葉春榮，鄭東琛，廖任遠

(1.福建師范大學 物理與能源學院 福建省量子調控與新能源材料重點實驗室， 福州 350117；2.福建省先進高場超導材料與工程協(xié)同創(chuàng)新中心， 福州 350117)

1 引 言

超冷原子氣體，包括玻色子和費米子，是一種最先進的量子模擬實驗和理論平臺[1]，其在量子模擬、量子計算、精密測量等領域的研究中發(fā)揮著越來越重要的作用. 1995年，第一次在超冷原子氣體中觀察到玻色因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate，BEC)[2,3]，而BEC的實現為我們理解自然翻開了新的一頁，我們可以研究以前未解決的物理問題，也可以測試許多新的想法.

一些重要問題的物理機制十分迷人. 其中一個是關于玻色氣體與雜質的作用，這通常被稱為玻色極化子問題，類似于Landau和Pekar研究的極化子問題[4]. 極化子問題是最簡單的問題之一，然而它卻展示了非平凡的多體效應，揭示了單體和多體物理的相互作用，并且極大地簡化許多復雜現象的描述，特別是在BEC中雜質的研究中起著重要作用. 因為玻色極化子不僅在弱相互作用領域中是理想的研究體系[5-7]，而且在強相互作用領域也備受青睞[8-12].

近年來，對含雜質的玻色系統(tǒng)中進行了不同的研究. 在理論上，包括了有效極化子-極化子相互作用的研究[13-15]、極化子的聚集和運輸[16,17]、雜質的自束縛[18]、多極化子問題[19,20]、用雜質探測BEC[21]等. 在實驗中，Hohmann等人[22]開展了銫雜質實驗的技術探索，有小組研究了浸在玻色-愛因斯坦凝聚體中的局部中性雜質的自旋動力學[23]、玻色氣體中的費米子[6,24]、BEC中嵌入的離子及運輸動力學[25,26]. 此外，Spethmann等小組還研究了玻色氣體中雜質的量子動力學[5,27].

在玻色氣體環(huán)境中，理論和實驗上研究了單極化子的各種性質，較少研究雜質之間的相互作用. 當系統(tǒng)中存在兩種(或兩種以上)雜質時，由于與介質原子的相互作用而引起它們之間的相互作用是最基本的問題之一[28-30]. 在一維上，有多個研究小組探究了兩雜質的問題. 對于三維的情況，大部分研究都聚焦于相同作用的雜質，如在文獻[31]研究了在雜質與BEC之間弱相互作用的極限下，玻色極化子之間的有效相互作用. 而文獻[32]利用變分法對兩雜質問題進行研究. 這些三維空間的研究都表明，兩個相同雜質之間存在湯川勢相互作用. 本文研究了玻色凝聚體中存在兩個固定雜質的情形，由于雜質和玻色子相互作用非常弱，所以將采用微擾法開展工作. 經過計算，發(fā)現基態(tài)能量與雜質之間的相對距離和雜質-玻色子的散射長度有關. 進一步從基態(tài)能量出發(fā)，研究雜質-玻色子的相互作用是吸引時或排斥時，兩雜質間表現出的特征，獲得初步結果. 再通過它們的有效力分析，得到與能量分析一致的結果. 最后，通過凝聚體密度分布圖像再次得到相同的結論.

2 模型與方法

考慮兩個雜質浸入在玻色凝聚體中通過以下巨正則哈密度量來描述：

(1)

不含時的Gross-Pitaevskii(G-P)方程如下：

(2)

-μφ0+g|φ0|2φ0=0.

(3)

(4)

因此，求解上述兩個方程得到k≠0時的波函數：

(5)

3 結果和討論

基態(tài)能量可以通過計算E=〈H〉得到，忽略二階以上的高階項，利用粒子數守恒，求解出系統(tǒng)基態(tài)能量為：

(6)

(7)

對于能量修正部分：

(8)

顯然，δE與玻色-雜質相互作用強度有關，還與相對距離有關. 如果將其中一個雜質與BEC的相互作用減少到0，即令A2=0，相當于單雜質在玻色凝聚體中的情況，此時的δE將變?yōu)椋?/p>

(9)

這與文獻[34]所計算結果相吻合，同時也驗證了本文所運用計算方法的合理性.

圖1 在不同的散射長度下，能量修正隨距離改變.

雜質與雜質之間的有效力更加直觀的體現它們之間的相互作用. 通過計算能量的負梯度，可以得到雜質間有效相互作用力：

(10)

圖2 在不同的雜質散射長度下，雜質之間有效力隨相對距離改變.

進一步驗證所得到的結果，將對體系的粒子數密度進行分析，根據n=|φ|2，得到粒子數密度：

(11)

圖3 兩個雜質-玻色子的相互作用同為吸引時或同為排斥時的密度分布.

圖4 一個雜質-玻色子相互作用是吸引時，另一個為排斥時的密度分布.

4 結 論

本文考慮了含有兩個固定雜質的玻色體系，其中這兩個雜質與玻色子的相互作用可以獨立調節(jié). 通過求解G-P方程，獲得了系統(tǒng)的基態(tài)能量，并且計算了雜質之間的有效力和凝聚體密度. 基態(tài)能量和力的結果表明，如果兩個雜質都吸引或排斥周圍的玻色子，這兩個雜質之間都存在有效的吸引相互作用；如果兩個雜質其中一個吸引而另一個排斥周圍的玻色子，這兩個雜質之間存在有效的排斥相互作用. 進一步研究了凝聚體密度分布，分析相互作用背后的力學機制，從另一個角度驗證了上述結論. 本文研究結果有助于我們理解環(huán)境密度與極化子間有效相互作用的關聯(lián)，同時也有助于進一步探索玻色愛因斯坦凝聚體中雜質所帶來的物理效應.