吳飛 許栩

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院）

一、引言

中共中央、教育部等相關(guān)部門(mén)從2016起為提高高校思想政治工作先后發(fā)布和召開(kāi)了一系列的相關(guān)文件和會(huì)議，提出和回答了高校教育“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰(shuí)培養(yǎng)人、靠誰(shuí)培養(yǎng)人”等一系列根本性問(wèn)題。為高校的思想政治工作和課程思政建設(shè)提供了航向和指明燈。

在課程思政這個(gè)大背景下，高校的數(shù)學(xué)課程作為重要的基礎(chǔ)課程，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和創(chuàng)新能力，還是大學(xué)生后繼課程學(xué)習(xí)和走向社會(huì)融入生活不可缺少的知識(shí)基礎(chǔ)，可見(jiàn)數(shù)學(xué)課程的重要地位和作用。

在課程思政的大格局下，如何把高校數(shù)學(xué)課程的課程思政建設(shè)好，研究如何在一門(mén)具體數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐中把立德樹(shù)人和思政元素融入到教學(xué)活動(dòng)中，就成為一項(xiàng)重要的研究工作。

二、課程思政的基本內(nèi)涵和要求

高校課程思政的基本內(nèi)涵可以從以下幾方面入手：第一，在具體的實(shí)施方式上，一方面應(yīng)加強(qiáng)任課教師的“課程思政”的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，另一方面，“課程思政”可以從原來(lái)單純的思政課程延伸拓展到全部課程，進(jìn)而貫穿于課程的學(xué)科體系、教材體系、教學(xué)體系的各個(gè)環(huán)節(jié)上。第二，在實(shí)施內(nèi)容上，“課程思政”背景下的課程內(nèi)容，要看是否符合馬克思主義哲學(xué)理論、先進(jìn)文化思想等體現(xiàn)社會(huì)主義核心價(jià)值觀和方法論。第三，在實(shí)施環(huán)節(jié)上，需要定期對(duì)各門(mén)課程的課程思政實(shí)施的效果通過(guò)教師和學(xué)生進(jìn)行反饋，及時(shí)進(jìn)行評(píng)估和調(diào)整各項(xiàng)工作。

高校數(shù)學(xué)課程設(shè)置里，比如“高等數(shù)學(xué)”“線(xiàn)性代數(shù)”“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是高等院校的三大公共基礎(chǔ)課，還有“泛函分析”“最優(yōu)化方法”“統(tǒng)計(jì)計(jì)算”“數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程，它們都是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才和后繼課程的重要基礎(chǔ)和基石，在把各類(lèi)課程與思政建設(shè)相結(jié)合這個(gè)大背景下，如何把數(shù)學(xué)課程的課程思政建設(shè)好，研究如何在教學(xué)實(shí)踐中把立德樹(shù)人和思政元素融入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)實(shí)踐中，就顯得尤為重要。

三、高校數(shù)學(xué)課課程思政的方法和途徑

結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容和特點(diǎn)，深度挖掘思政元素，探討和研究如何把立德樹(shù)人和思政元素融入到課堂教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)可以從以下幾個(gè)方面和途徑進(jìn)行研究探索：

（一）結(jié)合高校數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)，挖掘其哲學(xué)元素

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)哲學(xué)，縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)史的發(fā)展都是如此。在古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)和哲學(xué)就是當(dāng)時(shí)學(xué)院里所喜愛(ài)的學(xué)科。從那時(shí)起就特別重視抽象概念，很多數(shù)學(xué)家就是哲學(xué)家，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史可以看出，哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展至關(guān)重要，為數(shù)學(xué)的發(fā)展起著指明燈的作用。

