江蘇省常州市新北區(qū)百草園小學(xué) 曹 琴

抽象的數(shù)學(xué)來(lái)自具體的生活生產(chǎn)實(shí)踐，是可以在觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、推理等過(guò)程中讓學(xué)生親身體驗(yàn)與感受到的。數(shù)學(xué)教學(xué)要兼顧學(xué)生的年齡特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)，在趣和理之間找到平衡，化靜為動(dòng)，化抽象為形象，變被動(dòng)為主動(dòng)，在“動(dòng)手做”中豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的直觀體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)探究中的思維發(fā)展。以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)組織和引領(lǐng)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，借助物化工具，通過(guò)“具身”操作，融通直觀感知和抽象思維，可以促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成思維方式，拓展認(rèn)識(shí)的理解深度。

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是一節(jié)基于分?jǐn)?shù)意義理解的規(guī)律探索課。抽象地講解分?jǐn)?shù)“等值”不利于學(xué)生從“意義”中總結(jié)規(guī)律，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。借助直觀分析，可以幫助學(xué)生在對(duì)大量感性材料的自主探索中，建立表象，形成猜想，經(jīng)歷多種實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想，得出結(jié)論，并嘗試運(yùn)用推理，論證結(jié)論的正確性和可行性。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，既溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系，整體建構(gòu)知識(shí)體系，又立足探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程，讓學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)律的探究全過(guò)程，掌握規(guī)律探索的方法，嘗試通過(guò)數(shù)學(xué)的邏輯推理解釋現(xiàn)象，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程更生動(dòng)、有趣。

一、初次實(shí)驗(yàn)，形成猜想

1．引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)需求

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)中有兩個(gè)數(shù)大小相等嗎？

生：沒(méi)有。

師：小數(shù)呢？

生：有，比如0.1=0.10。

師：那么分?jǐn)?shù)中有沒(méi)有兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小相等呢？今天這節(jié)課我們先用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)進(jìn)行研究。

2．豐富學(xué)習(xí)過(guò)程，經(jīng)歷自主探索

師：我們一起來(lái)看實(shí)驗(yàn)問(wèn)題和實(shí)驗(yàn)要求。

實(shí)驗(yàn)問(wèn)題1：你們能找到大小相等的分?jǐn)?shù)嗎？

實(shí)驗(yàn)要求：

（1）想一想，找一找：觀察分?jǐn)?shù)墻，能找到大小相等的分?jǐn)?shù)嗎？

（2）涂一涂，說(shuō)一說(shuō)：涂色表示你找的分?jǐn)?shù)，并與同伴交流想法。

師：開始吧！

（學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)）

師：同學(xué)們都完成了吧，我們一起來(lái)交流實(shí)驗(yàn)情況。拿著實(shí)驗(yàn)單上來(lái)，邊展示邊交流。

數(shù)都是1的一半，它們的大小是相等的。我把這些分?jǐn)?shù)用等號(hào)連起來(lái)。（板書見圖1）

3．觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)論，形成實(shí)驗(yàn)猜想

師：這些用等號(hào)連起來(lái)的分?jǐn)?shù)的分子和分母是怎樣變化的？

生1：分子和分母都乘了2。

師：嗯，非常好，你是從左邊往右邊看的，那從右邊往左邊看呢？（師邊說(shuō)邊畫箭頭）

生3：我發(fā)現(xiàn)了也可以將分子、分母同時(shí)除以2或者除以3。

師：這些相等的分?jǐn)?shù)中隱藏著什么規(guī)律呢？你能用一句話概括剛才的發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：這個(gè)只是我們的一個(gè)猜想（板書），先打個(gè)問(wèn)號(hào)，有了猜想后怎么辦呢？

生：驗(yàn)證。

[思考]首先，從數(shù)系整體進(jìn)入，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)需求。其次，以學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)墻為實(shí)驗(yàn)工具，帶著明確的實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，建立實(shí)驗(yàn)猜想，開展實(shí)驗(yàn)探索。本環(huán)節(jié)主要分兩步：第一步，通過(guò)實(shí)驗(yàn)提升認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，形象、具體、可操作地積累研究素材，找到相等的分?jǐn)?shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)中確實(shí)存在兩個(gè)數(shù)相等的情況；第二步，觀察相等分?jǐn)?shù)之間分母、分子的變化情況，形成猜想。從動(dòng)手實(shí)驗(yàn)建立表象到觀察抽象形成猜想，整個(gè)過(guò)程讓學(xué)生先想再做，做后反思，借助直觀感知，指導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、思考，發(fā)展抽象思維，學(xué)生在做中思、以做促思。

