江蘇省南京市燕子磯中學(210038) 盧榮亮 陳慧

1.橢圓中的恰好相切

以下引理1-5 是為了證明性質1 服務的,其中切割線定理的逆定理比較常見,但由于沒有查到相關文獻,因此筆者給了一個常規(guī)證明.

引理1[1](圓錐曲線的光學性質)由焦點發(fā)出的光線經橢圓曲面反射后的光線必經過另一焦點,且經過反射點的鏡面所在的直線為橢圓的切線;由焦點發(fā)出的光線經雙曲線曲面反射后的光線所在直線必經過另一焦點,且經過反射點的鏡面所在的直線為雙曲線的切線.

引理2[2]如圖1,已知橢圓=1(a >b >0),F1,F2分別是橢圓的左右焦點,P是橢圓上任意一點(長軸兩端點除外),∠F1PF2的平分線交x軸于點Q,過Q作QM⊥PF1交直線PF1于點M,則PM的長度為定值

引理3[3]如圖1,已知橢圓=1(a>b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點,P是橢圓上不同于長軸頂點的任意一點,∠F1PF2的平分線交x軸于點Q,交y軸于點R,過R作RN⊥PF1交直線PF1于點N,則|PN|=a.

圖1

圖2

引理4[4]如圖1,已知橢圓=1(a>b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點,P是橢圓上不同于長軸頂點的任意一點,∠F1PF2的平分線交x軸于點Q,交y軸于點R,則=e(e為橢圓的離心率).

引理5(切割線定理的逆定理)已知?ABT的AB邊延長線上有一點P,滿足|PT|2=|PA||PB|,則PT與?ABT的外接圓相切于T點.

注該引理還可以用“同一法”進行證明,在此不再贅述.

性質1已知橢圓=1(a >b >0),F1(?c,0),F2(c,0) 分別是橢圓的左右焦點,直線m與橢圓相切于點P(長軸兩端點除外),過點P的直線n垂直于切線m;直線n交x軸于點Q,交y軸于點R,則

(1)直線F1R與?PF1Q的外接圓相切于點F1;

(2)直線F2R與?PF2Q的外接圓相切于點F2.

圖3

圖4

2.雙曲線中的恰好相切

以下引理6-8 是為了證明性質2 服務的.

引理6[2]如圖4,已知雙曲線=1(a >0,b >0),F1(?c,0),F2(c,0)分別是雙曲線的左右焦點,P是雙曲線上任意一點(兩頂點除外),∠F1PF2的外角平分線交x軸于點Q,過Q作QM⊥PF1,交F1P的延長線于點M,則PM的長度為定值

引理7[3]如圖4,已知雙曲線=1(a>0,b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點,P是雙曲線上不同于實軸頂點的任意一點,∠F1PF2的外角平分線交x軸于點Q,交y軸于點R,過R作RN⊥PF1交直線PF1于點N,則|PN|=a.

引理8[4]如圖4,已知雙曲線=1(a>0,b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點,P是雙曲線上不同于實軸頂點的任意一點,∠F1PF2的外角平分線交x軸于點Q,交y軸于點R,則=e(e為橢圓的離心率).

性質2已知雙曲線=1(a>0,b>0),F1,F2分別是雙曲線的左右焦點,直線m與雙曲線相切于點P(兩頂點除外),過點P的直線n垂直于切線m;直線n交x軸于點Q,交y軸于點R,則

(1)直線F1R與?PF1Q的外接圓相切于點F1;

(2)直線F2R與?PF2Q的外接圓相切于點F2.

圖5

3.恰好是離心率

問還有其它“恰到好處”嗎?

經筆者進一步研究,又有新的發(fā)現.為介紹這一新發(fā)現,我們先由文[4]中性質1 和性質2 的證明方法,得到如下兩個引理.

引理9已知橢圓=1(a>b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點,P是橢圓上不同于長軸頂點的任意一點,∠F1PF2的平分線交y軸于點R,則F1,F2,P,R四點共圓.

證明[4]設?PF1F2的外接圓交y軸于點R′,連接F1R′,F2R′;因 為∠R′PF1=∠R′F2F1,∠R′PF2=∠R′F1F2,又F1R′=F2R′,所以∠R′F1F2=∠R′F2F1,從而∠R′PF1=∠R′PF2,即PR′是∠F1PF2的角平分線,因此R′和R重合,所以F1,F2,P,R四點共圓.

引理10已知雙曲線=1(a >0,b >0) 中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點,P是雙曲線上不同于實軸頂點的任意一點,∠F1PF2的外角平分線交x軸于點Q,交y軸于點R,則F1,F2,P,R四點共圓.

證明[4]設?PF1F2的外接圓交y軸于點R′,連接F1R′,F2R′;因為F1R′=F2R′,所以∠R′F1F2=∠R′F2F1;因為∠QPF1=∠R′F2F1,∠R′PF2=∠R′F1F2,所以∠QPF1=∠R′PF2,從而PR′是∠F1PF2的外角平分線,因此R′和R重合,即F1,F2,P,R四點共圓.

圖6

圖7

這些新性質是筆者在閑暇之余意外發(fā)現的,看似“意外”,實際上意外中蘊含著必然.在筆者長期堅持大量閱讀文獻的過程中,只要時刻保持對“研究”的樂趣,緊隨專家、學者的步伐,勤于思考,精于演算,總能在紛繁復雜的數學問題中發(fā)現一點規(guī)律,挖掘一點“恰到好處”.人生若只如初見,實際上她早已經在那里,寧靜地等待著有緣人地發(fā)現,“恰到好處”的不期而遇,是巧合,更是必然.