余業(yè)兵
(重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校 400700)
圖1
(1)求C的方程.
由韋達(dá)定理,得
又因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
所以k1+k2=0.
故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.
化簡整理,得(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cosθ1-2sinθ1)t-(m2+12)=0.
因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
所以cos2θ1=cos2θ2.
所以cosθ1+cosθ2=0.
所以θ1+θ2=π.
故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.
探究1 這里的“斜率之和為零”是一般性規(guī)律嗎?如果是,它需要滿足什么條件?與哪些要素有關(guān)系?
證明設(shè)直線AB和直線CD相交于點(diǎn)T,若點(diǎn)T在圓外,由圓冪定理知
|TA|·|TB|=|TC|·|TD|.
設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(m,n),直線AB的傾斜角為θ1,直線CD的傾斜角為θ2.
代入b2x2-a2y2=a2b2,得
b2(m+tcosθ1)2-a2(n+tsinθ1)2=a2b2.
整理為(b2cos2θ1-a2sin2θ1)t2+(2mb2cosθ1-2na2sinθ1)t+b2m2-a2n2-a2b2=0.
因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓,
所以|TA|·|TB|=|TC|·|TD|.
所以cos2θ1=cos2θ2.
所以θ1+θ2=π.
所以kAB+kCD=0.
探究2結(jié)論1的逆命題成立嗎?即反過來,“kAB+kCD=0”一定有“A,B,C,D四點(diǎn)共圓”嗎?
答案是肯定的,我們有如下結(jié)論:
證明設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(m,n),直線AB的斜率為k1,直線CD的斜率為k2,直線AB的方程為y-n=k1(x-m).
同理可得
因?yàn)橹本€AB和直線CD的斜率為0,
所以|TA|·|TB|=|TC|·|TD|.
由圓冪定理逆定理知,雙曲線上四點(diǎn)A,B,C,D四點(diǎn)共圓.
探究3 這個(gè)等價(jià)命題在橢圓和雙曲線中也成立嗎?
類似地,大家不難證明以下結(jié)論成立.
結(jié)論4 一般地,若A,B,C,D是拋物線E:y2=2px(p>0)上的任意四個(gè)不同點(diǎn),若直線AB和直線CD的斜率都存在,則“直線AB和直線CD的斜率之和為0”與“A,B,C,D四點(diǎn)共圓”等價(jià).
就像這道高考試題一樣,很多看似普通的數(shù)學(xué)題目背后常常蘊(yùn)含了深刻的規(guī)律性,對(duì)題目的深入思考與探究不僅可以讓我們厘清題目背后的邏輯規(guī)律、來龍去脈,更可以開闊視野,拓展思維,從而站得更高,看得更明,窺見整個(gè)全局.這就是數(shù)學(xué)探究的魅力所在!