奕建苗，鄧楓,*，覃寧，劉學(xué)強

1. 南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院 飛行器先進設(shè)計技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，南京 210016

2. University of Sheffied Department of Mechanical Engineering, Sheffield S1 3 JD

隨著計算機算力和算法的進步，基于流體力學(xué)仿真的設(shè)計優(yōu)化已經(jīng)推廣到工業(yè)設(shè)計中。在許多實際工程中，流場的計算分析是設(shè)計過程中計算量最大、最耗時的部分。這些缺點使得設(shè)計過程耗時且成本高昂。在飛行器設(shè)計的早期階段，設(shè)計師必須盡可能多地測試假設(shè)，以便找到一種最大限度提高性能的解決方案。盡管最先進的CFD求解器可以提供高可信度的結(jié)果，但是運行這些代碼所需的昂貴資源以及獲得解決方案所需的時間阻礙了廣泛的迭代設(shè)計。

因此，使用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法為這些數(shù)值仿真生成近似解非常有吸引力。數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法可以快速為流場模擬提供近似解，有望增強[1]和取代[2]高保真分析過程。這種方法從數(shù)據(jù)中挖掘特征，不同于傳統(tǒng)專家手動創(chuàng)建特征。

為了快速獲得流場，研究人員首先提出了降階模型(Reduced Order Model，ROM)。例如，本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)[3]和動態(tài)模式分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)[4]等降階模型大大降低了系統(tǒng)復(fù)雜度，提高了建模和求解效率。然而，空氣動力學(xué)降階模型總是存在3個問題[5]:第1個問題是空氣動力學(xué)輸入和輸出之間的映射通常是高度非線性的;第2個問題是需要數(shù)萬個樣本才能保證ROM的準(zhǔn)確性;第3個問題是一些特殊的空氣動力學(xué)問題具有時空特性，如湍流。上述問題降低了ROM的可信度。

過去幾年，深度學(xué)習(xí)方法在數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)[6]方面取得了巨大成功，并成功應(yīng)用于創(chuàng)新計算方法。深度學(xué)習(xí)是高維空間中一種有效的函數(shù)逼近技術(shù)，可以用作快速替代方法。深度學(xué)習(xí)架構(gòu)，例如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Deep Neural Networks, DNN)，非常適合應(yīng)用于大型、高維數(shù)據(jù)集以提取多尺度特征。通用逼近理論[7]指出，滿足一定條件的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只要給定足夠數(shù)量的隱藏單元，就可以任意精度逼近Borel可測函數(shù)。與傳統(tǒng)的ROM相比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有以下優(yōu)點:作為數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型，它們不依賴于空氣動力學(xué)理論，也不需要對空氣動力學(xué)有深入的了解;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可用于解決傳統(tǒng)ROM難以解決的高維、多尺度和非線性問題。

深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Convolutional Neural Network, CNN)是一類深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，廣泛用于視覺圖像分析。CNN具有提取數(shù)據(jù)特征的能力[8]，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)具有時空相關(guān)性時,CNN在流體力學(xué)中受到越來越多的關(guān)注，部分原因是它在高維數(shù)據(jù)提取、可訓(xùn)練性上的潛在優(yōu)勢。CNN的主要優(yōu)點在于通過卷積提取數(shù)據(jù)的主要特征，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式。

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在空氣動力學(xué)研究中得到越來越廣泛的應(yīng)用,這些研究包括加速現(xiàn)有 CFD求解器、改進湍流模型、空氣動力學(xué)響應(yīng)預(yù)測、流場重建和形狀優(yōu)化。

研究人員使用機器學(xué)習(xí)來加速CFD求解器。Yang等[9]提出了一種新的數(shù)據(jù)驅(qū)動投影方法來加速泊松方程的求解。Tompson等[10]修改了歐拉方程的解，利用學(xué)習(xí)投影替代壓力投影生成了一個快速且不發(fā)散的流場。

