◎李 毅

(江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校,江蘇 揚(yáng)州 225001)

2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其構(gòu)成包含“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.而推理能力是初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，故引導(dǎo)學(xué)生尋求證明方法、探究規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生推理證明的意識與能力是我們初中數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù).在課堂教學(xué)中該怎樣落實(shí)學(xué)生推理能力的提升？本文以蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊“1.3探索三角形全等的條件”的課堂教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)劰P者的一些具體做法和思考.

一、課前思考

(一)教材分析

八年級上冊第一章是關(guān)于全等三角形的性質(zhì)與判定，學(xué)生在七年級下學(xué)期已學(xué)習(xí)了構(gòu)成三角形的基本元素及其內(nèi)部的邊角關(guān)系，對三角形的特征已有初步認(rèn)識，能完成較簡單的幾何問題的推理證明，在本章又學(xué)習(xí)了全等圖形的概念和一般三角形全等的判定方法(邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊)，了解了全等判定中邊與角的幾種能夠確定三角形形狀和大小的基本關(guān)系，以及根據(jù)已知條件運(yùn)用尺規(guī)作三角形的方法，具備了“提出問題—作三角形—判斷是否全等—得出結(jié)論”的探究三角形全等的方法，為學(xué)生自主探究直角三角形全等打下了基礎(chǔ).但學(xué)生的認(rèn)知水平和推理能力有限，而“斜邊、直角邊”定理作為“邊邊角”的一個特例是教學(xué)的一個難點(diǎn)，并且理解“斜邊、直角邊”和“邊邊角”的區(qū)別和聯(lián)系，可以幫助學(xué)生更深入地理解本章知識.

(二)教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：能夠證明“斜邊、直角邊”定理，進(jìn)一步理解證明的必要性，能熟練運(yùn)用“斜邊、直角邊”定理判定兩個直角三角形是否全等，并能解決一些簡單的問題.

過程與方法:經(jīng)歷探索、證明“斜邊、直角邊”定理的過程，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力,滲透類比思想、化歸思想、模型思想、特殊與一般思想.

情感、態(tài)度和價值觀：通過定理證明、例題分析過程的教學(xué)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理證明的樂趣，獲得成功的喜悅.

(三)教學(xué)重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)： “斜邊、直角邊(HL)”定理的證明和應(yīng)用.

難點(diǎn)： “斜邊、直角邊(HL)”定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

二、教學(xué)設(shè)計

(一)情境設(shè)置

問題1：同學(xué)們，判定三角形全等，前面幾節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法？

學(xué)生1：邊角邊(SAS)、角邊角(ASA)、角角邊(AAS)、邊邊邊(SSS)四種方法.

問題2：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊是，直角邊是和.

問題3：如果給你兩個直角三角形，除直角相等以外，那么得到兩個三角形全等，還要滿足哪幾個條件？(要求學(xué)生先獨(dú)立思考1分鐘，大膽猜測，然后將結(jié)論寫在學(xué)案上.)

學(xué)生回答，教師補(bǔ)充并梳理，師生共同得出以下四個判定方法.

兩個直角三角形滿足的條件全等依據(jù)方法1兩條直角邊分別相等SAS方法2一個銳角和一條直角邊分別相等“ASA”或“AAS”方法3一個銳角和斜邊分別相等“AAS”方法4斜邊和兩條直角邊分別相等“SSS”

問題4：除了這四種判定方法，還有沒有其他判定方法可得到兩個直角三角形全等呢？

學(xué)生思考：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形是否全等？

【設(shè)計意圖】問題1通過對四個全等三角形判定方法的復(fù)習(xí)回顧，為判定直角三角形全等方法的探究做了準(zhǔn)備.這樣設(shè)計可使學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，在對比已學(xué)判定方法的過程中進(jìn)行新知識的學(xué)習(xí).一節(jié)課學(xué)下來，學(xué)生能感悟到知識與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，新內(nèi)容沒有增加多少，記憶的負(fù)擔(dān)也減輕了很多.類比是數(shù)學(xué)推理方法的一種重要形式，合理運(yùn)用“類比”進(jìn)行學(xué)習(xí)有助于學(xué)生從整體上理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系.問題2是復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)概念.問題3有一定的開放性，為引出“HL”定理留下伏筆，給學(xué)生一定的思考時間是盡可能讓每個學(xué)生在課堂上都能有發(fā)現(xiàn)和展示的機(jī)會.

(二)探究過程

探究1已知:如圖2，已知Rt△ABC，其中∠C=90°.

求作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,C′A′=CA，A′B′=AB.

作法:

(1)作∠PC′Q=∠C=90°;

(2)在C′Q上截取C′A′=CA;

(3)以A′為圓心、AB長為半徑畫弧,交C′P于點(diǎn)B′;

(4) 連接A′B′， 則Rt△A′B′C′(如圖3)即為所求作的三角形.