二、再次實(shí)驗(yàn)，探索規(guī)律

師：好，我們用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)驗(yàn)證我們的猜想。

實(shí)驗(yàn)問(wèn)題2：任意一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小都不變嗎？

實(shí)驗(yàn)要求：

（1）寫一寫：根據(jù)猜想的規(guī)律寫一些分?jǐn)?shù)。

（2）做一做：用你喜歡的辦法驗(yàn)證這些分?jǐn)?shù)是否相等。

（可以折一折、涂一涂、畫一畫、算一算）

（3）說(shuō)一說(shuō)：跟同伴交流你的想法與結(jié)論。

師：實(shí)驗(yàn)之前友情提醒兩點(diǎn)：第一，舉例的分?jǐn)?shù)盡量不要跟剛剛的重復(fù)；第二，用折一折、涂一涂方法的同學(xué)，可以從抽屜里拿出老師為大家提供的同樣大小的正方形紙片和圓形紙片，用畫一畫、算一算方法的同學(xué)可以在練習(xí)紙上“我的驗(yàn)證”空白處進(jìn)行。

（學(xué)生獨(dú)立實(shí)驗(yàn)）師：同學(xué)們，我們一起來(lái)交流實(shí)驗(yàn)過(guò)程和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。第一層次：操作實(shí)驗(yàn)，形成表象

生：我先寫了一個(gè)分?jǐn)?shù)，再根據(jù)猜想的規(guī)律將分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘2，得到一個(gè)分?jǐn)?shù)。然后我用折一折、涂一涂的方法來(lái)驗(yàn)證（展示紙片），我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小相等，就證明我們猜想的規(guī)律（分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變）是成立的。

師（追問(wèn)）：那同時(shí)除以一個(gè)數(shù)行不行？

生：也可以的，反過(guò)來(lái)看就行。

第二層次：畫圖實(shí)驗(yàn)，理解內(nèi)涵

師（追問(wèn)）：一個(gè)表示了這樣的1份，另一個(gè)表示了這樣的2份，分?jǐn)?shù)的大小怎么會(huì)相等呢？

生：表示的份數(shù)不一樣，平均分的份數(shù)也不一樣，但結(jié)果是相等的。

師（小結(jié)）：分?jǐn)?shù)是由分子和分母兩部分組合而成的，要綜合看平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)。平均分的份數(shù)多，表示的份數(shù)也相應(yīng)地多了；平均分的份數(shù)少，表示的份數(shù)也相應(yīng)地少了，結(jié)果還是相等的。

第三層次：思維實(shí)驗(yàn)，感悟本質(zhì)

生：我用化小數(shù)算一算的辦法驗(yàn)證，結(jié)果也是相等的。（見圖3）

[思考]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要?jiǎng)邮?、?dòng)眼、動(dòng)嘴，更需要與大腦協(xié)同。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以借助實(shí)物工具進(jìn)行操作，更可以是思維實(shí)驗(yàn)。第一層次中，學(xué)生經(jīng)歷了完整的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的過(guò)程，根據(jù)猜想先寫出相等分?jǐn)?shù)，再用折一折、涂一涂等形象的方法進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)動(dòng)手操作，動(dòng)眼動(dòng)腦，從而得出正確的結(jié)論，再通過(guò)教師追問(wèn)，全面驗(yàn)證猜想。第二層次中，畫一畫是較為抽象的驗(yàn)證方法，這一層次的交流展現(xiàn)了不同學(xué)生的不同思維層次，打開了學(xué)生的思路，同時(shí)通過(guò)教師追問(wèn)，學(xué)生厘清了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，知其然更知其所以然。第三層次中，聚焦?jié)B透轉(zhuǎn)化的思想方法，一方面呈現(xiàn)學(xué)生不同的思考方式；另一方面學(xué)生通過(guò)交流學(xué)習(xí)，積淀學(xué)習(xí)的方法并進(jìn)一步領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想的作用。通過(guò)三個(gè)層次交流驗(yàn)證前面的猜想，從形象到抽象，學(xué)生不僅驗(yàn)證了猜想的正確性，厘清了規(guī)律的內(nèi)涵本質(zhì)，同時(shí)積累了學(xué)習(xí)的方式，即“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”，學(xué)習(xí)知識(shí)，發(fā)展思維，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

