吳 曉

(湖南文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，中國 常德 415000)

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，許多新材料結(jié)構(gòu)在實際工程中得到推廣應(yīng)用，所以拉壓彈性模量不同結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究已經(jīng)成為熱門課題。例如：文獻(xiàn)[1]研究任意邊界條件下雙模量矩形薄板的彎曲，文獻(xiàn)[2]對不同模量石墨簡支梁的彈塑性進(jìn)行了分析與試驗，文獻(xiàn)[3]用材料力學(xué)方法研究了不同模量梁的彎曲變形，文獻(xiàn)[4]用chebyshev函數(shù)研究了雙模量梁變形時的解析解。文獻(xiàn)[5]研究了雙模量復(fù)合材料層結(jié)構(gòu)承載極限的預(yù)測，文獻(xiàn)[6]探討了不同模量鐵木辛柯梁的自由振動特性，文獻(xiàn)[7]研究了考慮拉壓模量不同的瀝青路面力學(xué)計算方法，文獻(xiàn)[8]研究了雙參數(shù)彈性地基上雙模量梁的頻率響應(yīng)分析，文獻(xiàn)[9]研究了橫向分布載荷作用下雙模量簡支梁的級數(shù)解，文獻(xiàn)[10]分析了剪力對楔型變截面雙模量梁彎曲應(yīng)力的影響，文獻(xiàn)[11]用能量法計算了雙模量深梁的彎曲撓度，文獻(xiàn)[12-14]采用梁截面綜合彈性模量研究了不同模量連續(xù)梁的彎曲變形計算。以上文獻(xiàn)關(guān)于拉壓彈性模量不同梁研究，都是以矩形截面梁為例的?；谏鲜鲅芯?，本文給出了小撓度假設(shè)前提下拉壓彈性模量圓形截面梁彎曲變形的精確解析解。

圖1 梁的圓截面

1 確定梁的中性軸

由材料力學(xué)可知，梁截面壓縮區(qū)應(yīng)力、拉伸區(qū)應(yīng)力分別為

(1a)

(1b)

式中，ρ為曲率半徑。

由文獻(xiàn)[15]和[16]可知，在軸向力作用下，一般軸向力對中性軸位置影響較小，因此本文以拉壓彈性模量不同圓形截面梁純彎曲時狀態(tài)為例，確定中性軸位置，梁截面軸向平衡方程為

(2)

令y=Rsinθ，且把式(1a)和(1b)代入式(2)中可得

(3)

利用式(3)求出d即可確定圓形截面梁的中性軸位置。

2 梁的彎曲正應(yīng)力

拉壓彈性模量不同的圓形截面梁彎曲時，梁截面彎曲方程為

(4)

把式(1)代入式(4)中積分可得

(5)

把式(5)代入(1)可得彎曲壓應(yīng)力、拉應(yīng)力分別為

(6a)

(6b)

由式(6a)和(6b)可知拉壓彈性模量不同圓形截面梁最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力分別為

(7a)

(7b)

3 梁的彎曲剪應(yīng)力

圖2 梁微段受力圖

在材料力學(xué)文獻(xiàn)[17]中推導(dǎo)圓形截面梁彎曲剪應(yīng)力時作了2個假設(shè)。第一：平行于圖1的Z軸的弦上諸點之剪應(yīng)力指向同一點；第二：平行圖1中的Z軸的弦上諸點在y軸方向剪應(yīng)力τy都相等。文獻(xiàn)[18]利用彈性理論證明了文獻(xiàn)[17]的2個假設(shè)是合理的且計算精度滿足工程實際要求。因此，本文也采用文獻(xiàn)[17]的2個假設(shè)研究拉壓彈性模量不同圓形截面梁的剪應(yīng)力。

利用式(6a)可以求得圖2所示梁段壓縮區(qū)左邊壓力及右邊壓力分別為

(8a)

(8b)

由文獻(xiàn)[17]可知梁微段截面上壓縮區(qū)靜力方程為

(9)

把式(8)代入式(9)中可得壓縮區(qū)剪應(yīng)力為

(10)

利用式(6b)可以求得圖2所示梁微段拉伸區(qū)左邊及右邊拉力分別為

(11a)

(11b)

參考文獻(xiàn)[17]可知梁微段截面上拉伸區(qū)靜力方程為

(12)

把式(11)代入式(12)中可得壓縮區(qū)剪應(yīng)力為

(13)

利用式(10)或式(13)可得拉壓彈性模量不同圓形截面梁最大剪應(yīng)力為

(14)

4 梁的彎曲繞曲線方程

由式(5)可知拉壓彈性模量不同圓形截面梁的彎曲微分方程為

(15)

式中，w(x)為彎曲撓度。

把式(15)積分可得繞曲線方程

(16)

式中，A1和B1均為積分常數(shù)。

下面以圖3所示連續(xù)梁為例來說明拉壓彈性模量不同圓形截面梁的撓度計算。由材料力學(xué)可得靜力平衡方程

RA+RB+Rc=2ql，

(17a)

2Rcl+RBl=2ql2。

(17b)

利用奇函數(shù)可把圖3所示連續(xù)梁的分布載荷集度表示為

(18)

由式(1)知梁截面剪力為

(19)

由式(19)可知梁截面彎矩為

(20)

把式(20)代入式(16)中可得

(21)

