蘇 籍,白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

非線性動力學(xué)研究興起于上世紀60年代，從研究對象和方法上擴展了當(dāng)代物理學(xué)的內(nèi)容，并從觀念上改變了人們對經(jīng)典物理決定論的認識. 將非線性動力學(xué)實驗引入基礎(chǔ)物理實驗教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生從動力學(xué)的角度認識物理系統(tǒng)，激發(fā)學(xué)生探索自然規(guī)律的興趣. 由于課時和背景知識的限制，這類實驗的教學(xué)目標應(yīng)為使學(xué)生認識典型的非線性動力學(xué)現(xiàn)象和規(guī)律，并了解動力學(xué)的研究方法.

非線性動力學(xué)的研究對象具有普適性，在不同的物理體系中都有體現(xiàn). 相比于力學(xué)系統(tǒng)，電學(xué)系統(tǒng)(混沌電路)具有穩(wěn)定性好、時間尺度短、便于調(diào)節(jié)控制參量和數(shù)據(jù)采集等優(yōu)點，在非線性動力學(xué)實驗研究中具有更高的可行性. 最早驗證費根鮑姆關(guān)于倍周期分岔通往混沌道路普適性的實驗就是在非線性電路上完成的[1]，該電路采用變?nèi)荻O管作為非線性元件. 基于非線性電阻的蔡氏電路(Chua’s circuit)則被廣泛應(yīng)用于科研和教學(xué)中[2]. 關(guān)于混沌電路的詳細介紹可以參考文獻[3-7].

上世紀90年代北京師范大學(xué)在本科教學(xué)中引入非線性動力學(xué)實驗，其中包括以磁環(huán)電感作為非線性元件的混沌電路[8-10]. 該電路含有3個繞組的特制變壓器，在電路中3個繞組分別接成直流偏置、無源RLC振子和驅(qū)動RLC振子，如圖1所示. 選擇合適的參量，通過這個電路可以觀察到通過倍周期分岔到混沌的過程.

圖1 含有3個繞組的變壓器非線性電路

本文對該混沌電路進行改進：1)簡化電路，省去無源RLC振子部分，同時使用商品共模電感替代特制變壓器，便于在教學(xué)中推廣；2)對電路進行數(shù)學(xué)建模，該模型可以復(fù)現(xiàn)大部分實驗現(xiàn)象，從而加深學(xué)生對混沌電路原理的理解.

除了倍周期分岔和混沌，改進的電路還可以出現(xiàn)陣發(fā)、激變、多吸引子共存等動力學(xué)現(xiàn)象，可以更好地應(yīng)用于基礎(chǔ)物理實驗教學(xué).

1 實驗裝置

1.1 共模電感

共模電感本質(zhì)為1∶1的變壓器，如圖2所示，常用于濾除電源線的共模干擾. 由于一次和二次繞組的匝數(shù)相同，磁場強度H正比流過2個繞組的電流的代數(shù)和,即

圖2 共模電感電路

I(t)=I1(t)+I2(t) ，

(1)

根據(jù)電磁感應(yīng)原理，忽略漏磁，2個繞組的電壓為

(2)

其中，Φ(t)為繞組的總磁通量，等于磁環(huán)的磁通量與繞組匝數(shù)的乘積.對于線性電感，在任意時刻Φ和I都成正比，即Φ(t)=MI(t)，根據(jù)式(1)和式(2)，可以得到

(3)

其中，比例系數(shù)M為每個繞組的自感量或它們之間的互感量(忽略漏磁，則二者相等).但實際磁環(huán)材料存在飽和與磁滯現(xiàn)象，這是共模電感元件非線性的來源.值得注意的是，磁滯現(xiàn)象意味著Φ(t)與I在t時刻之前的變化歷史有關(guān)，一般不能寫成I(t)的單值函數(shù).

在一次繞組中通入交流周期電流I1(t)，測量二次繞組的開路電壓u2(t)，采用傅里葉變換計算其積分得到Φ(t).圖3所示為不同電流幅度 (頻率為750 Hz)的7條實測Φ-I關(guān)系曲線.

圖3 實測共模電感特性(插圖為曲線局部放大圖)

這些曲線經(jīng)過適當(dāng)?shù)臉硕群缶褪谴怒h(huán)材料的磁滯回線[11].從圖3中可以看出磁滯回線很窄，表明磁環(huán)為軟磁材料，而且mA量級的電流可以產(chǎn)生明顯的飽和現(xiàn)象[作為濾波元件時，I1(t)和I2(t)基本反相，I(t)很小].

