徐紫莉, 龍志文, 陳欣冉, 馬中翠

(1.安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，中國 淮南 232001；2. 湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，中國 婁底 417000)

1983年，Cohen和Grossberg在文獻(xiàn)[1]中提出了Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它是一種更為廣義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在形式上描述了來自神經(jīng)生物學(xué)、人口生態(tài)和進(jìn)化理論等領(lǐng)域的一大類模型，被廣泛應(yīng)用于模式識別、信號和圖像處理、聯(lián)想記憶等領(lǐng)域。近些年來，關(guān)于Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和同步問題引起了廣大科研工作者的關(guān)注，例如自適應(yīng)同步[2]、牽引同步[3]、指數(shù)穩(wěn)定[4]及魯棒穩(wěn)定[5]等。然而正如文獻(xiàn)[6]中所述，由于神經(jīng)元之間信號傳遞的速度是有限的，因而在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中不可避免地會出現(xiàn)時滯現(xiàn)象，它可能會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，甚至?xí)a(chǎn)生震蕩和混沌現(xiàn)象。因此，在Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中引入時滯是有必要且有意義的。目前，已有許多關(guān)于時滯Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的研究成果，例如，文獻(xiàn)[7]中研究了一類具有混合時滯的Cohen-Grossberg 型BAM脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[8]研究了具有時變時滯的隨機(jī)Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局魯棒穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[9]研究了具有混合時滯的Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的指數(shù)穩(wěn)定性。

另一方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過電子電路實(shí)現(xiàn)，電磁場的密度一般來說并不均勻，當(dāng)電子在不均勻的電磁場中運(yùn)行時，會產(chǎn)生擴(kuò)散現(xiàn)象，這使得通過電路實(shí)現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)和動力會發(fā)生重大改變。因此，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中引入反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)，具有更好的實(shí)際指導(dǎo)意義。目前關(guān)于具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步問題受到了大量學(xué)者的關(guān)注，比如，文獻(xiàn)[10]研究了具有混合時滯隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步問題，文獻(xiàn)[11]研究了具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的牽引同步，其它相關(guān)研究內(nèi)容參考文獻(xiàn)[12-14]及其引用文獻(xiàn)。

值得指出的是，已有文獻(xiàn)中所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步問題都是漸近同步和指數(shù)同步，即驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)趨于同步的時間是無限的，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，這種控制方案會增大控制成本，降低工作效率。因此，我們往往要求同步在有限時間內(nèi)完成，例如安全通信、人工智能[15]等。然而，有限時間同步的穩(wěn)定時間依賴于系統(tǒng)的初值，但在實(shí)際操作中，系統(tǒng)的初始條件難以調(diào)整甚至無法估計(jì)，這導(dǎo)致穩(wěn)定時間最終難以確定。因而，Polyako首次提出了固定時間穩(wěn)定性的概念[16]。固定時間同步克服了有限時間同步的不足，其穩(wěn)定時間獨(dú)立于系統(tǒng)的初始條件并且是有界的，這促進(jìn)了交通信號系統(tǒng)和電力系統(tǒng)等相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。目前已有許多關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)固定時間同步的文獻(xiàn)[17-19]，但關(guān)于具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的時滯Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限/固定同步控制的研究成果較少。

基于上述討論，本文將對文獻(xiàn)[20]中的同步結(jié)果進(jìn)行推廣改進(jìn)，研究具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的時滯Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限/固定時間的同步問題。通過設(shè)計(jì)一種新穎的負(fù)指數(shù)狀態(tài)反饋控制器，基于不等式技術(shù)和Lyapunov穩(wěn)定性理論，建立具有反應(yīng)擴(kuò)散影響的時滯Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動-響應(yīng)有限/固定時間同步的全新判據(jù)。

1 模型描述和預(yù)備知識

考慮如下具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的時滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(1)

式中,y=(y1(t,x),y2(t,x),…,yn(t,x))T，yi(t,x) 表示第i個神經(jīng)元在時間t和空間x處的狀態(tài)，x=(x1,x2,…,xm)T∈Ω 表示神經(jīng)元的空間變量，Ω?Rm是一個具有光滑邊界的有界緊集且mes Ω>0，Dik>0為擴(kuò)散系數(shù)，αi(·)表示第i個神經(jīng)元的放大函數(shù)用以保證所研究系統(tǒng)解的存在性，βi(·)表示第i個神經(jīng)元在t時刻的行為函數(shù)，aij和bij分別表示無時滯的連接權(quán)系數(shù)和有時滯的連接權(quán)系數(shù)，fj(·)表示第j個神經(jīng)元的激勵函數(shù)，Ii代表第i個神經(jīng)元的外在輸入，τ(t)(0≤τ(t)≤τ)是時變時滯。