三、溝通聯(lián)系，建構(gòu)性質(zhì)

師：同學(xué)們用折、涂、畫、算等多種方法驗(yàn)證了“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變”這個(gè)結(jié)論。想一想，分?jǐn)?shù)還跟哪些知識(shí)有聯(lián)系？你們能用它來(lái)說(shuō)明嗎？

生：分?jǐn)?shù)與除法是有聯(lián)系的。

師：看來(lái)你對(duì)知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系理解得非常到位，那同學(xué)們能用除法的知識(shí)來(lái)推理出分?jǐn)?shù)中的規(guī)律嗎？請(qǐng)看——

實(shí)驗(yàn)問(wèn)題3：你能根據(jù)商不變的規(guī)律來(lái)說(shuō)明上面的結(jié)論嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成）

師：哪位同學(xué)來(lái)交流你的說(shuō)明過(guò)程？

生：我利用商不變的規(guī)律把5÷6中的被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大2倍變成10和12，商不變，然后利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，把除法算式寫成分?jǐn)?shù)，上面的除法算式用等號(hào)連接，下面的分?jǐn)?shù)也能用等號(hào)連接，證明分?jǐn)?shù)的分子、分母變化規(guī)律是成立的。（見圖4）

師（小結(jié)）：同學(xué)們把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證和推理，得出了正確的結(jié)論，很了不起。這也是數(shù)學(xué)上經(jīng)常用的方法，老師為你們點(diǎn)贊。

師：同學(xué)們，學(xué)到這里，你們有什么困惑或新的想法嗎？或有什么要補(bǔ)充的嗎？

生：分子、分母同時(shí)乘或者除以一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)必須是非0的數(shù)。（板書）

師：你可真會(huì)學(xué)習(xí)，一邊學(xué)一邊想，非常棒！同學(xué)們都學(xué)會(huì)了嗎？

[思考]實(shí)驗(yàn)的過(guò)程應(yīng)合情推理，基于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)，僅僅通過(guò)合情推理得出結(jié)論是不夠的，在直觀、有趣生動(dòng)的同時(shí)，還需要理性思維，恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评碛兄诟玫乩斫鈹?shù)學(xué)知識(shí)。這部分從合情推理到演繹推理，回歸數(shù)學(xué)的理性，利用舊知證明新知，并質(zhì)疑反思，學(xué)生經(jīng)歷了從感性到理性、從具體到抽象的過(guò)程，建立起系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

本節(jié)課教學(xué)中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生在親歷活動(dòng)中解決問(wèn)題、發(fā)展思維、自主完善并建構(gòu)知識(shí)體系。學(xué)生圍繞“能找到大小相等的分?jǐn)?shù)嗎”“分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變嗎”兩個(gè)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題展開探究。學(xué)生通過(guò)第一次動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，直觀感知不同分?jǐn)?shù)可以相等，進(jìn)而觀察、分析這些分?jǐn)?shù)的分子、分母變化情況，初步抽象出猜想。教學(xué)中，如何幫助學(xué)生從抽象認(rèn)知中走出、獲得直觀經(jīng)驗(yàn)的解釋是突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)的關(guān)鍵，教師應(yīng)用“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，讓學(xué)生借助“圓形、正方形紙片”等實(shí)驗(yàn)工具，通過(guò)“折一折”“涂一涂”“畫一畫”“算一算”來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，鼓勵(lì)不同的學(xué)生采用不同的實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證相等的分?jǐn)?shù)，基于事實(shí)形成表象，這正是構(gòu)成思維可逆性的基礎(chǔ)。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生多種感官參與，豐富了體驗(yàn)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程變得生動(dòng)、有趣，既提高了學(xué)習(xí)效率，又提升了思維。兩次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生從具象到抽象，再?gòu)某橄蟮骄呦?，在不斷地融通中發(fā)展能力、提升素養(yǎng)。正如蒙特梭利說(shuō)的“我聽過(guò)了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過(guò)了，我就理解了”。

在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，改變了常規(guī)數(shù)學(xué)課堂的形態(tài)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中充分動(dòng)手動(dòng)腦，習(xí)得知識(shí)、領(lǐng)悟方法、明晰道理，融通了直觀感知和抽象思維，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既嚴(yán)謹(jǐn)又生動(dòng)，能更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。