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，微積分里的幾個(gè)重要研究問(wèn)題：定積分、曲線(xiàn)積分與曲面積分，就都用到了“分割，近似，求和，取極限”的四步法。這個(gè)方法是Newton和Leibniz在總結(jié)和發(fā)展前人工作的基礎(chǔ)上，分別獨(dú)立地提出的求解這類(lèi)問(wèn)題的創(chuàng)新性方法，這一方法體現(xiàn)了把所研究的問(wèn)題進(jìn)行分割為若干個(gè)小問(wèn)題，再求和取極限，體現(xiàn)了由量變到質(zhì)變、有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一。

線(xiàn)性代數(shù)也是一門(mén)重要的數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，其線(xiàn)性方程組的求解方法也上升到了一個(gè)新的高度，從原來(lái)的高斯消去的代數(shù)解法到可用矩陣和向量組的相關(guān)理論進(jìn)行求解，尤其是當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解時(shí)這種復(fù)雜的情況時(shí)，這無(wú)窮多解可以借助于向量組的極大無(wú)關(guān)組的相關(guān)理論，用構(gòu)成基礎(chǔ)解系的有限個(gè)解來(lái)把無(wú)窮多解線(xiàn)性表示出來(lái)，就實(shí)現(xiàn)了用有限來(lái)表示無(wú)限這一重要數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了能用更多的方法、更高的觀點(diǎn)來(lái)研究和求解線(xiàn)性方程組。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課是研究和探索隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，這門(mén)課程中的一個(gè)重要概念：概率的公理化定義，就是對(duì)古典概率、幾何概率和頻率定義的一種高度的抽象概括和總結(jié)，使概率統(tǒng)計(jì)這門(mén)學(xué)科具有劃時(shí)代意義。另一個(gè)重要的概念：隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義和引入也是非常重要的，正是這個(gè)概念的引入，就可以把高等數(shù)學(xué)的理論和方法引入到概率統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程中來(lái)，求導(dǎo)和積分也可以用于解決相關(guān)的概率問(wèn)題，大大地拓展了研究和求解概率的一些困難和問(wèn)題。符合哲學(xué)上普遍與特殊以及事物是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。可見(jiàn)數(shù)學(xué)離不開(kāi)哲學(xué)，同時(shí)哲學(xué)指導(dǎo)和引領(lǐng)著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

泛函分析作為一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分科，它把古典分析的觀點(diǎn)加以推廣，用線(xiàn)性去逼近非線(xiàn)性對(duì)象，并且把研究的對(duì)象拓展到無(wú)限維空間上，實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限、從古典數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化。

（二）通過(guò)無(wú)數(shù)中外學(xué)者的工作，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、勇于探索和鉆研的精神

一門(mén)理論的創(chuàng)立、一個(gè)算法的獲得，都是無(wú)數(shù)前輩前赴后繼，做了無(wú)數(shù)辛苦的工作才得到，通過(guò)講解他們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、勇于探索的精神可以感染和激勵(lì)學(xué)生不怕困難和挫折，勇于進(jìn)取和鉆研的精神。

比如在概率論的發(fā)展過(guò)程中，為了研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，一些著名學(xué)者進(jìn)行了投擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)，表1[3]就是他們實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表，從表中數(shù)據(jù)可以看出這些學(xué)者嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的工作態(tài)度，為拋擲硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)做了成千上萬(wàn)次的試驗(yàn)，讓人不得不肅然起敬和從心里由衷的敬佩。

表1 投擲硬幣隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表

再如最優(yōu)化方法這門(mén)課的經(jīng)典算法之一：擬牛頓法，擬牛頓法最早是由物理學(xué)家Davidon提出來(lái)，F(xiàn)letcher和Powell于1963年給出了DFP算法，1965年Broyden給出了秩1擬牛頓法。Davidon設(shè)計(jì)的這種算法被認(rèn)為是非線(xiàn)性規(guī)劃領(lǐng)域最具創(chuàng)新性的工作之一。隨著這個(gè)方法的研究，出現(xiàn)了大量的擬牛頓法的變形公式，提出了很多不同的算法及收斂性證明。為紀(jì)念Davidon這一杰出的工作，他的這一杰出工作又被重新發(fā)表和出版。

