時培明, 張慧超, 伊思穎, 韓東穎

(1.燕山大學(xué) 河北省測試計量技術(shù)及儀器重點實驗室,河北 秦皇島 066004;2.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

大型低速重載機械關(guān)鍵部件極易損壞,使得機械故障的發(fā)生具有不可預(yù)測性,危害極大。調(diào)查數(shù)據(jù)[1]顯示,軸承故障占所有變速箱損壞的64%,軸向裂紋占所有軸承故障類型的71%,由此可見研究先進(jìn)的軸承故障診斷算法的重要性,以及保證設(shè)備正常運行的實際意義。但該類設(shè)備的故障信號具有能量低、周期長、斷層信息極微弱、易受背景噪聲干擾等特性,使得故障特征的提取難度大大增加。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[2,3]關(guān)于故障診斷技術(shù)的綜述可知,旋轉(zhuǎn)機械振動信號具有明顯的非線性非平穩(wěn)特性。經(jīng)典的信號處理方法包括短時傅里葉變換、小波變換S變換、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)[4]、集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)[5]、二元經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Bidimensional empirical mode decomposition, BEMD)[6],多元經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(multivariate empirical mode decomposition, MEMD)[7]等。

但以上方法具有一定的局限性,許多學(xué)者在上述方法的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)方案,如：汪朝海等人將EMD與主成分分析相結(jié)合,用于滾動軸承的故障診斷研究[8]；李繼猛等人將集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解與K-奇異值分解相結(jié)合用于故障診斷,取得了一定的效果,并在機械的故障診斷中得到了實際應(yīng)用[9]。然而,由于理論框架的局限,所提出的改進(jìn)只能在一定程度上對已有缺點進(jìn)行壓制,不能從根本上消除。

2014年Dragomiretskiy K等提出變分模態(tài)分解算法(variational mode decomposition, VMD)[10]。它是一種處理非線性非平穩(wěn)振動信號的方法,其核心算法是將希爾伯特變換和維納濾波相結(jié)合,通過迭代求解變分問題。該算法有深厚的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ),從根本上克服了端部效應(yīng)、模式混疊等問題,在機械故障診斷等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用；多元變分模態(tài)分解(multivariate variational mode decomposition, MVMD)是VMD算法在多變量或多通道數(shù)據(jù)集上的一般推廣[11]。該算法信號分解過程基于所有通道數(shù)據(jù)間存在共同頻率分量,通過構(gòu)造變分優(yōu)化問題來提取多變量輸入信號中固有的多變量調(diào)制振蕩帶限模式集合,其分解過程中的影響參數(shù)與VMD相同,都與本征模態(tài)數(shù)k、二次懲罰因子α、更新參數(shù)ζ和收斂容差參數(shù)ε有關(guān)。此外,這些參數(shù)必須預(yù)置,需要高度經(jīng)驗,不適合作為實際工程應(yīng)用中的自適應(yīng)模型。因此,自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解是一個新的研究方向。蘇曉等提出基于VMD和變尺度隨機共振降噪算法,用于微弱信號的故障特征提取[12]；呂蒙等提出一種改進(jìn)的VMD算法,并應(yīng)用在滾動軸承診斷上[13]；李永帥等人將VMD與K-SVD相結(jié)合應(yīng)用于管道泄漏振動信號的處理上[14]。目前,對MVMD參數(shù)設(shè)置研究較少,Gavas R等將MVMD用于腦電信號的眨眼去除處理,但在算法本身沒有進(jìn)行優(yōu)化,只是在電腦方面的一個應(yīng)用[15]。

為了更好地提取滾動軸承的故障特征,本文提出一種自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解算法,用來提取滾動軸承的故障特征,通過與其他方法的對比實驗,驗證本文所提方法的實用性和高效性。

2 算法理論基礎(chǔ)

MVMD算法廣泛應(yīng)用于腦電、旋轉(zhuǎn)機械等多個領(lǐng)域,但就目前來看,主要存在2個問題：(1)在信號分解中,主要參數(shù)的選擇是根據(jù)以往經(jīng)驗設(shè)定,這使分解的結(jié)果具有一定的局限性；(2)由于工業(yè)生產(chǎn)環(huán)境的不確定性,使得原始采集數(shù)據(jù)包含許多噪聲干擾,利用算法分解所得的模態(tài)分量中含有小幅值的同頻段嘈雜噪聲的干擾,妨礙特征信息的識別。針對以上所述問題,本文提出一種新的信號分解方法,即自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解算法。

2.1 多元變分模態(tài)分解(MVMD)