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也被廣泛應(yīng)用于湍流建模，尤其是雷諾平均納維-斯托克斯(RANS)模型。Milano和Koumoutsakos[11]利用直接數(shù)值模擬提供的流場數(shù)據(jù)，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法重建湍流通道內(nèi)的近壁流場。Ling等[12]提出了一種從高保真數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)雷諾應(yīng)力各向異性張量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。Zhu等[13]討論了直接構(gòu)建數(shù)據(jù)驅(qū)動的湍流黑盒模型，并實現(xiàn)了與求解器的耦合計算。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也被廣泛用于預(yù)測空氣動力學(xué)響應(yīng)。Miyanawala和Jaiman[14]提出了一個CNN模型來預(yù)測低雷諾數(shù)下鈍體非定常流動的阻力和升力系數(shù)。Zhang等[15]使用CNN模型來估計不同條件下翼型的升力系數(shù)。他們比較了多層感知器和CNN模型的預(yù)測能力。

深度學(xué)習(xí)在流場重建中的應(yīng)用在過去5年中得到了探索。Guo等[16]提出了一個CNN模型對鈍體外圍層流流場進行預(yù)測,該工作具有開創(chuàng)性，表明CNN具有快速預(yù)測流場的能力，該工作重點是對速度場的定性估計，而不是精確的空氣動力學(xué)特性。Bhatnagar等[17]將CNN運用到低速翼型的速度場和壓力場的估計中,他們使用高保真CFD仿真結(jié)果作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，研究了梯度銳化對預(yù)測結(jié)果的影響,雖然該工作局限于3個翼型，但為高精度的深度學(xué)習(xí)流場預(yù)測提供了參考。Ribeiro等[18]對比了基于編碼器-解碼器架構(gòu)和U-Net架構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對圓柱層流繞流的預(yù)測，表明基于U-Net架構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能對流場做出更好的估計。Sekar等[19]基于大量仿真數(shù)據(jù)，利用CNN和多層感知器建立的深度學(xué)習(xí)模型對翼型繞流進行了估計，經(jīng)過訓(xùn)練的模型在測試集上的準(zhǔn)確率為97%。然而，所需的流場數(shù)據(jù)庫僅針對雷諾數(shù)為100～2 000的層流。他們還提出了一種基于CNN建立的壓力系數(shù)與翼型幾何形狀映射關(guān)系的逆向設(shè)計方法[20]。Thuerey等[21]研究了用于預(yù)測流場的深度學(xué)習(xí)模型的準(zhǔn)確性,他們的研究重點是訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的大小和權(quán)重的數(shù)量如何影響預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。Tangsali等[22]專注于評估基于編碼器-解碼器架構(gòu)的模型在預(yù)測各種流態(tài)和幾何變化的空氣動力學(xué)流場方面的泛化能力。

以上工作的預(yù)測內(nèi)容僅限于比較簡單的亞聲速流場。在實際氣動設(shè)計中，經(jīng)常會遇到跨聲速流場的預(yù)測。翼型壓力分布和激波強度的估計占翼型選擇和設(shè)計的大部分工作。與亞聲速流場不同，跨聲速流場具有以下特點:第1點是流場中存在梯度較大的區(qū)域，例如激波和尾流，不利于深度學(xué)習(xí)預(yù)測;第2點是流場對幾何非常敏感，這對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特征提取工作提出了更高的要求。

已有幾項工作對跨聲速流場的預(yù)測做出了貢獻(xiàn)。Hui等[23]提出了一個CNN模型來估計RAE2822翼型變體數(shù)據(jù)集的表面壓力系數(shù)。Wu等[24]使用生成對抗網(wǎng)絡(luò)(Generative Adversarial Network， GAN)來估計跨聲速流場,該模型將翼型參數(shù)映射到翼型壓力場,但是GAN存在訓(xùn)練穩(wěn)定性問題[5]。Duru等[25]提出了一種基于編碼器-解碼器架構(gòu)的CNN模型用于快速預(yù)測跨聲速流場,該模型使用單一條件下200個翼型的仿真數(shù)據(jù)集作為訓(xùn)練集，但翼型本身并不是為跨聲速設(shè)計的,最終模型的準(zhǔn)確率高達(dá)88%，當(dāng)激波出現(xiàn)時，模型的準(zhǔn)確率下降到84%,對于跨聲速流場還有一些改進的空間。編碼器-解碼器架構(gòu)在預(yù)測跨聲速流場方面存在局限性，因為在編碼器的多次下采樣過程中輸入的幾何信息會部分丟失。

