劉慧娟，秦建國

(鄭州商學院 通識教育中心，河南 鞏義 451200)

矩陣在求解線性方程組,特別是超大型線性方程組時起著很重要的作用,但人們更期待的是那種能夠對角化的矩陣.眾所周知,正規(guī)矩陣就是一種可以對角化的矩陣,但哪個(類)矩陣屬于正規(guī)矩陣,人們心中并非有數.利用共軛轉置矩陣，得到Hermite矩陣,這種矩陣在矩陣論與解析函數插值中有許多應用[1-5].受Hermite矩陣和文[1]的啟發(fā),本文找到了一類正規(guī)矩陣,并進一步研究了它的性質.

1 基本結論

引理[2]設A∈Cn×n,則A為正規(guī)矩陣當且僅當A酉相似于一個對角矩陣D,而D的對角元素為A的n個特征值λ1,λ2,…,λn.

定理1 設A∈Cn×n,A*=-A2,則A可以對角化.

證明 由于

A*A=(-A2)A=A(-A2)=AA*,

(1)

所以A為正規(guī)矩陣.由引理，A可以對角化.

定理2 設A∈Cn×n,A*=-A2,則A的譜是下述集合

的子集.

證明 設λ0=a+bi,a,b∈R是A的一個特征值，則有0≠x∈Cn,使

Ax=λ0x.

(2)

由于

即

a-bi=-(a+bi)2=(b2-a2)-2abi,

(3)

下面分情況討論：

(1) 若b=0,得a=0,-1,這時,λ0=0,-1是A的特征值.

于是,

因此,任意此類矩陣的譜都是下述集合

(4)

的子集.

定理3 設A∈Cn×n,A*=-A2,則A的屬于不同特征值的特征向量正交.

證明 由定理1，矩陣A是正規(guī)矩陣，所以，A的屬于不同特征值的特征向量正交[2].

(5)

這里GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

便有

并且滿足GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

定理5 設A,B∈Cn×n,且A*=-A2,B*=-B2,則

(A?B)*=(A?B)2.

(6)

證明 (A?B)*=A*?B*[2]

=[(-A2)?(-B2)]=[(-A)?(-B)](A?B)

=(A?B)2.

定理6 設A,B∈Cn×n,且A*=-A2,B*=-B2,則

(A⊕B)*=(A⊕B)2?(B?A)=0?A=0或B=0.

(7)

證明 (A⊕B)*=(I?A)*+(B?I)*[2]=(I?A*)+(B*?I)=

-(I?A2)-(B2?I)=-(A2⊕B2).

-(A⊕B)2=-[(I?A)+(B?I)]2=-[(I?A2)+2(B?A)+(B2?I)]=

-(A2⊕B2)-2[(B?A)]=(A⊕B)*-2(B?A).

(8)

所以，(A⊕B)*=(A⊕B)3?(B?A)=0?A=0或B=0.

定理7 設A∈Cn×n,且A*=-A2,則存在n階酉矩陣U、V使

證明 由定理1，適合條件A*=-A2的矩陣A為正規(guī)矩陣且A*A=-A3.故存在n階酉矩陣P使得

(9)

(10)

矩陣的奇異值分解在線性系統理論，最小二乘問題，廣義逆矩陣，實驗數據處理等方面具有重要應用[7].

(11)

事實上，由于σ(A)={0,-1},故存在可逆矩陣P,使

A=Pdiag[-1,…-1,0,…0]P-1.

arctanA

2 結 語

利用共軛轉置矩陣和參考文獻[1]的方法證明了適于A*=-A2的矩陣A可以對角化及屬于A的不同特征值的特征向量正交；計算出了這種矩陣的可能特征值的具體值；給出了公式(A?B)*=(A?B)2以及(A⊕B)*=(A⊕B)3成立的充要條件，還有這種矩陣的奇異值分解式.這些都是一般矩陣所不具備的.