何佳琦，賈曉璇，鐘杰華，許元男，羅陽軍

（1. 大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連，116024；2. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

實際航空航天等重要工程中，廣泛存在大量的不確定性信息，如載荷不恒定、材料屬性波動以及結(jié)構(gòu)尺寸誤差等。為了避免由不確定性因素導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)性能偏差，工程上在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段常采用安全系數(shù)法來得到一種較為保守的結(jié)構(gòu)設(shè)計形式。然而，傳統(tǒng)的安全系數(shù)法可能設(shè)置過大的安全系數(shù)導(dǎo)致設(shè)計過于保守，也可能因未全面考慮多種不確定性因素的耦合而使得優(yōu)化結(jié)構(gòu)面臨失效的風(fēng)險。

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計是以結(jié)構(gòu)可靠性作為結(jié)構(gòu)的安全裕度度量開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。該類優(yōu)化設(shè)計的統(tǒng)一思路是：首先基于先驗知識與樣本數(shù)據(jù)將不確定信息量化為數(shù)學(xué)模型；進而根據(jù)不確定性變量與結(jié)構(gòu)安全性能指標之間的函數(shù)關(guān)系建立不確定性傳播模型；最后以結(jié)構(gòu)安全性指標可靠性作為目標函數(shù)或約束函數(shù)，采用梯度方法或智能優(yōu)化算法開展結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化或拓撲優(yōu)化工作。大量學(xué)者采用概率模型對不確定信息進行量化，進而以結(jié)構(gòu)失效概率或可靠度作為結(jié)構(gòu)可靠性度量開展結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計[1,2]。然而，基于概率模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的合理性極大依賴于概率模型的準確性。通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計得出的結(jié)構(gòu)形式往往逼近力學(xué)性能極限，而用來量化制造誤差、載荷等不確定性的概率模型往往會由于樣本數(shù)量的局限難以保證其準確性。針對少樣本的不確定信息量化問題，目前已有一些學(xué)者提出了根據(jù)樣本信息構(gòu)建凸集模型的有效方法[3～5]。進而，一些學(xué)者以非概率可靠性指標作為結(jié)構(gòu)可靠性度量開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計工作[6,7]。

對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，在考慮不確定性因素后，很難通過經(jīng)驗判斷最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲形式，因此，合理的方式是直接采用考慮不確定性因素的拓撲優(yōu)化方法開展結(jié)構(gòu)設(shè)計工作。對于包含較大數(shù)目有限元單元數(shù)量的可靠性拓撲優(yōu)化問題，已有的可靠性拓撲優(yōu)化算法往往局限于傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化方法[8～10]而導(dǎo)致計算效率較低。羅陽軍等提出了一種基于材料場級數(shù)展開（Material-Field Series-Expansion，MFSE）表征結(jié)構(gòu)拓撲演變的新思路[11]，使結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題的設(shè)計變量完全擺脫有限元網(wǎng)格依賴性，并實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化設(shè)計變量的顯著降低。該拓撲優(yōu)化方法已經(jīng)成功應(yīng)用于力學(xué)問題[12]與光學(xué)等。

本文提供了一種基于少樣本的結(jié)構(gòu)可靠性拓撲優(yōu)化設(shè)計方法，尋求在滿足結(jié)構(gòu)可靠性要求下，質(zhì)量最輕的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化形式。首先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，基于非概率凸集模型對不確定性變量進行量化，進而采用功能度量法將可靠性指標約束轉(zhuǎn)化為功能度量以提高優(yōu)化過程的穩(wěn)健性。其次，采用一種序列單循環(huán)的方法將原嵌套優(yōu)化問題解耦，使用MFSE方法大幅度減少設(shè)計變量數(shù)目提高優(yōu)化計算效率。分別提供了二維平面應(yīng)力單元算例、三維實體單元算例來驗證本文提供的方法的合理性與適用性。

1 基于樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建非概率凸集模型方法與非概率可靠性指標定義

對于凸集模型，大體可以分為區(qū)間模型和橢球模型兩類。n維區(qū)間模型從幾何形貌上來講是一個n維超立方盒，其內(nèi)在地假定了所有的不確定性參數(shù)互不相關(guān)且各自獨立。而在實際工程中，對于如載荷一類不確定性變量之間一定存在某種相關(guān)性，極少存在所有不確定性變量同時達到界限的情況。橢球模型可以在一定程度上反映不確定性變量之間的相關(guān)性，因此對于樣本數(shù)量不充足且相互間存在相關(guān)性的不確定性變量，適合用多橢球模型來進行描述。構(gòu)建多橢球模型，首先需要根據(jù)相關(guān)與否將不確定性變量分成若干組，進而對每一組變量構(gòu)建單橢球模型。多橢球模型本質(zhì)上是多個單橢球模型的集合，其數(shù)學(xué)表達式為