本文工作的主要內(nèi)容是預(yù)測不同幾何翼型的跨聲速流場,分別使用了編碼器-解碼器架構(gòu)和U-Net架構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,翼型數(shù)據(jù)來自超臨界翼型RAE2822的變體。通過學(xué)習(xí)從翼型幾何中提取的輸入特征與 CFD模擬的真實流場之間的關(guān)系，訓(xùn)練后的模型可以直接生成預(yù)測。與CFD模擬相比，該方法沒有收斂要求和耗時的迭代過程;與以前的研究相比，當(dāng)前的工作側(cè)重于對跨聲速流場進行更嚴(yán)格的表征。這項研究還改進了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練方法。例如，增加了基于流場梯度的損失函數(shù)，以提高預(yù)測的準(zhǔn)確性和視覺效果。

本文第1節(jié)介紹了深度學(xué)習(xí)模型的相關(guān)方法，包括流場預(yù)測模型、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和超參數(shù);第2節(jié)介紹了用于模型訓(xùn)練的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作;第3節(jié)分析和討論了深度學(xué)習(xí)模型的預(yù)測結(jié)果;第4節(jié)給出了結(jié)論和展望。

1 方法介紹

1.1 流場預(yù)測模型

傳統(tǒng)的針對翼型的流場計算需要經(jīng)歷以下幾步，首先是圍繞翼型生成外部網(wǎng)格，將其導(dǎo)入CFD求解器。然后根據(jù)經(jīng)驗設(shè)置求解參數(shù)，通過連續(xù)迭代數(shù)值求解即可得到流場。本文采用的流場預(yù)測模型是一種代理模型，通過已有的數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲得合適的模型參數(shù)，對未知的翼型流場做出預(yù)測,該方法可以省去費時的網(wǎng)格生成和數(shù)值迭代的求解過程，并且保持對流場數(shù)據(jù)的精確度。CFD仿真和深度學(xué)習(xí)模型的流程對比如圖1所示。

圖1 CFD仿真與深度學(xué)習(xí)模型對比

本文采取的深度學(xué)習(xí)模型是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)模型，將帶有標(biāo)簽的數(shù)據(jù)集作為輸入，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)減小預(yù)測輸出與標(biāo)簽的損失函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能建立翼型與流場數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系。

1.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有考慮數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性，從而挖掘數(shù)據(jù)特征的能力。使用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從流體力學(xué)數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)相關(guān)特征，建立翼型數(shù)據(jù)與流場數(shù)據(jù)的映射關(guān)系，從而快速預(yù)測未知翼型的流場。網(wǎng)絡(luò)輸入是表示翼型幾何的符號距離函數(shù)(Signed Distance Function, SDF)，網(wǎng)絡(luò)輸出是翼型周圍的流場數(shù)據(jù)，包括壓力系數(shù)(Cp)和馬赫數(shù)(Ma)。模型實現(xiàn)的功能示意如圖2所示。

圖2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型實現(xiàn)的功能

1) 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

研究人員使用的編碼器-解碼器架構(gòu)在原始自動編碼器(Autoencoder, AE)的基礎(chǔ)上進行了更改,為方便起見，使用AE指代該種架構(gòu)?；贑NN的AE模型廣泛應(yīng)用于空氣動力學(xué)流場預(yù)測。大量工作表明，AE模型在預(yù)測圓柱體和低速翼型周圍的層流方面表現(xiàn)良好。例如，文獻(xiàn)[22] 深入探討了AE在流場預(yù)測中的應(yīng)用。AE分為下采樣編碼器和上采樣解碼器。下采樣編碼器網(wǎng)絡(luò)將幾何信息壓縮為降維的潛在特征，然后上采樣解碼器網(wǎng)絡(luò)將潛在特征映射回流場數(shù)據(jù)。