通過(guò)學(xué)習(xí)和了解這些學(xué)者的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、勇于探索和鉆研的精神，可以感染和激勵(lì)學(xué)生不怕困難和挫折的信心和勇氣。

（三）提高思想政治覺(jué)悟，樹(shù)立正確的人生觀、世界觀和價(jià)值觀

牛頓幾乎是家喻戶(hù)曉的大科學(xué)家，他是一個(gè)很謙遜的人，對(duì)他的研究工作曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我是站在巨人的肩膀上”，把他的卓越貢獻(xiàn)歸功于前人的工作。

中國(guó)近代有這樣的一群有志青年，如：李四光、錢(qián)學(xué)森、華羅庚、鄧稼先、周培源、錢(qián)三強(qiáng)、蘇步青、朱光亞、王淦昌，等等，他們年少立志，為報(bào)效祖國(guó)前往國(guó)外求學(xué)，學(xué)成后心系祖國(guó)，放棄國(guó)外更好的發(fā)展環(huán)境和更優(yōu)越的待遇，克服重重困難毅然回國(guó)。這些老一輩科學(xué)家成為了杰出的典范。

通過(guò)這些例子，教師在教學(xué)中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的感恩之心和愛(ài)國(guó)意識(shí)，提醒學(xué)生對(duì)家人、對(duì)同學(xué)、對(duì)學(xué)校、對(duì)社會(huì)、對(duì)國(guó)家有感恩的意識(shí)和感恩的行為，比如每周給父母一個(gè)問(wèn)候電話(huà)，節(jié)約生活費(fèi)為父母生日買(mǎi)禮物，假期在家每天做家務(wù)，自己的事情自己完成，等等。我經(jīng)常聽(tīng)到周?chē)暮芏嗯笥驯г?，孩子假期回家本?lái)是高興的事情，可是孩子回家后卻很懶惰，不是睡覺(jué)、吃飯、游戲、就是跟同學(xué)聚會(huì)，很少分擔(dān)家務(wù)，衣服有時(shí)都要父母來(lái)洗，也不夠體貼關(guān)心父母，等等現(xiàn)象，當(dāng)前社會(huì)上的“啃老”現(xiàn)象也日趨嚴(yán)重。當(dāng)然，造成這種情況出現(xiàn)的原因很多，作為高校教師，卻可以在學(xué)校通過(guò)課堂教學(xué)、課下談心、通過(guò)學(xué)校的志愿活動(dòng)等很多方式和途徑對(duì)大學(xué)階段的學(xué)生加以引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的感恩之心、愛(ài)國(guó)意識(shí)和獨(dú)立意識(shí)，以感恩之心回饋養(yǎng)育自己的父母、辛勤付出的老師、以感恩之心回報(bào)學(xué)校、以愛(ài)國(guó)之心回報(bào)社會(huì)和國(guó)家。

（四）培養(yǎng)學(xué)生辯證思維和創(chuàng)新性思維，提高學(xué)生的學(xué)術(shù)科研能力

數(shù)學(xué)課程的好多重要和經(jīng)典算法，都有一定的使用條件和優(yōu)缺點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生辯證地看待算法的優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)待算法不足的地方考慮如何進(jìn)行改進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維和創(chuàng)新性思維。

比如牛頓法的發(fā)展歷程，牛頓法是基于泰勒公式得到一個(gè)重要的迭代算法，但牛頓法也有自身的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，優(yōu)點(diǎn)：牛頓法具有二階收斂數(shù)率；算法具有二次終止性等，缺點(diǎn)：算法在迭代過(guò)程中可能出現(xiàn)函數(shù)值增加的情況；初點(diǎn)選擇離問(wèn)題的極小點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，產(chǎn)生的迭代序列比較復(fù)雜：可能不收斂，可能收斂到鞍點(diǎn)，或者奇異無(wú)法計(jì)算?？紤]到這些缺點(diǎn)，很多學(xué)者對(duì)牛頓法提出了改進(jìn)和修正的方案，比如針對(duì)函數(shù)值增大的問(wèn)題提出了阻尼牛頓法，即在算法中增加一維搜索的策略。比如針對(duì)牛頓迭代公式中Hesse矩陣奇異的情形，提出了修正的牛頓法[5]。這些都是非常典型的創(chuàng)新性的思維方法，在教學(xué)中注意強(qiáng)調(diào)這些創(chuàng)新性的思維方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性的思維特別有幫助。

