華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院(510631) 葉秀錦

貴州省畢節(jié)市七星關(guān)區(qū)第五實(shí)驗(yàn)學(xué)校(551700) 藏軍

三元齊次對(duì)稱不等式結(jié)構(gòu)優(yōu)美,結(jié)論耐人尋味,因此一直是中等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)很有吸引力的研究領(lǐng)域.文[1]在用Schur 分拆方法給出了三元四次對(duì)稱多項(xiàng)式恒不小于零的一個(gè)充分條件,但這個(gè)充分條件不夠?qū)捤?使得很大一部分問題無(wú)法利用這個(gè)命題來(lái)解決.本文給出這個(gè)充分條件的加強(qiáng)的三種等價(jià)命題,并用兩個(gè)例子展示這三個(gè)命題的應(yīng)用.

一、問題背景

文[1]給出了關(guān)于三元四次對(duì)稱多項(xiàng)式的如下性質(zhì):

證明定理1 的證明見文獻(xiàn)[1].

二、加強(qiáng)命題

引理1g4,1,g4,2,g4,3,g4,4的定義如定理A,那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,有:g4,1+(1?2t)g4,2+(t?2)2g4,3+3(t?1)2g4,4≥0.

證明

證明(1)b≥0 的情況直接由定理A 可知,只需考慮b<0 的情況;

(2)當(dāng)b<0 時(shí),設(shè)t ∈A1∩A2∩A3,那么(2t?1)a+b≥0,(2t ?1)c+(t ?2)2b≥0,(2t ?1)d+3(t ?1)2b≥0.由引理1有g(shù)4,1+(1?2t)g4,2+(t ?2)2g4,3+3(t ?1)2g4,4≥0.記

易知,此時(shí)f(x,y,z)≥0 對(duì)于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

三、等價(jià)命題

三元四次對(duì)稱多項(xiàng)式f(x,y,z)的表示不止有定理2 的那一種形式,還有另外兩種表示形式,于是有了定理2 和定理3,它們是等價(jià)的.

定理2記

如果λ1≥0,2λ1+2λ2+λ3≥0,λ1+2λ2+λ3+λ4≥0,且A1∩A2∩A3?,則f(x,y,z) ≥0 對(duì)于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

證明f(x,y,z)=ag4,1+bg4,2+cg4,3+dg4,4,g4,1,g4,2,g4,3,g4,4的定義如定理 A.不難計(jì)算得:f1(x,y,z)=g4,1+g4,2+2g4,3+g4,4,f2(x,y,z)=g4,2+2g4,3+2g4,4,f3(x,y,z)=g4,3+g4,4,f4(x,y,z)=g4,4.

故a=λ1≥0,b=λ1+λ2,c=2λ1+2λ2+λ3≥0,d=λ1+2λ2+λ3+λ4≥0.

由定理1 知,f(x,y,z) ≥0 對(duì)于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

定理3三元四次對(duì)稱多項(xiàng)式f(x,y,z)可以唯一地表示為f(x,y,z)=u1p4+u2p2q+u3q2+u4pr,其中p=x+y+z,q=xy+yz+xz,r=xyz.記

如果u1≥0,16u1+4u2+u3≥0,27u1+9u2+3u3+u4≥0,且A1∩A2∩A3?,則f(x,y,z) ≥0 對(duì)于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

證明f(x,y,z)=ag4,1+bg4,2+cg4,3+dg4,4,g4,1,g4,2,g4,3,g4,4的定義如定理A.不難計(jì)算得:p4=g4,1+5g4,2+16g4,3+27g4,4,p2q=g4,2+4g4,3+9g4,4,q2=g4,3+3g4,4,pr=g4,4.

由定理1 知,f(x,y,z) ≥0 對(duì)于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

四、命題的應(yīng)用

使用定理1 3 可以很容易解決很多三元四次對(duì)稱不等式的證明.下面用兩個(gè)例題來(lái)展示這三個(gè)定理的應(yīng)用.

例題1試證明對(duì)所有非負(fù)實(shí)數(shù)x,y,z,均有:

例題2試證明對(duì)所有非負(fù)實(shí)數(shù)x,y,z,均有:

證明令p=x+y+z,q=xy+yz+xz,r=xyz.不妨設(shè)

A1∩A2∩A3={2}?.由定理3,對(duì)于任意x,y,z ∈[0,+∞),f(x,y,z)≥0.故