1.2 實驗電路

改進的實驗電路如圖4所示，其中，E1為直流電源，E1/R1稱為偏置電流；E2為正弦信號發(fā)生器，輸出波形為激勵信號，其峰峰值記為Vpp.為了減小信號發(fā)生器的輸出阻抗，激勵信號需要經(jīng)過功率放大器(圖中未畫)再接入電路.

圖4 非線性RLC電路

實驗中，用示波器通道1觀察R2兩端的電壓v2(t)(與回路電流成正比)，通道2觀察一次繞組的感應(yīng)電壓u1(t).在不嚴格的意義下，下文稱用XY方式顯示的曲線為軌跡圖.

2 實驗現(xiàn)象與分析

典型非線性動力學(xué)現(xiàn)象具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，因此電路元件取值(在一定范圍內(nèi))并不影響實驗效果.本節(jié)實驗現(xiàn)象是在R1=10 kΩ，R2=4.1 Ω，C=9.4 μF，E1=24 V，f=750 Hz時得到的.逐漸升高Vpp，系統(tǒng)會表現(xiàn)出與一維logistic映射相似的混沌帶與周期窗口相互嵌套的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[12]. 圖5所示為有代表性的軌跡圖(圖5由示波器保存的數(shù)據(jù)繪制).

2.1 通過倍周期分岔達到混沌

電阻和磁環(huán)(由于存在磁滯)都會把電能轉(zhuǎn)換為熱能，因此本實驗電路是耗散系統(tǒng). 倍周期分岔是耗散系統(tǒng)中最常見的通往混沌的道路，圖5(a)～(f)體現(xiàn)了該過程. 理論上倍周期分岔可以一直進行下去，由于信號源調(diào)節(jié)以及數(shù)據(jù)采集的精度有限，再加上電路噪聲的影響，實驗上只看到了4次倍周期分岔.

(a)Vpp=167 mV,1周期 (b) Vpp=254 mV,2周期 (c) Vpp=521 mV,4周期 (d) Vpp=534 mV,8周期

2.2 周期窗口

繼續(xù)增大Vpp，電路出現(xiàn)一系列穩(wěn)定的周期軌道，如圖5(g)～(j)所示. 實驗上可以找到周期數(shù)從3到10(相對驅(qū)動信號周期)的初級(不是某個倍周期分岔的產(chǎn)物)周期軌道. 相反，每條初級周期軌道都會隨著Vpp的增大而發(fā)生倍周期分岔，從而形成一段規(guī)則運動的窗口. 相鄰的初級周期窗口之間為混沌帶.

圖5 (g)和5(j)都是5周期軌道，但是這2條軌道的特征存在明顯區(qū)別：前者的v2在1個周期內(nèi)出現(xiàn)了3個正向大尖峰和1個負向尖峰，而后者有4個正向尖峰和3個反向尖峰，具體如圖6所示.

(a)Vpp=593 mV

表1為部分代表性軌道以及特征. 表1中n*2m表示初級n周期軌道經(jīng)過m次倍周期分岔后的軌道.

表1 部分代表性軌道及特征(f=750 Hz)

2.3 陣發(fā)

當(dāng)Vpp不斷增加，系統(tǒng)最終會歸于如圖5(l)所示的1周期軌道. 此時如果降低Vpp，系統(tǒng)會連續(xù)返回如圖5(k)所示的混沌狀態(tài). 這里從規(guī)則變化到混沌的過程是通過陣發(fā)實現(xiàn)的. 陣發(fā)的特點是大部分時間軌道看起來是規(guī)則的，但偶爾會插入一段不規(guī)則的運動，如圖7所示.

圖7 陣發(fā)軌道的電流波形(Vpp=827 mV)

隨著Vpp趨向臨界值，規(guī)則片段(圖7插圖)的長度趨于無窮，最終回到周期軌道. 事實上，每條初級周期軌道都是通過陣發(fā)的形式從混沌帶的邊緣產(chǎn)生，其中最后的陣發(fā)過程最為明顯.

2.4 激變

激變是有別于倍周期和陣發(fā)的另一種常見的通往混沌的道路[13]. 激變的含義：在參量接近閾值之前，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，而超過閾值后，原來的混沌軌道成為瞬態(tài)，最終會離開該區(qū)域，進入相空間的另一部分. 與陣發(fā)不同的是，激變屬于全局分岔，當(dāng)掃描參量接近突變點時，激變的軌道一直保持無規(guī)則狀態(tài)，不會出現(xiàn)長時間的規(guī)則片段.

