梁麗浩

(泰山科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，山東 泰安271000)

一般的工程結(jié)構(gòu)往往同時(shí)承受固定荷載和移動(dòng)荷載的共同作用，例如橋梁承受汽車、行人等移動(dòng)荷載的作用，在車間內(nèi)的吊車梁承受吊車移動(dòng)荷載的作用。在移動(dòng)荷載作用下，隨著荷載位置的移動(dòng)結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力將發(fā)生變化[1]，因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,必須求出移動(dòng)荷載作用下反力和內(nèi)力的最大量值。解決這個(gè)問題的重要工具就是影響線，影響線是計(jì)算結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載下內(nèi)力、反力等量值的工具和手段[1]。在結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中，求解影響線的方法主要采用靜力法和機(jī)動(dòng)法[2]。

靜力法[3]是根據(jù)靜力平衡條件建立影響量方程，它是通過函數(shù)關(guān)系作出函數(shù)圖求解影響線的方法，靜力法求解簡(jiǎn)單的靜定單跨梁或多跨梁所列的平衡方程比較簡(jiǎn)潔，計(jì)算也較簡(jiǎn)單，能夠迅速建立方程，利用數(shù)學(xué)關(guān)系繪制函數(shù)圖，即為所求影響線，但對(duì)于復(fù)雜靜定多跨梁，根據(jù)靜力平衡方程建立影響量方程求解函數(shù)關(guān)系式的過程中計(jì)算比較繁瑣、步驟相對(duì)復(fù)雜，很難快速作出函數(shù)圖求得影響線。

機(jī)動(dòng)法[4]又稱為虛功法，其作影響線的依據(jù)是理論力學(xué)中的虛位移原理[5]，即剛體體系在力系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所作的虛功總和為零。因此，機(jī)動(dòng)法求解影響線時(shí)需要根據(jù)虛位移原理，得到機(jī)構(gòu)的幾何位移圖，但根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系——三角函數(shù)往往無法求出精確的豎向位移值。應(yīng)用等邊三角形計(jì)算截面彎矩量值是近似求解，計(jì)算影響線的過程也是一種數(shù)學(xué)關(guān)系的應(yīng)用[6]。該過程先根據(jù)機(jī)動(dòng)法去掉相應(yīng)約束代之反力，即桿件斷開由鉸結(jié)點(diǎn)連接，鉸結(jié)點(diǎn)處添加一對(duì)力偶，去掉約束的結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)在反力偶的作用下發(fā)生微小位移，其中反力偶作用處鉸結(jié)點(diǎn)連接的兩個(gè)桿件發(fā)生單位角位移（忽略桿件變形）后利用等邊三角形借助幾何關(guān)系計(jì)算出反力偶作用處鉸結(jié)點(diǎn)的豎向位移值，再利用幾何關(guān)系計(jì)算出每個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)和自由端的豎向位移，從而求出對(duì)應(yīng)的截面彎矩影響線[7]。

1 典型算例

1.1 單跨梁

求圖1（a）所示靜定單跨梁C 截面彎矩影響線[1-4]，其中梁長(zhǎng)l，C 截面距支座A、支座B 距離分別為a、b，移動(dòng)荷載F=1 作用在梁上。

（1） 結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)，即去掉C 截面處約束，桿件斷開變成鉸結(jié)點(diǎn)連接，增加一對(duì)內(nèi)力偶MC。

（2） 機(jī)構(gòu)在內(nèi)力偶MC的作用下桿件CA 和CB在C 鉸結(jié)點(diǎn)處發(fā)生相對(duì)角位移，形成幾何位移圖，如圖1（b）所示，圖1（b）中桿件CA 沿A 端轉(zhuǎn)動(dòng)∠α，桿件CB 沿B 端轉(zhuǎn)動(dòng)∠β，根據(jù)三角形的外角=內(nèi)角之和的數(shù)學(xué)關(guān)系，得∠AC1A1=∠α+∠β，再根據(jù)虛功原理應(yīng)用——單位位移法，得到桿件CA 和CB 在鉸結(jié)點(diǎn)C處產(chǎn)生的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)∠ACA1=∠α+∠β=1，然后把△AC1A1等效為等邊三角形，即AA1=CA1=AC=a（AC忽略線彈性變化），由△BCC1∽△BAA1得CC1=ab/l。