1.1 基于樣本數(shù)據(jù)的多橢球凸集模型構(gòu)建方法

對于不確定性變量X，其單橢球模型Ω的數(shù)學(xué)表達式為

將矩陣W做特征值分解：

式中Σ為矩陣W的特征值組成的對角陣，對角線元素代表各個維度的半軸長；Q為對應(yīng)的特征向量矩陣，其正交向量由Gramm-schmidt Orthogonalization公式產(chǎn)生[8]，是主軸方向的函數(shù)，主軸方向向量包含Ni-1個方向角分量。

對于不確定性變量X，通過采樣可獲得樣本集｛xi,i= 1,2,…,M｝，用多維橢球模型量化不確定性變量本質(zhì)上就是找到體積最小的能包絡(luò)所有不確定性變量可能取值范圍的超橢球模型。當橢球模型方向角θ給定時，可將每一個樣本點xk在多橢球主軸方向與其它與主軸垂直方向上投影，可得到樣本點在第l軸上投影的區(qū)間長度dl，即：

式中為xi在橢球模型第l個軸上的投影。在得到樣本點在橢球模型各軸方向上的投影范圍區(qū)間長度dk后，包絡(luò)上述多維區(qū)間模型的最小多維橢球半徑可表示為

多維橢球的體積正比于eV：

上式是參數(shù)θk（k= 1,…,N-1）的函數(shù)，可采用基于Kriging代理模型的EI序列加點算法得到使Ve最小的一組參數(shù)θk（k= 1,…,N-1）。

1.2 非概率可靠性指標定義

概率可靠性和非概率可靠性作為結(jié)構(gòu)可靠性分析的兩個分支，都是用來衡量結(jié)構(gòu)對各種不確定性因素的抵抗能力。概率模型強調(diào)可接受行為的概率，而非概率可靠性強調(diào)的是可接受行為的范圍。因此，非概率可靠性度量可以理解為結(jié)構(gòu)性能指標可接受的波動范圍。

首先將不確定性變量X無量綱化，即進而將多橢球模型投影為單位圓，即超曲面（失效面）g（q）=0將整個設(shè)計空間劃分為安全域與失效域，可將坐標原點到失效面g（q）=0的最短距離定義為非概率可靠性指標β：

式（7）中如果 1β=，則表示失效面與不確定性變量范圍相切，結(jié)構(gòu)處于臨界失效狀態(tài)；如果 1β＜，則表示不確定性變量范圍部分或全部處于失效域，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)；如果 1β＞，則表示不確定性變量范圍全部處于安全域，結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標β越大，表示不確定性范圍距離失效域越遠，結(jié)構(gòu)越安全。

2 非概率可靠性拓撲優(yōu)化定義與求解方法

2.1 基于樣本數(shù)據(jù)的多橢球凸集模型構(gòu)建方法

非概率可靠度拓撲優(yōu)化問題可歸納為下述優(yōu)化列式：

式中ρ為單元偽密度向量；q為標準化后的不確定參數(shù)；g j（ρ,q）為結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)。

該優(yōu)化模型中，可靠性指標約束條件的處理較為困難。為增加優(yōu)化迭代過程的穩(wěn)定性和提高收斂效率，通?？刹捎霉δ芏攘糠椒≒MA將可靠性指標約束轉(zhuǎn)換為其更為穩(wěn)健的等效形式。功能度量方法并不直接比較原優(yōu)化問題中的可靠性指標與其目標下限值，而是在不確定性允許的分布范圍內(nèi)找出使最可能失效功能函數(shù)值最小的點，也可稱MPP點，要求該最小功能函數(shù)值非負，即

上述可靠度拓撲優(yōu)化問題為一個嵌套的優(yōu)化模型。兩層循環(huán)方法的計算量非常巨大，并不適合于大型復(fù)雜問題的求解。為解決直接求解嵌套優(yōu)化問題計算花費較大的困難，采用序列單循環(huán)方法，通過構(gòu)造一系列近似的確定性子優(yōu)化問題，將內(nèi)外層優(yōu)化連續(xù)求解，該序列確定性子優(yōu)化問題與求解MPP點的優(yōu)化列式分別為式（10）與式（11）：