教師：將畫好的Rt△A′B′C′與Rt△ABC疊加在一起,看看它們能否完全重合?

(直接給出畫法，讓學(xué)生根據(jù)畫法進(jìn)行作圖，是考慮到學(xué)生在尺規(guī)作圖上有一定的困難.)

問題5：兩個直角三角形為什么全等？

學(xué)生2：作圖中，以頂點(diǎn)A′為圓心、線段AB長為半徑畫圓弧，它與另一直角邊只能產(chǎn)生一個交點(diǎn)，因此這樣的三角形是唯一的.

學(xué)生3：通過測量看B′C′=BC(或∠A′B′C′=∠ABC，∠B′A′C′=∠BAC)是否成立，若成立，就可以結(jié)合已知條件A′C′=AC，A′B′=AB判定這兩個直角三角形全等.

問題6：從剛才的作圖中，大家有什么發(fā)現(xiàn)？能否用數(shù)學(xué)命題的形式歸納一下你的猜想？

學(xué)生4：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形全等.

【設(shè)計意圖】尺規(guī)作圖能提升學(xué)生的動手能力，讓其觀察、思考、操作、猜想、驗(yàn)證，從而培養(yǎng)學(xué)生讀題、識圖的能力，提升學(xué)生觀察與分析的能力.讓學(xué)生自己思考怎樣運(yùn)用前面的四種判定方法，而不是由教師提出，這樣不僅對學(xué)生已學(xué)判定的掌握情況進(jìn)行了考察，而且讓學(xué)生在應(yīng)用中進(jìn)行了鞏固和靈活運(yùn)用.而教師通過追問“兩個直角三角形為什么全等”，讓學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、總結(jié)規(guī)律的過程，有助于學(xué)生知識體系的自主建構(gòu)，理性思維能力的提升.這樣的類比學(xué)習(xí)不僅得到了結(jié)論，而且揭示了規(guī)律，同時減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

探究2如何證明猜想：“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”.

已知：如圖4，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求證：△ABC≌△A′B′C′.

(學(xué)生獨(dú)立思考2～3分鐘，如有困難，可進(jìn)行小組合作交流.)

問題7：能否直接用已學(xué)過的四個全等判定方法來證明？你遇到了什么困難？

學(xué)生：不能直接用，還缺一條直角邊或一個銳角對應(yīng)相等.

問題8：能否運(yùn)用現(xiàn)有圖形構(gòu)造出兩個新的三角形滿足之前的全等判定方法？

學(xué)生積極思考、畫圖，交流思考結(jié)果，得出了可行的方案，形成了證明過程.

定理內(nèi)容：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡記為“HL”或“斜邊、直角邊”.

隨后，教師和學(xué)生一起總結(jié)“HL”定理及其注意點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)“HL”定理的使用前提必須是在直角三角形中，即除了滿足斜邊和直角邊對應(yīng)相等，還有隱含條件“Rt△”，同樣需要三個條件，由此規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá).

【設(shè)計意圖】對于“HL”定理的證明，學(xué)生當(dāng)然不能通過勾股定理或直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的等邊對等角來驗(yàn)證，這些知識點(diǎn)在蘇科版教材中都是在全等之后學(xué)習(xí)的，所以“HL”定理的證明需要構(gòu)造新三角形，運(yùn)用已學(xué)過的四個全等的判定方法來證明.但是在之前幾何證明的過程中，學(xué)生很少接觸構(gòu)造法，所以教學(xué)中的難點(diǎn)也就是如何引導(dǎo)學(xué)生想到根據(jù)現(xiàn)有條件構(gòu)造出新的全等三角形.學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行小組合作探究，就會想到構(gòu)造等腰三角形.學(xué)生通過“HL”定理的推導(dǎo)可體驗(yàn)從特殊到一般的思維方式，接觸轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理證明的樂趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和創(chuàng)造性解決問題的能力.

(三)定理應(yīng)用

例1如圖6，已知AD=BC，∠ACB=∠BDA=90°，求證：AC=BD.

證明在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°.

∴AC=BD.

師生活動：學(xué)生先獨(dú)立思考，口述證明思路，之后寫出證明過程，教師規(guī)范證明步驟.

證明線段相等，可轉(zhuǎn)化為用“HL”定理證明直角三角形全等來解決，只需挖掘到隱含條件有公共斜邊即可，此題較為基礎(chǔ)，目的是加強(qiáng)學(xué)生對定理的熟悉程度，鞏固使用定理的書寫格式.

變式訓(xùn)練：

(1)若AC=BD,∠C=∠D=90°，則Rt△ABC≌Rt△BAD是否成立？試說明理由.