賦予系統(tǒng)(1)的Dilichlet邊值和初值如下：

yi(t,x)=0, (t,x)∈[-τ,∞)×?Ω,

(2)

yi(s,x)=φi(s,x), (s,x)∈[-τ,0]×Ω,

(3)

將系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)，其相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)如下：

(4)

式中：ui(t,x)是待設(shè)計(jì)的控制器，系統(tǒng)(4)中的參數(shù)意義與系統(tǒng)(1)的相同。

響應(yīng)系統(tǒng)(4)的Dilichlet邊值和初值如下：

zi(t,x)=0, (t,x)∈[-τ,∞)×?Ω,

(5)

zi(s,x)=φi(s,x), (s,x)∈[-τ,0]×Ω,

(6)

定義誤差函數(shù)為ei(t,x)=zi(t,x)-yi(t,x)，則誤差系統(tǒng)為

(αi(zi(t,x))-αi(yi(t,x)))Ii+ui(t,x)。

(7)

為建立驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)的有限/固定時間同步的動力學(xué)結(jié)果，我們作出如下假設(shè)。

(H2)：存在常數(shù)ξi>0,使得對任意的ui,vi∈R,ui≠vi，有

αi(ui)βi(ui)-αi(vi)βi(vi)≥ξi(ui-vi),i=1,2,…,n.

(H3)：對于任意的s1,s2,s∈R，存在常數(shù)lj>0,Fj>0，使得

|fj(s1)-fj(s2)|≤lj|s1-s2|, |fj(s)|≤Fj,i=1, 2, …,n.

下面給出本文所需的幾個定義和引理。

定義1[21]如果存在一個依賴于初始誤差函數(shù)e0的常數(shù)T(e0)>0，使得

成立，則稱驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)達(dá)到有限時間同步，并稱T(e0)為穩(wěn)定時間，‖·‖表示某種意義下的范數(shù)。

定義2[22]如果同步誤差系統(tǒng)(7)全局一致有限時間穩(wěn)定，且穩(wěn)定時間T全局有界，則稱同步誤差系統(tǒng)(7)全局固定時間穩(wěn)定，即對任意的e0∈Rn，存在Tmax∈R+，有T(e0)≤Tmax。

引理1[22]設(shè)函數(shù)V(x(t)):Rn→R是正則的，并且函數(shù)x(t): [0 ，∞)→Rn在[0, +∞)中的任何子區(qū)間內(nèi)絕對連續(xù)。如果存在連續(xù)函數(shù)K(t): [0, +∞)→R，且對任意的σ∈(0, +∞)，K(σ)>0，使得

V(x(t))≤K(V(t)),

并且

則對任意的t≥T，有V(x(t))=0。特別地，如果K(σ)=γση,γ>0, 0<η<1，則固定時間T為

引理2[16]假設(shè)一個連續(xù)徑向無界函數(shù)V:Rn→R+∪0，滿足

V(e)=0當(dāng)且僅當(dāng)e=0，

那么誤差系統(tǒng)(7)是固定時間穩(wěn)定的，當(dāng)t≥T(e0),V(e(t))=0，同步時間T(e0)具有如下估計(jì)，

2 主要結(jié)果

為實(shí)現(xiàn)驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)(1)-(4)有限/固定時間同步，設(shè)計(jì)如下負(fù)指數(shù)狀態(tài)反饋控制器ui(t,x):

ui(t,x)=-p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖2θ-2)ei(t,x)-

(8)

其中

p1i,p2i和θ均為正常數(shù)，i=1,2,…,n。

定理1假定(H1)-(H3)成立，如果控制參數(shù)滿足

其中

則

(1)當(dāng)0<θ<1時，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)會實(shí)現(xiàn)有限時間同步，

(2)當(dāng)θ>1時，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)會實(shí)現(xiàn)固定時間同步。

證明構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

(9)

對V(t)沿誤差系統(tǒng)(7)軌跡求導(dǎo)可得

p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖2θ-2)ei(t,x)-

(10)

首先，根據(jù)假設(shè)(H1)-(H3)，我們有

(11)

根據(jù)格林公式和引理3，得到

(12)

(13)

(14)

最后，將式(12)-(14)代入到式(11)得到

(15)

情形一當(dāng)0<θ<1時，由引理1可得，在所設(shè)計(jì)的控制器(8)下，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)(1)和(4)可實(shí)現(xiàn)有限時間同步，其穩(wěn)定時間為