比如求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的經(jīng)典方法是單純形方法。該算法在二戰(zhàn)使美軍在戰(zhàn)略部署中直接受益?？紤]到單純形方法在使用時(shí)直接用公式進(jìn)行算法的迭代是很不方便的，考慮到消元法解線(xiàn)性方程組本質(zhì)上是在增廣矩陣上進(jìn)行初等變換來(lái)計(jì)算。由此可以啟發(fā)思路：是否可以將單純形法的全部計(jì)算過(guò)程在一個(gè)類(lèi)似增廣矩陣的數(shù)表上進(jìn)行？經(jīng)過(guò)理論研究和證明是完全可以實(shí)現(xiàn)的，而所實(shí)現(xiàn)的這種表格就稱(chēng)為單純形表。單純形表的得到就為單純形算法的實(shí)現(xiàn)提供了更好的處理平臺(tái)，是創(chuàng)新思維的一個(gè)很好體現(xiàn)。教師通過(guò)講解單純形表的獲得，不僅學(xué)會(huì)了這個(gè)方法，同時(shí)可以拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)和研究問(wèn)題的思路，為學(xué)生今后從事科研和鉆研學(xué)問(wèn)打下基礎(chǔ)。

（五）培養(yǎng)學(xué)生“抗打壓”的堅(jiān)忍不拔克服困難的勇氣

人生不會(huì)一帆風(fēng)順，但現(xiàn)在的年輕一代生活在和平年代，缺乏應(yīng)對(duì)困難的經(jīng)驗(yàn)和經(jīng)歷，缺乏應(yīng)對(duì)和克服困難的勇氣和智慧。很多學(xué)生在學(xué)校里一旦遇到生活或?qū)W習(xí)上的困難和問(wèn)題，就不知道如何應(yīng)對(duì)，所以在高校的數(shù)學(xué)課程中應(yīng)該加強(qiáng)這方面的教育。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課中有個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)：區(qū)間估計(jì)，區(qū)間估計(jì)作為一種重要的參數(shù)估計(jì)方法，是奈曼（Neyman，1894~1981）一項(xiàng)杰出工作。Neyman這位來(lái)自平民的數(shù)學(xué)家在顛沛流離的生活中不斷地追求科學(xué)真理， Neyman憑借自己的正直和執(zhí)著、幽默和多智在面對(duì)學(xué)術(shù)爭(zhēng)端和不公平待遇時(shí)冷靜理智對(duì)待，終于獲得了非凡的成就。

這里就介紹一下Neyman的區(qū)間估計(jì)理論這一杰出工作的波折發(fā)表過(guò)程[6]。區(qū)間估計(jì)是概率統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)的一個(gè)重要方法，對(duì)區(qū)間估計(jì)的理論和方法做出了卓越的貢獻(xiàn)，但他的這項(xiàng)多年辛苦工作做出的研究成果的發(fā)表卻歷經(jīng)波折，Neyman在1936年9月先是把文章投寄給《生物計(jì)量》雜志，但被該期刊主編Ergon Pearson因?yàn)椴缓虾跛膶W(xué)術(shù)觀點(diǎn)，而拒絕了這篇文章。這讓奈曼很難過(guò)和傷心，冷靜下來(lái)后積極為他的文章發(fā)表尋求其他出路。因當(dāng)時(shí)英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)界偏重于實(shí)用而不重視Neyman的創(chuàng)新性工作，好幾位英國(guó)權(quán)威的統(tǒng)計(jì)學(xué)家，對(duì)他的這篇論文都給了否定的評(píng)語(yǔ)，最后另一位英國(guó)統(tǒng)計(jì)界的權(quán)威人物Aitken教授，對(duì)Neyman的論文給予了肯定的評(píng)價(jià)，這篇?jiǎng)?chuàng)造性的工作才得以在通過(guò)和發(fā)表。可以說(shuō)Neyman這篇文章得以發(fā)表是歷經(jīng)波折，終于他的統(tǒng)計(jì)生涯這一富有創(chuàng)造性的工作得以面世。