(2)若AD=BC,∠DAB=∠CBA，則△ABC≌△BAD是否成立？試說明理由.

(3)若AD=BC,BD=AC，則△ABC≌△BAD是否成立？試說明理由.

(4)若∠DAB=∠CBA，∠C=∠D=90°，則Rt△ABC≌Rt△BAD是否成立？試說明理由.

(5)若圖中AC,BD相交于點(diǎn)E，圖中還有其他的全等三角形嗎?你是怎樣證明的?

【設(shè)計意圖】通過例題讓學(xué)生熟悉用“HL”定理證明兩個直角三角形全等的基本思路，同時感悟到除了“HL”定理，前面所學(xué)習(xí)的四種判定方法也可適用于證明直角三角形全等.變式訓(xùn)練中的5個小問題，目的在于讓學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題，培養(yǎng)其邏輯推理能力和發(fā)散思維能力.

例2如圖7，有兩個滑梯，它們的長度相等，左邊滑梯水平方向的長度AB與右邊滑梯的高度DE相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？

解∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：

由題意，可得△ABC與△DEF均是直角三角形，且BC=EF，AB=DE.

∴Rt△ABC?Rt△DEF(HL)，∴∠ABC=∠DEF.

∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°.

【設(shè)計意圖】例2是運(yùn)用“HL”定理解決實(shí)際問題，在問題解決中，筆者注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會抽象出幾何圖形，建立模型，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價值，以及處理此類問題的一般方法.

(四)當(dāng)堂反饋

1.如圖8，在△ABC與△DCB中，已知∠BAC=∠BDC=90°，請你添加一個條件(不添加字母和輔助線)，使AB=CD，你添加的條件是________.

2.如圖9，△ABC中，BD⊥AC于D，若根據(jù)“HL”定理判定△ABD≌△CBD，還需要加條件________.

3.如圖10，GH∥MN，AC⊥GH，點(diǎn)A,B,C,D分別在直線GH與MN上，點(diǎn)E在AC上，AB+CD=10，AE=CD，BE=ED，則AC=________.

4.如圖11，AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，請你根據(jù)這些條件自編一個結(jié)論，并寫出證明過程.

【設(shè)計意圖】第1，2題均為讓學(xué)生去增加條件判定全等，不同之處是，第1題沒有限定判定方法，是開放式答案，目的是讓學(xué)生總結(jié)判定直角三角形全等的方法，第2題限定了本課學(xué)習(xí)的“HL”定理，目的是讓學(xué)生提煉“HL”定理需要哪些條件，鞏固本節(jié)課的知識.第3題考查學(xué)生對“HL”定理的證明及應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生對“HL”定理的靈活運(yùn)用及幾何語言書寫.第4題也是一道開放性問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

(五)課堂小結(jié)

(1)判定兩個直角三角形全等的條件有哪些？

(2)“HL”定理的使用需要幾個條件？

(3)本節(jié)課，同學(xué)們在“HL”定理的探究過程中有什么體會？

【設(shè)計意圖】及時小結(jié)，進(jìn)行反思，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過學(xué)生自主回顧表達(dá)知識建構(gòu)過程，培養(yǎng)其歸納能力.

三、反思

關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在初中階段提出了九個核心概念，在教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)給予充分的關(guān)注.本節(jié)課筆者以問題探究為課堂主線，在推理證明中合理滲透數(shù)學(xué)思想方法，解決并突破難點(diǎn)，在學(xué)生已有的一般三角形全等的四個判定方法的基礎(chǔ)上，讓其進(jìn)一步探究直角三角形全等的特殊判定方法，從而充分認(rèn)識特殊與一般的關(guān)系.在定理的探究過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動手操作，通過作圖、剪紙、疊合、思考、合作探究等方式，體驗(yàn)定理的驗(yàn)證過程，化解本節(jié)課的難點(diǎn).例1以及鞏固訓(xùn)練既進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對定理的認(rèn)識，又激發(fā)了學(xué)生的探究意識，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，將核心素養(yǎng)落到實(shí)處.例2是“HL”定理的實(shí)際應(yīng)用，問題解決中注重培養(yǎng)學(xué)生抽象出幾何圖形的能力，建立模型研究具體問題，學(xué)生也體會到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價值，以及解決實(shí)際問題的一般性方法.本課教學(xué)中，數(shù)學(xué)邏輯推理主要體現(xiàn)在類比、化歸、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的使用上，這些數(shù)學(xué)思想方法的滲透有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.本課還有效地運(yùn)用了合情推理與演繹推理，學(xué)生由合情推理產(chǎn)生猜想，教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行反思、抽象、概括，進(jìn)而通過演繹推理完成猜想的證明，從而完成從合情推理到演繹推理的過渡.