圖3所示連續(xù)梁的邊界條件為

x=0,w(0)=0;x=l,w(l)=0;x=2l,w(2l)=0。

(22)

利用式(17)、式(21)和式(22)可求得

(23)

所以圖3所示連續(xù)梁撓曲線方程為

(24)

利用有關(guān)參數(shù)可畫出圖3所示連續(xù)梁的彎矩圖，見圖4。

圖4 彎矩圖 Fig. 4 Bending moment diagram

5 計算分析及討論

為了討論分析拉壓彈性模量差異對彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力、撓度的影響，并指出文獻(xiàn)[12-14]求解拉壓彈性模量不同連續(xù)梁存在的缺陷和不足。取梁截面的半徑R=0.17 m。利用式(3)可求得：n=4，d=0.048 5 m；n=3，d=0.038 9 m；n=2，d=0.024 8 m。下面將式(7)和式(14)計算的結(jié)果列在表1和表2中以便分析討論。

表2 最大剪應(yīng)力 單位：N·m-2

對表1進(jìn)行分析可知，拉壓彈性模量的差異對圓形截面梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力均有較大影響，拉壓彈性模量不同圓形截面梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力與按各向同性梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力計算有很大的差異。因此，計算拉壓模量不同的彎曲正應(yīng)力時，必須采用不同模量彈性理論。

表1 最大正應(yīng)力 單位：N·m-2

對表2進(jìn)行分析可知，n=4和n=3時拉壓彈性模量不同圓形截面最大剪應(yīng)力與n=1時誤差非常小，可以忽略不計。但是，n=2時拉壓力彈性模量不同圓形截面最大剪應(yīng)力與n=1時圓形截面梁最大剪應(yīng)力誤差則遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過5%。因此，計算圓形截面最大剪應(yīng)力時要具體問題具體分析，適時考慮拉壓彈性模量差異對最剪應(yīng)力的影響。

文獻(xiàn)[12-14]研究不同彈性模量連續(xù)梁的彎曲時，引入了梁截面綜合彈性模量并采用半解析法與有限元結(jié)合，給出了連續(xù)梁的近似計算結(jié)果，其計算過程復(fù)雜繁瑣導(dǎo)致計算量相當(dāng)大。嚴(yán)格意義講，文獻(xiàn)[12-14]的解法是不合理的，因為不同彈性模量連續(xù)梁向下凹梁段中性軸位置與向上凸梁段中性軸位置不同。以圖3所示圓形截面梁為例，向下凹梁段中性軸與向上凸梁段中性軸的距離為2d，而文獻(xiàn)[12-14]引入梁截面綜合彈性模量導(dǎo)致向下凹梁與向上凸梁段有共同中性軸。在材料力學(xué)中嚴(yán)格規(guī)定，梁的彎曲撓度是以未變形前初始中性軸為初始位置，那么不同彈性模量梁向下凹梁段彎曲撓度、向上凸梁段彎曲撓度都應(yīng)以各自梁段未變形前初始中性軸為初始位置，本文以圖3所示連續(xù)梁的彎矩圖(圖4)來說明這一點。

由圖4可知，0≤x≤0.68l梁段和1.24l≤x≤2l梁段都是向下凹梁段，其中性軸位置在y=d處。而0.68l≤x≤1.24l梁段是向上凸梁段，其中性軸位置在y=-d處。因此，0≤x≤0.68l梁段和1.24l≤x≤2l梁段彎曲撓度都是以未變形前y=d處中性軸位置為初始位置，而0.68l≤x≤1.24l梁段彎曲撓度是以未變形前y=-d處中性軸為初始位置。因此，本文給出的式(24)是小變形假設(shè)下的精確解析解，而文獻(xiàn)[12-14]給出的則是近似解。

文獻(xiàn)[12-14]在研究拉壓彈性模量不同連續(xù)梁的彎曲時，引入了梁截面綜合彈性模量，克服了計算求解拉壓彈性模量不同連續(xù)梁撓度存在的缺陷和不足。以矩形截面拉壓彈性模量不同連續(xù)梁為例，假設(shè)矩形截面梁寬為b、梁高為h。由材料力學(xué)可求得拉伸區(qū)高度、壓縮區(qū)高度分別為

(25)

因此文獻(xiàn)[12-14]引入綜合彈性模量

(26)

梁的截面對中性軸的慣性矩為

(27)

所以文獻(xiàn)[12-14]給出的拉壓彈性模量不同梁的彎曲剛度為

(28)

而矩形截面拉壓彈性模量不同梁的截面彎曲剛度則為

(29)

利用式(28)和式(29)可知剛度差為

(30)

由式(30)可知，文獻(xiàn)[12-14]引入綜合彈性模量會導(dǎo)致拉壓彈性模量不同梁的截面彎曲剛度增大，使計算出的拉壓彈性模量不同梁撓度變小。

6 結(jié)論

由以上分析可得以下結(jié)論：

(1)拉壓彈性模量的差異對圓形截面梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力均有較大影響，計算拉壓模量不同的彎曲正應(yīng)力時，必須采用不同模量彈性理論。計算圓形截面最大剪應(yīng)力時要作具體問題，適時考慮拉壓彈性模量差異對最剪應(yīng)力的影響。

(2)本文給出了小變形假設(shè)前提下拉壓彈性模量不同圓形截面梁彎曲撓曲線的精確解析解，而文獻(xiàn)[12-14]給出的則是計算過程繁瑣的近似解。