（3） 繪制標(biāo)有豎向位移值的幾何位移圖，即為單跨梁C 截面彎矩影響線（豎向位移在軸線以上為正，反之為負(fù)），如圖1（c）所示。

圖1 單跨梁跨中

1.2 多跨梁

（1） 求圖2（a）中靜定多跨梁跨中K 截面截面彎矩影響線[1-2]，其中各桿件長(zhǎng)度如圖所示，多跨梁受單位移動(dòng)荷載P=1。

① 結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)，即桿件AB 在K 截面處斷開，去掉一個(gè)約束，桿件由鉸結(jié)點(diǎn)連接，鉸結(jié)點(diǎn)處添加一對(duì)內(nèi)力偶Mk。

② 桿件KH 和桿件KE 在內(nèi)力偶Mk的作用下首先在K 鉸結(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生相對(duì)角位移，根據(jù)虛功原理可知桿件KH 和KE 的相對(duì)角位移為單位位移，再利用桿件間的連動(dòng)作用和桿件在滾軸支座支撐情況，最后得到各桿件在內(nèi)力偶Mk的作用下運(yùn)動(dòng)后形成幾何位移圖，如圖2（b），圖中K 鉸結(jié)點(diǎn)處的△K1BB1等效為等邊三角形，BB1=K1B=KB=1（忽略桿件彈性變形），根據(jù)相似三角形關(guān)系，△AKK1∽△ABB1求得KK1=3/4，依次利用三角形相似比的關(guān)系△AHH1∽△AKK1∽△BEE1∽△EE1C∽△CFF1∽△FF1D∽△DGG1，求得HH1=1/4，EE1=9/4，F(xiàn)F1=9/2，GG1=9/4。

③ 繪制標(biāo)有豎向位移值的幾何位移圖，即為靜定多跨梁K 截面的彎矩影響線（豎向位移在軸線以上為正，反之為負(fù)），如圖2（c）所示。

圖2 多跨梁跨中K 截面

（2） 求圖3（a）中多跨梁C 支座處截面彎矩影響線[12]，其中各桿件長(zhǎng)度如圖所示，多跨梁受單位移動(dòng)荷載P=1。

① 結(jié)構(gòu)變機(jī)構(gòu)成為幾何可變體系，即支座C 去掉一個(gè)約束代之內(nèi)力，由復(fù)合支座變成鏈桿支座，增加一對(duì)內(nèi)力偶MC。

② 機(jī)構(gòu)在內(nèi)力偶MC的作用下桿件CF 發(fā)生微小位移，再根據(jù)虛位移原理得到桿件CF 在C 處發(fā)生單位角位移，各桿件根據(jù)聯(lián)動(dòng)作用形成幾何位移圖，如圖3（b），圖中初始轉(zhuǎn)動(dòng)位置C 支座處的△CFF1等效為等邊三角形，F(xiàn)F1=F1C=CF=2（忽略桿件彈性變形）；根據(jù)相似三角形，即△FF1D∽△DGG1，得GG1=1。

③ 繪制標(biāo)有豎向位移值的幾何位移圖，即為多跨梁C 截面的彎矩影響線（豎向位移在軸線以上為正，反之為負(fù)），如圖3（c）所示。

圖3 多跨梁支座處C 截面

2 結(jié)論

本文應(yīng)用“等邊三角形”新思路計(jì)算靜定單跨梁和多跨連續(xù)梁某截面彎矩影響線的過程主要分為三個(gè)步驟，首先去掉相應(yīng)位置的約束代之內(nèi)力偶，結(jié)構(gòu)缺少約束變成機(jī)構(gòu)（幾何可變體系）；其次機(jī)構(gòu)在內(nèi)力偶的作用下發(fā)生微小位移形成幾何位移圖，在幾何位移圖中，初始位移處三角形等效為等邊三角形，忽略桿件彈性變形確定三角形各邊長(zhǎng)，應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)系-相似三角形比例關(guān)系求出各三角形最高處的豎向位移值，最后標(biāo)有豎向位移值的幾何位移圖，即得到截面彎矩影響線，其中影響量值正負(fù)號(hào)規(guī)定是軸線以上豎向位移為正，反之為負(fù)）[8-12]。三個(gè)典型算例表明，本方法適用于解決靜定單跨梁和多跨連續(xù)梁某截面彎矩影響線的求解問題，與三角函數(shù)思想相比具有計(jì)算量小，高效快捷的優(yōu)勢(shì)。