自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解是在MVMD的基礎(chǔ)上提出的,目的在于解決MVMD人為參數(shù)設(shè)置對分解結(jié)果準(zhǔn)確度的影響,其分解效果主要受2個參數(shù)的影響：本征模態(tài)數(shù)k和懲罰參數(shù)α,該算法的核心思想是構(gòu)建求解模態(tài)的變分問題。首先定義1個所有輸入數(shù)據(jù)通道之間存在共同分量的多變量調(diào)制振蕩模型,為了提取多變量輸入信號中固有多變量調(diào)制振蕩的有限帶寬模態(tài)集合,將其構(gòu)造成1個變分優(yōu)化問題,通過交替方向乘子法來實現(xiàn)變分模態(tài)的最小化,從而得到在多變量調(diào)制振蕩的所有通道中共同存在相同中心頻率的多變量模態(tài)的最佳集合。

將多通道原始信號同時分解為k個模態(tài)分量,并保證分解序列為具有相同中心頻率的有限帶寬信號,同時各模態(tài)的估計帶寬之和最小,相應(yīng)的約束變分優(yōu)化問題表達(dá)式為：

(1)

式中：C表示通道的個數(shù)；k表示信號分解的模態(tài)個數(shù)；uk,c為第c通道的第k個模態(tài)；ωk表示k個模態(tài)的中心頻率。

然后,構(gòu)建1個增廣拉格朗日函數(shù),將式(1)引入拉格朗日乘法算子,使式(1)由約束問題轉(zhuǎn)變成非約束問題,在拉格朗日函數(shù)中增加了兩個懲罰項：1個是用于加強重建保真度的二次項,另1個是具有拉格朗日乘子λ的項,以確保嚴(yán)格滿足約束條件。相應(yīng)的表達(dá)式為：

L({uk,c, {ωk},λc)=

(2)

以上非約束問題可以通過交替方向乘子法來解決,隨后的模態(tài)更新、中心頻率更新和拉格朗日乘法算子的更新如下：

(3)

(4)

(5)

關(guān)于多元變分模態(tài)的分解算法的詳細(xì)內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[9]。

2.2 混合灰狼優(yōu)化算法

混合灰狼優(yōu)化算法(hybridizing grey wolf optimization, HGWO)是一種改進(jìn)的灰狼算法[16]。它利用差分進(jìn)化算法的特點來生成初始種群,提高了全局搜索能力和灰狼算法的計算精度,原始灰狼算法的本質(zhì)是模擬灰狼尋找獵物的行為來搜索最優(yōu)解。

由于狼群中存在社會等級,在算法的迭代過程中,根據(jù)適應(yīng)度從大到小劃分為4個等級,即(α、β、γ、ω),目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解將依次由α、β、γ來定位,ω將計算自己與獵物之間的距離,最終,狼群通過式(6)、式(7)和式(8)不斷更新和進(jìn)化,逐漸縮短自己與獵物的距離,從而實現(xiàn)捕獵。

Dα=|C1·Xα-X|
Dβ=|C2·Xβ-X|
Dδ=|C3·Xδ-X|

(6)

X1=Xα-A1·(Dα)
X2=Xβ-A2·(Dβ)
X3=Xδ-A3·(Dδ)

(7)

(8)

2.3 最小模態(tài)重疊分量

為了克服MVMD在信號分解時參數(shù)設(shè)置方面的缺點,本文提出一種新指標(biāo)來對分解效果進(jìn)行定量的評估,即最小模態(tài)重疊分量(minimum mode overlap component,MMOC),用它作為優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)來尋求最優(yōu)解。

首先,需要介紹的是模態(tài)重疊分量(mode overlap component, MOC),其詳細(xì)的公示表達(dá)如下：

(9)

(10)

式中：OAi表示相鄰模態(tài)IMFi和IMFi+1頻域部分重疊的部分,其中,ui(ω)表示IMFi的各個頻域點,ui+1(ω)表示IMFi+1的各個頻域點；max()和min()分別表示對應(yīng)模態(tài)頻域的最大值和最小值,其物理意義解釋見圖1,紅色箭頭指向的橢圓中為相鄰模態(tài)分量IMF1和IMF2的重疊區(qū)域。

圖1 頻域重疊圖Fig.1 Spectrum overlap chart

詳細(xì)模態(tài)重疊分量偽代碼實現(xiàn)過程如下,將模態(tài)重疊分量設(shè)為適應(yīng)度函數(shù),當(dāng)該指標(biāo)取到最小值時,各個模態(tài)分量間獨立性最強,相關(guān)性最小,則對應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)為最優(yōu)解,MVMD將按照最優(yōu)參數(shù)值對原始信號進(jìn)行分解,獲取多個模態(tài)分量,從而為實現(xiàn)自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解提供理論基礎(chǔ)和依據(jù)。