U-Net架構(gòu)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被證明可以有效應(yīng)用于幾何形狀到壓力場和速度場的映射,這種架構(gòu)由文獻(xiàn)[26]提出，已被廣泛用于醫(yī)學(xué)圖像分割。與傳統(tǒng)AE架構(gòu)不同的是，U-Net將多級編碼器下采樣數(shù)據(jù)傳入解碼器，使得解碼上采樣過程融入多級多尺度的低維特征。文獻(xiàn)[18]使用U-Net架構(gòu)和傳統(tǒng)的AE架構(gòu)對低速圓柱繞流流場進行了預(yù)測。本文基于該框架，建立基于U-Net架構(gòu)的深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

當(dāng)涉及多個流場輸出通道時，是否為每一個通道都設(shè)計獨立的解碼器引起了討論。文獻(xiàn)[17]對共享解碼器和分離解碼器對預(yù)測結(jié)果的影響進行了討論，結(jié)果表明分離解碼器的預(yù)測效果都好于共享解碼器的預(yù)測效果。多個分離的解碼器具有相互獨立的權(quán)重系數(shù)，在訓(xùn)練中針對各自通道的真實數(shù)據(jù)進行調(diào)整，因此能大大提高預(yù)測效果。

本文分別將AE架構(gòu)和U-Net架構(gòu)的深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運用到復(fù)雜的跨音速翼型流場的預(yù)測中。以上2種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的示意如圖3所示。網(wǎng)絡(luò)的輸入是代表翼型幾何形狀的SDF，網(wǎng)絡(luò)輸出是結(jié)構(gòu)化的流場數(shù)據(jù)，每種流場數(shù)據(jù)都配備單獨的解碼器。AE架構(gòu)和U-Net架構(gòu)的下采樣編碼器分多次對輸入幾何信息進行壓縮。與AE架構(gòu)不同的是，U-Net架構(gòu)的上采樣解碼器每次解碼前融入由編碼器饋入的數(shù)據(jù),這些由編碼器饋入的數(shù)據(jù)是多尺度的低維特征。

圖3 網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)示意圖

2) 卷積層

卷積層在CNN中起著重要作用。該層由可學(xué)習(xí)的內(nèi)核(kernel)組成，一般內(nèi)核的尺寸較小,內(nèi)核中的權(quán)值決定一個標(biāo)量積，內(nèi)核在輸入層上移動。當(dāng)內(nèi)核對應(yīng)一部分輸入?yún)^(qū)域時，標(biāo)量積的計算過程如圖4所示。每個卷積層都有許多這樣的內(nèi)核，每個內(nèi)核都有獨立的標(biāo)量積,每個內(nèi)核的輸出在深度維度上疊加，稱為激活映射(Activation Map),激活映射通過非線性激活單元后，作為下一層卷積層的輸入。標(biāo)量積運算和非線性激活單元一起組成一個卷積層。以上操作的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖4 典型卷積操作

(1)

式中：oi,j為輸出；I為輸入，尺寸為長度L、高度H、深度C；w為內(nèi)核權(quán)重，內(nèi)核尺寸為l1×l2;偏置b可以不設(shè)置;非線性激活函數(shù)σ(·)推薦使用ReLU，因為它能更快地訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，ReLU定義為自變量的正數(shù)部分。

σ(x)=max(0,x)

(2)

每個卷積層包含多個內(nèi)核,卷積核的大小影響特征提取的尺度，核的數(shù)量影響特征提取的多少。卷積層的輸出尺寸通過內(nèi)核的尺寸、步長(stride)和填充(padding)來改變,因此卷積層參數(shù)的布置需要依靠經(jīng)驗確定。

3) 池化層和反池化層

池化層通常在卷積層之后,池化層將給定輸入的尺寸縮小，稱為下采樣，主要目的是提取數(shù)據(jù)的主要特征。池化層在卷積層的輸出上進行操作，使用指定的池化操作縮放維度。常用的池化操作有最大池化和平均池化,池化內(nèi)核為2×2時的最大池化操作如圖5(a)所示。

反池化層與池化層相反,反池化層將給定輸入的尺寸放大，稱為上采樣。反池化層也有最大池化和平均池化之分,反最大池化的示例如圖5(b)所示，其中最大值的位置信息來自池化層。

圖5 典型最大池化和反最大池化

1.3 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和超參數(shù)