對于優(yōu)化列式（11），可將第j個目標函數(shù)在q（k）處做一階泰勒展開，即：

2.2 基于MFSE的拓撲優(yōu)化方法

針對式（10）的優(yōu)化問題，可采用傳統(tǒng)SIMP方法求解，即用每一個有限元單元的有無表征結(jié)構(gòu)拓撲形式。考慮到實際航空航天結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格數(shù)量巨大，由此會造成優(yōu)化問題設(shè)計變量ρ數(shù)目巨大。本文采用采用MSFE方法求解確定性拓撲優(yōu)化問題，即用一個材料場（空間有界場）表征結(jié)構(gòu)拓撲形式，見圖1。

圖1 材料場表征結(jié)構(gòu)拓撲形式示意 Fig.1 Schematic illustration of MFSE Method

材料場級數(shù)展開表達式為

式中Npt為觀察點數(shù)量；η為設(shè)計變量；λ與ψ分別為相關(guān)矩陣C的特征向量與特征值，相關(guān)矩陣C由式（15）、式（16）定義：

式中l(wèi)c為材料場相關(guān)長度。

圖2為不同相關(guān)長度下的材料場，其中圖2b材料場相關(guān)長度大于圖2a材料場中的相關(guān)長度。從幾何上來看，大于中相關(guān)長度越大，材料場越平滑。在拓撲優(yōu)化過程中，相關(guān)長度可起到控制拓撲結(jié)構(gòu)細節(jié)程度的作用，即，相關(guān)長度越小，拓撲結(jié)構(gòu)細節(jié)程度越高、細節(jié)構(gòu)件尺度越小。

圖2 不同相關(guān)長度下的材料場 Fig.2 Material Fields with Different Correlation Lengths

式（14）中的材料場級數(shù)展開本質(zhì)上是用個場函數(shù)的線性疊加來構(gòu)成材料場。考慮到較小的特征值與其對應(yīng)的特征向量對材料場影響較小，因此可給定一小值ε，經(jīng)過判斷若則將材料場函數(shù)截斷為M項，即：

考慮到φ（x）的值域是（ -∞,+∞），可基于Sigmoid函數(shù)將φ（x）投影到區(qū)間［0,1］，即：

式中 參數(shù)β可用來調(diào)整隨φ（x）增大或減?。▁）趨近于0或1的速率。β取值越大（x）趨近于0的速率快，同時Sigmoid函數(shù)非線性程度越高。β取值可在迭代過程中逐步增加使最終的（x）取值趨近于0或1。當空間位置x處，（x）=0認為該處為空相，反之，（x）=1認為該處結(jié)構(gòu)為實相。

室內(nèi)的體驗效果比模型和圖紙的真實感和沉浸感更為強烈，不過其弊端是不能像在真實樣板房中感受各種材質(zhì)的質(zhì)感?？梢酝ㄟ^提升渲染的質(zhì)量來彌補虛擬環(huán)境中造成的色差。

3 非概率可靠性拓撲優(yōu)化求解流程

可靠性拓撲優(yōu)化算法實施流程如圖3所示。a）根據(jù)第1.1節(jié)闡述的方法將樣本數(shù)據(jù)量化為多橢球凸集模型；b）根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計域形式劃分獨立于有限元網(wǎng)格的觀察點，并根據(jù)1.2節(jié)闡述的方法構(gòu)建材料場函數(shù)；c）根據(jù)式（13）更新不確定性變量；d）基于移動漸進線法更新設(shè)計變量；e）重復(fù)步驟c與步驟d，直至滿 足 收 斂 條 件 ：與，迭代結(jié)束，輸出滿足可靠性指標的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲形式。

4 算 例

4.1 三維算例

算例設(shè)計域為長方體結(jié)構(gòu)，如圖4所示，長度l= 48 mm，寬度w=24 mm，高度h=24 mm。該結(jié)構(gòu)在左端面固定，承受3個面內(nèi)不確定性載荷F1、F2與F3，載荷間存在相關(guān)性。結(jié)構(gòu)材料彈性模量存在不確定性，其變化區(qū)間為E∈[1.2×1011，2.1×1011] Pa。

圖4 三維算例結(jié)構(gòu)與載荷形式 Fig.4 Design Domain for 3-dimensional Structure with Multiple Loads