模態(tài)重疊分量計算過程：

初始化：OA=0

j=0

更新：Fori=1:K

If minui+1

OAi=IMFOi

OA=OA+OAi

j=j+1

else:

OAi=0

OA+=OAi

end

重疊分量：MOC=OA·j-1

3 自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解

自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解(adaptive multivariate variational mode decomposition, AMVMD)是將HGWO算法應(yīng)用到多元變分模態(tài)的參數(shù)尋優(yōu)上,不僅可以解決人為經(jīng)驗參數(shù)設(shè)置的不準(zhǔn)確性,更大意義上使算法可以根據(jù)信號本身的特征對參數(shù)進(jìn)行設(shè)置,獲得最佳分解效果。具體的算法流程見圖2。

圖2 AMVMD算法流程圖Fig.2 AMVMD algorithm flow chart

首先需要初始化HGWO的各個參數(shù),包括狼群個數(shù)、最大迭代次數(shù)、自變量維數(shù)、縮放因子上界和下界、交叉概率以及優(yōu)化參數(shù)的上界和下界；然后,計算適應(yīng)度函數(shù),即模態(tài)重疊分量,更新狼群位置,再次計算適應(yīng)度函數(shù)并進(jìn)行比較得到最小值保存；進(jìn)入下1次迭代過程；最后,滿足以下2個條件之一則算法結(jié)束：①未達(dá)到最大迭代次數(shù),找到全局最優(yōu)解；②到達(dá)最大迭代次數(shù),保存最小值結(jié)束。

4 仿真數(shù)據(jù)

對于具有局部故障的機械振動信號,除了故障分量和噪聲外,還可能存在由軸承旋轉(zhuǎn)或齒輪嚙合引起的隨機沖擊和周期性諧波。這里對滾動軸承的故障信號進(jìn)行公式擬合,詳細(xì)見式(11)：

(11)

式中：A,B,R,P為不同項振動幅值；T為2個相鄰脈沖之間的時間間隔；軸承打滑造成的時間延遲為τ；fh表示諧波干擾頻率。

脈沖響應(yīng)函數(shù)見式(12), 其中β和fn分別表示阻尼系數(shù)和諧振頻率。

通常,外圈故障幅值不變A為常數(shù),內(nèi)圈故障幅值B表達(dá)式見式(13),其中b為振幅,fr為頻率。

式(11)～式(13)中的φ均表示相位。

x(t)=e-βtsin(2π fnt+φ)

(12)

B=1+b·cos(2π frt+φ)

(13)

在該仿真實驗中,噪聲采用的是SNR=5 dB的高斯噪聲,上述公式中的相位均為0,頻率fr為 30 Hz,外圈和內(nèi)圈的故障頻率fo和fi分別為80 Hz和110 Hz, 外圈故障、內(nèi)圈故障和隨機沖擊的諧振頻率分別設(shè)置為3 000、4 000、4 500 Hz,阻尼系數(shù)分別為1 000、1 200、1 500,幅值A(chǔ)和B分別為0.86、1.3,τi和τj分別為0.01T0、0.01Ti；R和Tr由MATLAB中0～1的隨機數(shù)產(chǎn)生,第四部分周期性諧波的表達(dá)式為0.01×sin(20π t)cos(60π t),仿真信號中外圈故障、內(nèi)圈故障、隨機沖擊和周期諧波見圖3(a)～圖3(d),將外圈信號、隨機沖擊、周期性諧波和噪聲合成的信號見圖3(e)設(shè)置為通道1的輸入信號,將除外圈以外的信號見圖3(f)設(shè)置為通道2的信號,其中噪聲的信噪比為5 dB。用文中所提算法進(jìn)行特征提取,同時設(shè)置對比實驗來驗證所提算法的優(yōu)越性。

