g(x)=xex-x-lnx-1(x>0),則

        因?yàn)閤>0,所以g″(x)>0.

        所以g′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

        g′(1)=2e-2>0,

        且當(dāng)0

        當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

        故g(x)min=g(x0)

        =x0ex0-x0-lnx0-1.

        由g′(x0)=0,得

        即x0ex0=1,lnx0+x0=1.

        因此g(x)min=g(x0)=0.

        xex-3ax-lnx-1≥g(x)≥0,

        滿足題意.

        xex-3ax-lnx-1

        又g(x0)=0,

        所以x0ex0-3ax0-lnx0-1

        不滿足題意.

        分析2觀察不等式的結(jié)構(gòu),從而產(chǎn)生聯(lián)想,進(jìn)行指對(duì)同構(gòu).觀察到題中不等式包含指數(shù)與對(duì)數(shù),且可以通過(guò)指對(duì)互化構(gòu)造出相同的結(jié)構(gòu),因此,考慮直接同構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn)放縮.

        xex-3ax-lnx-1≥0.

        即ln(x·e3ax)-(x·ex)+1≤0.

        令g(t)=lnt-t+1,則

        當(dāng)00,g(t)單調(diào)遞增;

        當(dāng)t>1時(shí),g′(t)<0,g(t)單調(diào)遞減.

        所以g(t)≤g(1)=0.

        即lnt-t+1≤0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),等號(hào)成立.

        因?yàn)閤ex>0,所以

        ln(x·ex)-(x·ex)+1≤0.

        所以ln(x·e3ax)-(x·ex)+1≤ln(x·ex)-(x·ex)+1≤0,符合題意.

        令h(x)=xex-1(x>0),則

        h′(x)=(1+x)ex>0.

        故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

        又h(0)=-1<0,h(1)=e-1>0,

        所以存在唯一x0∈(0,1),使得h(x)=0.

        故當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),①式等號(hào)成立.

        即ln(x0·ex0)-(x0·ex0)+1=0.

        因此,存在x0∈(0,e),使得ln(x0·e3ax0)-(x0·ex0)+1>ln(x0·ex0)-(x·ex0)+1=0.

        不符合題意.

        分析3直接變參分離后,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值的問(wèn)題,再利用“隱零點(diǎn)”,設(shè)而不求,整體代換,求解最值.

        xex-3ax-lnx-1≥0.

        由g′(x)=0,得

        x2ex+lnx=0.

        又因?yàn)閥=xex在(0,+∞)單調(diào)遞增,

        即lnx+x=0.

        令h(x)=lnx+x,

        因?yàn)閔(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,

        故當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),g′(x0)=0.

        因?yàn)閥=x2ex+lnx在(0,+∞)單調(diào)遞增,

        所以當(dāng)0

        所以g′(x)<0.

        所以g(x)單調(diào)遞減.

        當(dāng)x>x0時(shí),x2ex+lnx>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

        因此g(x)min=g(x0)

        xex-3ax-lnx-1≥0.

        令g(t)=t-lnt-1,則

        當(dāng)0

        當(dāng)t>1時(shí),g′(t)>0,g(t)單調(diào)遞增.

        所以g(t)≥g(1)=0.

        即t-lnt-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),等號(hào)成立.

        因此xex-ln(xex)-1≥0.

        令h(x)=xex-1(x>0),則

        h′(x)=(1+x)ex>0.

        故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

        又h(0)=-1<0,

        h(1)=e-1>0,

        所以存在唯一x0∈(0,1),使得h(x)=0,

        此時(shí)x0ex0=1.

        所以[xex-ln(xex)-1]min=x0·ex0-ln(x0·ex0)-1=0.

        因?yàn)閤>0,所以

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