根據(jù)不確定性樣本信息（如圖5中所示樣本點），可將載荷不確定性與材料彈性模量不確定性構(gòu)建為多橢球模型，即一個由用來表征載荷變量的三維橢球與表征材料彈性模量變量的區(qū)間所組成的集合，三維橢球模型如圖5所示?；贛FSE算法可將設(shè)計變量從110 592下降到1420。給定可靠性指標設(shè)計值為2，功能函數(shù)為結(jié)構(gòu)最大位移不超過1 mm?；诒疚奶岢龅姆歉怕士煽啃酝負鋬?yōu)化算法得到結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型見圖6，最優(yōu)結(jié)構(gòu)體積分數(shù)為18.6%，迭代過程如圖7所示。

圖5 樣本點與三維橢球模型 Fig.5 3-dimensional Ellipsoid Model with Samples

圖6 三維算例最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計 Fig.6 The Optimized Topology Design of 3-dimensional Structure

圖7 三維算例迭代過程 Fig.7 Iteration History for 3-dimensional Structure with Multiple Loads

4.2 圓柱殼正交加筋算例

圓柱殼直徑d=500 mm，高度h=300 mm、厚度t=1.5 mm。針對殼內(nèi)壁開展正交加筋形式拓撲優(yōu)化設(shè)計，蒙皮與加強筋材料彈性模量皆為E=2.1×1011Pa。蒙皮厚度為0.5 mm，加強筋高度為1.5 mm。圓柱殼結(jié)構(gòu)下端面固定，上端面承受2個不確定性剖面集中載荷，分別為相互垂直的剪力Px和Py。載荷作用點距離上端面l=300 mm。該算例結(jié)構(gòu)與載荷如圖8所示，樣本點與量化其不確定性的橢圓模型如圖9所示?？煽啃灾笜嗽O(shè)計值為2，功能函數(shù)為結(jié)構(gòu)最大位移不超過 2 mm。

圖8 圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)與剖面載荷示意 Fig.8 Schematic Illustration of Stiffened Cylindrical Shell Structure with Profile Loads

為實現(xiàn)工程中常見的正交加筋形式，可采用兩個單向材料場疊加的方式。對于單向材料場的表征，只需將式（16）中正交方向的相關(guān)長度設(shè)置為無窮大即可。對于兩個材料場與相互覆蓋區(qū)域的其插值函數(shù)可取為

基于本文提出的非概率可靠性拓撲優(yōu)化算法得到圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)最優(yōu)正交加筋拓撲構(gòu)型如圖10所示，其體積分數(shù)為37.4%。

圖10 最優(yōu)正交加筋拓撲構(gòu)型 Fig.10 The Optimized Topology Design of the Orthogonal Stiffened Cylindrical Shell Structure

采用傳統(tǒng)設(shè)計方法往往忽略載荷間的關(guān)聯(lián)性，采用極值載荷（或在載荷平均值基礎(chǔ)上乘以可包絡(luò)極值的安全系數(shù)）開展設(shè)計，即不確定性載荷分別取為：Px=14 kN，Py=9 kN；而采用非概率可靠性設(shè)計，在給定非概率可靠性指標范圍內(nèi)，最危險工況對應(yīng)載荷為：Px=13.93 kN，Py=8.27 kN。相比較于傳統(tǒng)設(shè)計方法，非概率可靠性設(shè)計方法對應(yīng)的工況可以與可靠性指標一一對應(yīng)起來，而傳統(tǒng)設(shè)計方法選取的載荷工況往往缺乏理論依據(jù)且容易造成過于保守的情況。此外，基于材料場表征拓撲構(gòu)型，在大幅度縮減設(shè)計變量的同時，易于實現(xiàn)工程上常用的正交加筋構(gòu)型或其它規(guī)則加筋形態(tài)的拓撲優(yōu)化設(shè)計。

5 結(jié)束語

本文針對實際航空航天結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，廣泛存在的不確定性樣本少且結(jié)構(gòu)有限元模型規(guī)模巨大的情況，提出了一種高效的可靠性拓撲優(yōu)化設(shè)計方法。首先將不確定性樣本量化為多橢球模型，并根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計域構(gòu)建材料場函數(shù)，進而結(jié)合功能度量法與序列單循環(huán)策略求解優(yōu)化問題，最后將最優(yōu)材料場映射回原設(shè)計空間得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲形式。算例驗證了基于MFSE法減少設(shè)計變量規(guī)模的效率以及本文提出的可靠性拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的適用性與合理性。