圖3 仿真信號Fig.3 simulation signal

首先,采用所提算法對上述仿真信號進(jìn)行分解,優(yōu)化算法的初始化參數(shù)設(shè)置見表1,尋優(yōu)過程中的空間圖和迭代過程見圖4。

圖4 參數(shù)優(yōu)化過程圖Fig.4 Parameter optimization process diagram

通過圖4(a)可以看出模態(tài)數(shù)在2～6之間,適應(yīng)度值在逐漸減小,此時信號處于欠分解狀態(tài)；當(dāng)模態(tài)數(shù)大于6時,原始信號分解過度相鄰模態(tài)間的重疊面積增大,使得適應(yīng)度值不斷增大。由圖4(b)算法的迭代收斂過程可知,當(dāng)進(jìn)行第24次迭代時,適應(yīng)度值取到最小為0.678 3,此時的優(yōu)化參數(shù)最佳,模態(tài)數(shù)k為6,懲罰參數(shù)為2 487, MVMD將按照最佳參數(shù)對仿真信號進(jìn)行分解,所得的模態(tài)分量的時頻域見圖5。

表1 優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置Tab.1 Optimized algorithm parameter Settings

圖5 仿真信號對比結(jié)果Fig.5 Simulation signal comparison results

由于MEMD分解算法應(yīng)用于3通道及以上信號,因此該部分的對比實驗采用的是BEMD算法,BEMD算法繼承EMD算法本身的特點,可以對信號進(jìn)行自適應(yīng)分解,分解結(jié)果分為模態(tài)分量和信號殘差兩部分,模態(tài)分量的時頻域圖見圖5所示,由于空間有限在對比圖中已將殘差信號省略。

圖5為2種算法信號分解時頻域的對比結(jié)果圖,圖5(a)為所提算法仿真信號的時域圖,周期性信號被清晰識別,結(jié)合圖5(c)對應(yīng)的頻域分析可以看出在IMF1中外圈故障特征和內(nèi)圈故障特征被成功提取出來,并且各個模態(tài)分量間頻域重疊分量最??；相比于BEMD的分解結(jié)果圖5(b),IMF1和IMF2中有周期分量,但是在之后的模態(tài)中,嘈雜信號占主導(dǎo),結(jié)合頻域圖5(d)分析,IMF1的頻域帶寬甚大,換而言之,IMF1與各個模態(tài)間存在模態(tài)混疊現(xiàn)象,而在頻域中存在端點效應(yīng),在圖中見紅色圓圈標(biāo)記處。綜上所述,無論是時域周期性分量對比,還是頻域故障特征的有效提取,所提算法均表現(xiàn)出一定的優(yōu)越性和準(zhǔn)確性,因此該算法具有一定的實用意義。

5 實際數(shù)據(jù)

為了更近一步驗證該算法的實用性,現(xiàn)采用實際情況下采集的真實數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,并設(shè)置對比實驗,對結(jié)果進(jìn)行定性定量的分析和比較。

數(shù)據(jù)來源于Paderborn University軸承數(shù)據(jù)集[17],實驗測試臺如圖6所示,測試中的軸承為6203型球軸承,軸承的滾子數(shù)和滾子直徑分別為8 pc、6.75 mm,軸承節(jié)徑為28.55 mm,接觸角為0°,振動傳感器的采樣頻率為64 kHz,該實驗采用的數(shù)據(jù)是在轉(zhuǎn)速為1 500 r/min的情況下,由電機超負(fù)荷運轉(zhuǎn)所造成的真實損壞樣本集,其中包括內(nèi)圈故障信號、外圈故障信號和內(nèi)外圈復(fù)合故障信號。

圖6 實驗測試臺Fig.6 Experimental test platform

原始數(shù)據(jù)的時頻域見圖7,由圖可知,時域中信號分布雜亂,頻域中各個頻段都幅值都很突出,無法通過簡單的信號變化來提取故障特征,對原始信號分別采用文中故障診斷算法、級聯(lián)VMD和MEMD算法進(jìn)行分解,對比分析結(jié)果得出最終結(jié)論。

圖7 原始數(shù)據(jù)時頻域Fig.7 Raw data time frequency domain

首先,用AMVMD算法對原始信號進(jìn)行分解,在分解過程中,優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置見表1,狼群的尋優(yōu)空間如圖8(a)所示,在該空間內(nèi)以最小模態(tài)重疊分量為目標(biāo)函數(shù),當(dāng)該函數(shù)取到最小值時,返回模態(tài)數(shù)k和懲罰參數(shù)α所對應(yīng)的值,由圖8(b)可知,當(dāng)算法進(jìn)行第85次迭代時,目標(biāo)函數(shù)值最小為 0.877 1,模態(tài)分量k=7,懲罰參數(shù)α=3 290。