通過(guò)上面的概述，一方面有助于了解當(dāng)時(shí)英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)界的一些情況，另一方面，也讓學(xué)生明白人生不會(huì)一帆風(fēng)順，遇到困難和問(wèn)題，需要堅(jiān)持不懈不放棄，放平心態(tài)，風(fēng)雨過(guò)后是彩虹。

（六）與時(shí)俱進(jìn)，讓學(xué)生緊跟時(shí)代發(fā)展的潮流和脈搏

時(shí)代的發(fā)展尤其計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步、網(wǎng)絡(luò)和大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)賦予了高校的各門(mén)數(shù)學(xué)課程以新的生機(jī)，學(xué)習(xí)的知識(shí)僅限于課堂和書(shū)本已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，讓學(xué)生體會(huì)到要與時(shí)俱進(jìn)，緊跟時(shí)代發(fā)展的潮流，不能故步自封、止步不前。

這里的與時(shí)俱進(jìn)，不僅是針對(duì)學(xué)生，對(duì)教師也提出了這個(gè)要求，隨著時(shí)代的發(fā)展，書(shū)本上的知識(shí)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠跟上時(shí)代的發(fā)展，需要教師不斷地把最新發(fā)展的科學(xué)和社會(huì)發(fā)展的最新成果融入到課堂的教學(xué)中來(lái)，這個(gè)工作可以從以下幾個(gè)方面完善：一是定期完善和修訂教材和教學(xué)大綱；二是教師定期培訓(xùn)、學(xué)習(xí)相關(guān)領(lǐng)域的最新研究成果，進(jìn)行學(xué)術(shù)交流；三是定期進(jìn)行課程的教學(xué)研究和教學(xué)研討，不斷完善教師教學(xué)方式和教學(xué)方法；四是把現(xiàn)在的抖音和快手等視頻制作方式融入到教學(xué)中來(lái)，比如一些教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、典型例題和習(xí)題制作成抖音等小視頻，可以幫助提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題；五是鼓勵(lì)學(xué)生把數(shù)學(xué)課堂上的理論聯(lián)系實(shí)際，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力，可以用學(xué)習(xí)的算法、算例、實(shí)際應(yīng)用例子通過(guò)Matlab、C++、Python等編程語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)；六是充分利用網(wǎng)絡(luò)這個(gè)強(qiáng)大的資源，尤其是在疫情下，充分利用優(yōu)秀和成熟的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)和平臺(tái)上的課程教學(xué)資源。七是通過(guò)學(xué)校跟社會(huì)上的企事業(yè)單位、科研院所所建立的實(shí)習(xí)或科研基地，讓學(xué)生去實(shí)習(xí)和實(shí)踐，進(jìn)而體會(huì)到學(xué)以致用，如何把書(shū)本上的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中，拓展學(xué)生的視野和眼界。

四、結(jié)束語(yǔ)

高校數(shù)學(xué)課程不僅是理工科院校的重要基礎(chǔ)課程，更是加強(qiáng)學(xué)生思想政治教育的重要途徑，結(jié)合各門(mén)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容和特點(diǎn)，深入挖掘課程的思政元素，并在教學(xué)中不斷進(jìn)行研究和探索并加以完善，真正實(shí)現(xiàn)以德服人，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人、培養(yǎng)社會(huì)主義接班人和建設(shè)者的戰(zhàn)略目標(biāo)。