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練是權(quán)重系數(shù)不斷更新的過程。在每一次迭代中，一批數(shù)據(jù)進行前饋傳播，然后進行梯度反向傳播。對于給定輸入，模型將預(yù)測輸出和真實數(shù)據(jù)的損失函數(shù)最小化。該損失函數(shù)有2部分構(gòu)成，一部分是樣本平均絕對值誤差，另一部分是樣本梯度的絕對值誤差。具體公式為

(3)

式中：Cp為壓力系數(shù)；Ma為馬赫數(shù)；m為訓(xùn)練樣本個數(shù)；nx為x方向網(wǎng)格點數(shù)；ny為y方向的網(wǎng)格點數(shù)；SMAE是樣本平均絕對誤差(Sample Mean Absolute Error)；GS為樣本梯度銳化(Gradient Sharpening);γ需要經(jīng)過驗證確定，這里確定為1。中心差分方法被用于計算梯度。梯度銳化GS的加入是為了增加流場的可視化效果，使流場更加平滑。

尋找神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超參數(shù)是一項經(jīng)驗性的工作，通過執(zhí)行不同超參數(shù)組合建立的網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)泛化能力以及預(yù)測值與真實值的誤差來比較生成的網(wǎng)絡(luò)。不同學(xué)習(xí)率、卷積核尺寸和卷積層的布置會導(dǎo)致結(jié)果的不同。綜合考慮以上超參數(shù)的研究和文獻(xiàn)[18]的數(shù)據(jù)支持，卷積層的參數(shù)布置見表1。每種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行1 000個epoch訓(xùn)練,訓(xùn)練集數(shù)據(jù)分批饋入，每一批數(shù)據(jù)個數(shù)是64。為了防止過擬合的出現(xiàn)，參數(shù)weight delay確定為0.01,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)采用Pytorch開源程序?qū)崿F(xiàn)。

表1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)布置

2 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作非常重要，訓(xùn)練集數(shù)據(jù)的分布決定了預(yù)測的有效空間，因此訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)要遍布設(shè)計空間。測試集數(shù)據(jù)用于判斷模型訓(xùn)練是否有效。模型訓(xùn)練的目的是為了預(yù)測未知翼型的跨聲速流場，而不僅僅使訓(xùn)練集的誤差最小。

共對1 000個翼型流場進行仿真，其中80%作為訓(xùn)練集，20%作為測試集。翼型數(shù)據(jù)集由基準(zhǔn)翼型變形獲得，這里選擇基準(zhǔn)翼型為RAE2822翼型。RAE2822通常作為設(shè)計優(yōu)化的基準(zhǔn)超臨界翼型。數(shù)據(jù)集的收集方法基于拉丁超立方采樣(Latin Hypercube Sampling, LHS)和自由形式變形方法(Free From Deformation, FFD)。FFD控制點除翼型前后緣位置不變外，一共有12個可變控制點。通過LHS采樣控制點位移獲得 1 000個翼型,每個控制點變量取值范圍為[-0.2,0.2]。控制點的分布如圖6(a)所示,翼型庫的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)和測試集數(shù)據(jù)如圖6(b)所示。

圖6 數(shù)據(jù)集分布

CFD求解器求解翼型算例，獲得壓力場(Cp)和速度場(Ma)。壓力和速度數(shù)據(jù)會被映射到規(guī)則的笛卡爾網(wǎng)格上。翼型經(jīng)過參數(shù)化后的SDF數(shù)據(jù)集和標(biāo)簽一一對應(yīng)組成數(shù)據(jù)集。

將全部數(shù)據(jù)分為2部分:一部分是訓(xùn)練集,將帶有標(biāo)簽的數(shù)據(jù)集作為輸入進行監(jiān)督學(xué)習(xí)，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使損失函數(shù)最小;另一部分是測試集，模擬未知的翼型數(shù)據(jù)饋入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。計算訓(xùn)練獲得的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測流場與測試集的真實流場的誤差，作為最優(yōu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的判斷依據(jù)。

2.1 幾何表示

在數(shù)據(jù)渲染和分割中，以及在提取不同形狀的結(jié)構(gòu)化信息時，SDF被廣泛應(yīng)用。SDF提供了不同幾何形狀的通用表示，展現(xiàn)為網(wǎng)格點到物面的最小距離。結(jié)構(gòu)化的信息有利于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行形狀學(xué)習(xí)。笛卡爾網(wǎng)格中的SDF不僅提供局部幾何信息，而且還包含有關(guān)全局幾何的其他信息。