圖8 參數(shù)尋優(yōu)過程圖Fig.8 Parameter optimization process diagram

此時MVMD將按照返回的參數(shù)值對原始信號進(jìn)行分解,所得模態(tài)分量的時頻域見圖9(a)和圖9(b)；隨后,使用級聯(lián)VMD算法對原始信號進(jìn)行分解,為保證兩種算法的可對比性,模態(tài)分量k和懲罰參數(shù)α均與AMVMD模型保持一致,3種信號同時由3個并聯(lián)的VMD模型進(jìn)行分解,最后將同一本征模態(tài)上的信號顯示在相同坐標(biāo)軸上,模態(tài)分量的時頻域結(jié)果見圖9(c)和圖9(d)；最后,由MEMD算法對3種信號進(jìn)行自適應(yīng)分解,由信號分解結(jié)果圖9(e)和圖9(f)可知,原始信號被分解為11個模態(tài)分量,MEMD在EMD基礎(chǔ)上將一維輸入信號拓展到多維,但是也繼承了原始算法的局限性。

圖9 3種算法對比圖Fig.9 Comparison of the three algorithms

對比分析3種算法分解的結(jié)果圖,其中藍(lán)色表示內(nèi)圈信號,橙色為復(fù)合信號,綠色為外圈信號,由MEMD分解的時域圖9(e)可以看出,信號分解順序是由高頻到低頻,結(jié)合頻域圖,在圖9(f)中IMF1的頻帶帶寬甚大,如左側(cè)放大圖中,模態(tài)分量間存在嚴(yán)重混疊現(xiàn)象,這意味著故障特征大概率的被分解到多個模態(tài)中,一方面,削減了故障特征的信號能量,另一方面,也大大提高了特征提取的難度；相反,對比級聯(lián)VMD分解的結(jié)果,時域信號相比MEMD分解結(jié)果周期信號的收斂性大大提升,不足的是同一模態(tài)分量的中心頻率不一致,如圖9(d)左側(cè)放大圖所示,IMF4中內(nèi)圈信號的頻帶中心與其他信號的頻帶中心有很大間距,同樣的問題也存在與IMF5中,這也是級聯(lián)VMD需要改進(jìn)的地方；相比之下,如圖9(a)所示AMVMD即能在時域中最大限度的提取周期性分量,在頻域中也有模態(tài)對齊的特性,就是將相同中心頻率的有限帶寬分解到同一個模態(tài),為后期實際工程應(yīng)用提供了很大的便利,有一定的實際意義。

圖10 3種算法包絡(luò)圖Fig.10 Envelope graphs of the three algorithms

為了定量分析實驗結(jié)果,現(xiàn)對以上3種算法分解的模態(tài)分量做故障特征系數(shù)分析,計算見式(14)。選取每種算法中最佳的模態(tài)進(jìn)行包絡(luò)對比,引入特征幅值和信噪比(SNR)作判斷指標(biāo),做定量分析。

圖10中(a)、(b)、(c)依次表示AMVMD包絡(luò)結(jié)果、級聯(lián)VMD包絡(luò)結(jié)果、MEMD包絡(luò)結(jié)果,3種算法的詳細(xì)評價指標(biāo)見表2。對比分析,MEMD的特征提取能力最差,只有復(fù)合特征被提取出,并且特征幅值最小；級聯(lián)VMD提取出外圈故障特征和復(fù)合特征的倍頻信號,相比于MEMD中噪聲信號增大,但是故障特征明顯且幅值有一定的提升；所提的AMVMD算法提取的特征全面,且幅值最大,避免了MEMD算法所存在的模態(tài)混疊,特征能量削弱的問題,同時,相比較級聯(lián)VMD又有模態(tài)對齊特性,無論在學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域還是工程應(yīng)用上均有一定的優(yōu)越性和實際意義,為下一步的特征識別奠定基礎(chǔ)。

(14)

表2 3種方法的性能評價Tab.2 three algorithms performance evaluation

6 結(jié) 論

本文提出一種自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解算法,將多元變分模態(tài)與混合灰狼優(yōu)化算法相結(jié)合,以最小模態(tài)重疊分量作為目標(biāo)函數(shù),進(jìn)行本征模態(tài)數(shù)k和懲罰參數(shù)α尋優(yōu),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取到最小值時,返回最優(yōu)參數(shù),MVMD將按照最優(yōu)參數(shù)對原始信號進(jìn)行自適應(yīng)的分解,將實驗結(jié)果與BMED、級聯(lián)VMD和MEMD進(jìn)行比較,設(shè)置仿真信號和實際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證分析,由最終結(jié)果得出該方法的高效性和實用性。

該算法一方面解決了人為參數(shù)經(jīng)驗設(shè)置的弊端,另一方面,所分解的信號具有模態(tài)對齊特性,大大提升了該算法的實用性和工程意義。