在E1=12 V,f=650 Hz時可觀察到激變現(xiàn)象.逐漸增加Vpp，在Vpp=636 mV時系統(tǒng)還處于混沌狀態(tài)，如圖8和9(a)所示.當(dāng)Vpp=637 mV時，吸引子突變?yōu)橹芷谲壍?，如圖9(b)所示，表明Vpp在636～637 mV之間，電路發(fā)生了激變.此外，當(dāng)Vpp超過臨界值到達周期軌道之后，再逐漸減小Vpp，由上向下經(jīng)過突變點，周期軌道并不會立即變成混沌軌道，即激變是不可逆的. 繼續(xù)減小Vpp，周期軌道可以保持到Vpp= 610 mV，然后在Vpp= 609 mV時突變?yōu)榛煦畿壍?，時間波形圖和軌跡圖與圖8和圖9(a)相似.

圖8 激變前的混沌軌道(Vpp=636 mV)

(a)Vpp=636 mV

根據(jù)上述現(xiàn)象可以推出：如果Vpp在610～636 mV之間，電路存在2個穩(wěn)定狀態(tài)(吸引子)：周期軌道和混沌吸引子. 事實上，如果施加擾動(例如關(guān)閉信號源再迅速打開)，可以讓電路穩(wěn)態(tài)以一定概率在這2個吸引子之間跳轉(zhuǎn). 多吸引子同存是非線性系統(tǒng)中的常見現(xiàn)象.

最后需要說明的是，如果Vpp保持合適取值，連續(xù)降低激勵信號的頻率，也可以出現(xiàn)類似的分岔和突變現(xiàn)象.

3 理論分析

3.1 數(shù)學(xué)建模

圖10 實驗與擬合的磁通量與電流關(guān)系

(4)

下面基于簡化的共模電感模型分析電路.為方便起見，首先進行無量綱化[14]，取I0=Φ0=C=1，因此電壓和角頻率為

其中1/ω0為時間的單位，電阻為

(5)

(6)

其中，Δ≡I1,ν≡R2.式(6)即為描述電路的簡化微分方程.

3.2 模擬結(jié)果及分析

為了與圖5和表1的結(jié)果對比，在數(shù)值模擬中取Δ=0.55，ω=2.88.考慮到磁滯損耗以及功率放大器的輸出阻抗，ν略微高估為0.1，A為可調(diào)整參量.注意與A等效的Vpp表示為

Vpp=2AU0.

(7)

(a)A=0.600,1周期 (b) A=0.620,2周期 (c) A=0.755,4周期 (d) A=0.794,8周期

表2 簡化模型代表性軌道及特征

模型與實驗最明顯的區(qū)別是：隨著Vpp增大，模型中的1周期軌道經(jīng)過了1次突變(失穩(wěn)) 直接跳到2周期軌道，中間并沒有發(fā)生倍周期分岔. 然后從2周期軌道開始，發(fā)生了通過倍周期分岔到混沌的轉(zhuǎn)變. 實驗上，雖然開始的2周期軌道[圖5(b)]和4周期軌道[圖5(c)]的形態(tài)相差很大，但在連續(xù)改變Vpp的過程中，軌道的形態(tài)變化是平滑且可逆的. 另外，對比表1和表2，可以發(fā)現(xiàn)模型和實驗中相同動力學(xué)現(xiàn)象對應(yīng)的參量值也存在差距. 但是模型可以復(fù)現(xiàn)大部分實驗中發(fā)現(xiàn)的動力學(xué)現(xiàn)象. 這表明僅考慮共模電感的飽和行為就可以解釋電路的主要非線性動力學(xué)行為.

4 結(jié)束語

本文對包含非線性電感的混沌電路進行了簡化，并根據(jù)實測數(shù)據(jù)對電路進行了簡化建模. 實驗發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)激勵幅度或頻率，該電路可以產(chǎn)生倍周期分岔、混沌帶中周期窗口、陣發(fā)、激變與多吸引子共存等典型的非線性動力學(xué)現(xiàn)象. 而數(shù)值仿真也發(fā)現(xiàn)忽略磁滯效應(yīng)的簡化模型可以復(fù)現(xiàn)大部分實驗現(xiàn)象. 該電路結(jié)構(gòu)簡單，制作成本低，易于在教學(xué)中使用，且動力學(xué)現(xiàn)象豐富，教學(xué)內(nèi)容選擇自由度大，可以作為大學(xué)物理實驗中的RLC串聯(lián)諧振電路的自然推廣.