SDF在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)中的有效性被文獻(xiàn)[16]證明。一組點X的符號距離函數(shù)的數(shù)學(xué)定義為，每個給定點x∈X離對象Ω邊界?Ω的最小距離。

(4)

SDF在翼型外側(cè)的點具有正值，在翼型內(nèi)部則為負(fù)值。為了生成符號距離函數(shù)，從CFD結(jié)果中輸出翼型幾何信息。計算空間中200×100點到翼型表面的最小距離，形成結(jié)構(gòu)化的輸入信息。圖7可視化了RAE2822翼型的SDF函數(shù)。

圖7 RAE2822翼型的SDF可視化

2.2 CFD仿真

高保真度的CFD仿真結(jié)果是深度學(xué)習(xí)模型的基礎(chǔ)。由于CFD仿真在優(yōu)化設(shè)計和流體力學(xué)控制領(lǐng)域的高成本，能夠快速獲取流場的深度學(xué)習(xí)方法受到了廣泛關(guān)注。

采用CFL3D代碼對翼型流場進行仿真,代碼求解可壓縮RANS方程、S-A湍流模型。采用257×97的C型網(wǎng)格，網(wǎng)格第1層高度為5×10-6，保證y+<1。流場計算條件為Re=6.5×106、Ma=0.73以及迎角α=2.79°。翼型在該狀態(tài)下會出現(xiàn)明顯的激波。圖8展示了RAE2822翼型在該計算條件下的計算值與實驗值對比，實驗數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[27],計算結(jié)果基本與實驗值重合，表明計算結(jié)果是可信的。

圖8 計算網(wǎng)格和結(jié)果驗證

提取仿真結(jié)果的壓力系數(shù)和馬赫數(shù)作為預(yù)測的真實流場,壓力系數(shù)可以有效幫助設(shè)計人員估計流場的特征,馬赫數(shù)則表征了流場中流體的可壓縮性，顯示了激波和尾流的信息。為了便于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出，將所用樣本數(shù)據(jù)表現(xiàn)在相同的笛卡爾網(wǎng)格上。CFD仿真數(shù)據(jù)被線性插值到200×100的笛卡爾網(wǎng)格中，翼型內(nèi)部數(shù)據(jù)的馬赫數(shù)和壓力系數(shù)設(shè)置為0。流場數(shù)據(jù)的提取范圍是{(x,y)|x∈[-0.5,1.5],y∈[-0.5,0.5]}，該區(qū)域包括了跨聲速流場的主要特征，對翼型設(shè)計和優(yōu)化具有重要的參考價值。

3 結(jié)果與討論

3.1 模型驗證

采用基于2種架構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，分別為AE架構(gòu)和U-Net架構(gòu)。其中，U-Net模型采用了2個損失函數(shù)進行訓(xùn)練，分別為有GS和沒有GS，目的是比較2個網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測跨聲速流場方面的性能，并研究GS在改進網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方面的效果。

使用絕對百分比誤差(Absolute Percentage Error， APE)來評估模型的預(yù)測性能，即

APE=(|預(yù)測-真實|)/|真實|×100

為了在訓(xùn)練過程中可視化不同模型的收斂歷史，需要一個統(tǒng)一的指標(biāo)來表示實際誤差。由于在損失函數(shù)中加入了梯度項，損失函數(shù)是不合適的，因此，采用像素平均絕對誤差(Mean Absolute Error of Pixels，PMAE)來表示模型的實際誤差。PMAE是損失函數(shù)中SMAE在所有像素上的平均值，直觀地表示了模型的預(yù)測能力。在本研究中，PMAE僅用于表示收斂歷史，在其他情況下，APE用于模型間的比較。

(5)

(6)

(7)