情形二當(dāng)θ>1時，由引理2可得，在所設(shè)計(jì)的控制器(8)下，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)(1)和(4)可實(shí)現(xiàn)固定時間同步，其穩(wěn)定時間為

證畢。

注:文獻(xiàn)[20]中，作者利用Lyapunov穩(wěn)定性理論以及不等式技巧，研究了文獻(xiàn)[20]中模型(1)的指數(shù)和固定時間同步問題，其中式(21)的計(jì)算結(jié)果難以驗(yàn)證。因此，本文在其基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種新穎的負(fù)指數(shù)態(tài)反饋控制器，進(jìn)一步研究了文獻(xiàn)[20]中模型(1)的有限/固定時間同步問題，相比于文獻(xiàn)[20]所分析的同步過程來看，本文結(jié)果更易于計(jì)算。

3 數(shù)值仿真

例1考慮如下二維的具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的時滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

驅(qū)動系統(tǒng)為：

(16)

對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(17)

情形一有限時間同步：

對于驅(qū)動系統(tǒng)(4.1)，選取如下參數(shù)：

取θ=0.5，設(shè)計(jì)的控制器為

ui=-p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖-1)ei(t,x)-

(18)

容易驗(yàn)證

因此假設(shè)(H1)-(H3)成立。此外，通過簡單計(jì)算，易得

2h1(|a11|+b11)F1+2h1(|a12|+b12)F2+2h1|I1|≈0.283,

2h2(|a21|+b21)F1+2h2(|a22|+b22)F2+2h2|I2|≈0.268 。

所以定理1中的條件全部滿足，根據(jù)定理1中的情形(1)可得，驅(qū)動系統(tǒng)(16)與響應(yīng)系統(tǒng)(17)在控制器(18)下，可實(shí)現(xiàn)有限時間同步。為方便數(shù)值仿真，給出如下邊值條件

yi(t,-10)=yi(t,10)=zi(t,-10)=zi(t,10)=0,i=1, 2。

初值條件為：

y1(t,x)=1+xsin(-2πx),y2(t,x)=0.4+xsin(2πx),

z1(t,x)=0.8+xsin(πx),z2(t,x)=-0.4+xsin(-πx)。

因此，如圖1所示，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)是有限時間同步的。

圖1 例1中情形一下的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差

情形二固定時間同步：

對于驅(qū)動系統(tǒng)(1)，考慮如下參數(shù)

激勵函數(shù)為fi(u)=tanh(u),i=1, 2。

取θ=2，設(shè)計(jì)的控制器為

ui=-p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖2)ei(t,x)-

(19)

容易驗(yàn)證

因此假設(shè)H(1)-H(3)成立。此外，通過簡單計(jì)算，易得

2h1(|a11|+b11)F1+2h1(|a12|+b12)F2+2h1|I1|≈0.832,

2h2(|a21|+b21)F1+2h2(|a22|+b22)F2+2h2|I2|≈0.268 。

所以定理1中的條件全部滿足，根據(jù)定理1中的情形(2)可得，驅(qū)動系統(tǒng)(16)與響應(yīng)系統(tǒng)(17)在控制器(19)下可實(shí)現(xiàn)固定時間同步。為數(shù)值仿真，我們給出邊值條件為：

yi(t,-10)=yi(t,10)=zi(t,-10)=zi(t,10)=0 。

初值條件為：

y1(t,x)=-2sin(πx),y2(t,x)=-2sin(πx),z1(t,x)=4sin(πx),z2(t,x)=3sin(πx),

因此，如圖2所示，驅(qū)動系統(tǒng)(16)和響應(yīng)系統(tǒng)(17)是固定時間同步的。

圖2 例1中情形二下的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差

4 結(jié)論

本文研究了具有反應(yīng)擴(kuò)散效應(yīng)影響的時滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限/固定時間同步問題。通過設(shè)計(jì)一種新穎的負(fù)指數(shù)狀態(tài)反饋控制器，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論和不等式技巧，實(shí)現(xiàn)所研究模型有限/固定時間同步的條件。并且系統(tǒng)的有限時間同步和固定時間同步可通過對同一控制器參數(shù)范圍的設(shè)定來實(shí)現(xiàn)，當(dāng)0<θ<1時，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)會實(shí)現(xiàn)有限時間同步，當(dāng)θ>1時，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)會實(shí)現(xiàn)固定時間同步，最后得出穩(wěn)定時間的上界。