式中：V代表通道，這里分別是Cp和Ma；nx表示x方向的網(wǎng)格點數(shù)；ny表示y方向的網(wǎng)格點數(shù)；m代表樣本數(shù)量。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別迭代1 000個epoch，直到測試集的損失函數(shù)不再下降。最終訓(xùn)練集和測試集的PMAE下降到大約10-2和2×10-2。3個模型的收斂速度幾乎相同。從圖9可以看出，U-Net 的PMAE明顯小于AE，而帶有GS的U-Net 的PMAE略小于U-Net。

圖9 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練收斂歷史

表2給出了3個模型對測試集樣本的平均百分比誤差MAPE。盡管數(shù)據(jù)是標(biāo)準(zhǔn)化的壓力場的百分比誤差是速度場的5倍。筆者認(rèn)為，這可能與空間中大量的小壓力值和較多的壓力峰值有關(guān)。AE模型壓力系數(shù)的百分比誤差為6.776%，明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[25]中提出的CNNFOIL模型，主要原因是樣本數(shù)量和樣本空間分布。本文模型建立在一個相對完整的跨聲聲流場的樣本空間中。

表2 不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的MAPE

U-Net架構(gòu)對預(yù)測精度的提升是顯而易見的。與AE模型相比，U-Net模型的Cp誤差降低了約24%，Ma誤差降低了約12%。加入GS后，U-Net模型誤差進一步降低了10%左右?？偟膩碚f，本文模型比傳統(tǒng)的AE模型減少了大約30%的誤差。

為了詳細(xì)說明3種模型的預(yù)測能力。圖10和圖11顯示了測試集的所有200個樣本的APE分布。對于壓力場，AE模型在4%～6%APE中分布更多的樣本。U-Net將這些樣本的APE分布降低到2%～4%，改進后的U-Net模型降低更多。與AE相比，U-Net降低了90%以上樣本的APE。加入GS后的U-Net模型進一步降低了2/3樣本的APE。速度場的預(yù)測也具有類似的趨勢。

圖10 壓力系數(shù)百分比誤差的樣本數(shù)量分布

圖11 速度場百分比誤差的樣本數(shù)量分布

3.2 測試集的數(shù)值模擬

通過上面的分析，本文研究了3個模型在測試集上的預(yù)測能力，但是模型改進的原因是未知的。選取樣本來分析3種模型的預(yù)測絕對誤差分布。

Errorij=|Vijpre-Vijtruth|

(8)

同時在每個誤差分布的右上角標(biāo)出了對應(yīng)模型中樣本的APE。

首先研究U-Net和AE模型之間的差異。測試樣本的預(yù)測結(jié)果和絕對誤差Error如圖12和圖13所示。從壓力系數(shù)分布可以看出，AE模型雖然在整個流場都有較好的預(yù)測結(jié)果，但仍然存在較大的誤差。這些誤差集中在幾何表面。造成這種現(xiàn)象的主要原因包括以下2點。一方面，在深度學(xué)習(xí)模型中，下采樣過程中對翼型幾何信息的不斷壓縮導(dǎo)致部分信息的丟失。另一方面，與亞聲速流場不同，跨音聲流場對翼型的幾何信息非常敏感，幾何的微小變化都會導(dǎo)致流場的明顯變化。U-Net模型很好地減小了幾何表面的誤差。AE模型對速度場的預(yù)測誤差表現(xiàn)在幾何表面和尾流區(qū)域。U-Net模型減小了這些區(qū)域的誤差。從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架來看，U-Net將多尺度幾何采樣信息帶入解碼器，使模型對幾何信息的把握更加全面。

圖12 測試樣本的壓力系數(shù)和絕對誤差分布

圖13 測試樣本的馬赫數(shù)和絕對誤差分布

進一步比較了沒有GS的U-Net和帶有GS的U-Net之間的差異。與AE相比，U-Net模型顯著降低了誤差，但流場中仍然存在不連續(xù)的鋸齒。這是因為沒有GS的損失函數(shù)只關(guān)注最小化像素的誤差，并不關(guān)心流場的連續(xù)性,GS平滑流場數(shù)據(jù)，提高了流場可視化效果。令人驚訝的是，GS的加入減少了一些預(yù)測誤差，GS將單個像素的預(yù)測值與周圍像素相關(guān)聯(lián)，綜合了整個區(qū)域的誤差，使誤差分布變得相對連續(xù)。

值得一提的是，一個模型中誤差較小的樣本在其他模型中誤差同樣較小,模型對樣本的預(yù)測準(zhǔn)確率很大一部分來自訓(xùn)練集,如果訓(xùn)練集能充滿整個設(shè)計空間，樣本的預(yù)測誤差會大大降低。

3.3 未知翼型的數(shù)值模擬

通過以上研究，了解了模型在訓(xùn)練集空間中的預(yù)測精度。訓(xùn)練模型的目的之一是快速預(yù)測同一條件下其他翼型的流場,雖然新翼型不一定在設(shè)計的訓(xùn)練集空間中，但是可以幫助了解最優(yōu)模型U-Net是否有一定的泛化能力。

選擇2個翼型RAE101和RAE104進行CFD數(shù)值模擬和深度學(xué)習(xí)模擬。所選翼型和數(shù)據(jù)集的采樣范圍如圖14所示。雖然翼型不在樣本空間內(nèi)，但深度學(xué)習(xí)模擬的壓力系數(shù)的APE分別為7.97%和6.64%，速度場的APE為1.2%和1.1%。

圖14 訓(xùn)練集邊界和選定的翼型

圖15和圖16分別展示了2個翼型外圍流場的可視化結(jié)果,深度學(xué)習(xí)模型的輸出與真實結(jié)果非常接近，因此模型在未知翼型流場的快速預(yù)測方面具有參考價值。

圖15 RAE101翼型周圍壓力系數(shù)和馬赫數(shù)的預(yù)測結(jié)果與真實情況

圖16 RAE104翼型周圍壓力系數(shù)和馬赫數(shù)的預(yù)測結(jié)果與真實情況

3.4 時間消耗對比

深度學(xué)習(xí)模型的優(yōu)勢還在于數(shù)值模擬的時間消耗。表3比較了CFD模擬和深度學(xué)習(xí)模擬之間的時間消耗,模擬時間是通過不同批次大小(1、10、100)的數(shù)據(jù)集獲得的。公平起見，兩者都使用CPU單核計算,程序全部運行在E5-2630處理器上，其理論計算速度為2.30 GHz。經(jīng)過訓(xùn)練的深度學(xué)習(xí)模擬至少比CFD模擬快2個數(shù)量級。

表3 仿真時間消耗

4 結(jié) 論

本文建立了基于AE架構(gòu)和U-Net架構(gòu)的CNN模型來解決跨聲速流場的快速預(yù)測問題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以表示翼型幾何形狀的SDF為輸入，以翼型周圍的壓力場和速度場為輸出。對比了不同模型的預(yù)測結(jié)果，得到了以下結(jié)論：

1) 在本文提出的網(wǎng)絡(luò)布局下，與基準(zhǔn)AE架構(gòu)相比，U-Net 將APE降低了約24%。在損失函數(shù)中加入GS后，U-Net架構(gòu)的APE進一步降低了10%。最終，本文的模型將測試集壓力系數(shù)的平均APE保持在4.625%，速度場的平均APE保持在1.013%。

2) AE架構(gòu)的預(yù)測誤差主要集中在翼型表面和激波區(qū)域,原因在于下采樣過程的逐層壓縮導(dǎo)致信息丟失。U-Net架構(gòu)通過多級特征的傳輸來保持信息的完整性,U-Net對幾何特征的全面理解減少了激波和翼型表面的誤差。

3) 在損失函數(shù)中加入GS，保持了流場數(shù)據(jù)的連續(xù)性，總體上提高了流場數(shù)據(jù)的可視化效果。

4) 本文深度學(xué)習(xí)模型在未知翼型的數(shù)值模擬中也保持一定的可靠性,并且深度學(xué)習(xí)仿真比CFD仿真快至少2個數(shù)量級，同時保持了仿真精度。

對于未來的工作，一方面是將深度學(xué)習(xí)模型應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域，例如從二維流場擴展到三維流場，從定常流到非定常流，以及將樣本數(shù)據(jù)集擴展至包含轉(zhuǎn)捩的自然層流翼型。另一方面，該程序致力于獲得跨聲速流場的實時反饋，有望應(yīng)用于氣動優(yōu)化和逆向設(shè)計。