安徽 張 剛

一、問題提出

2022年全國乙卷第21題是在國內(nèi)疫情持續(xù)小范圍爆發(fā)的社會大環(huán)境以及新高考課程和評價體系改革持續(xù)推進的背景下命制的試題，試題體現(xiàn)出立足基礎(chǔ)知識，重視數(shù)學理解，強化靈活運用，考查核心素養(yǎng)，注重平穩(wěn)過渡的命題原則.本題重點考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，這類試題可以很好地考查基本函數(shù)求導(dǎo)的運算能力，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化化歸思想，分類討論思想，較好地實現(xiàn)篩選功能，本文以全國乙卷理科第21題為例，對試題進行深入分析，希望能夠給我們的高考復(fù)習備考提供幫助.

二、原題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

解析一：(1)當a=1時，f(x)=ln(1+x)+x·e-x，

所以f′(0)=1+1=2，

因為f(0)=0，

所以所求切線方程為y-0=2·(x-0)，即y=2x.

所以f(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上無零點，不符合題意.

令g(x)=ex+a(1-x2)，則g′(x)=ex-2ax，

g′(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，g′(-1)=e-1+2a，g′(0)=1，

(ⅱ)當g(0)<0，即a<-1時，存在x1,x2使f(x)在(-1,x1)，(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減.

因為f(0)=0，所以f(x1)>f(0)=0，

當x→-1時，f(x)<0，所以f(x)在(-1,x1)上存在一個零點，即f(x)在(-1,0)上存在一個零點，

因為f(0)=0，

當x→+∞時，f(x)>0，所以f(x)在(x2,+∞)上存在一個零點，即f(x)在(0，+∞)上存在一個零點.

綜上，a的取值范圍是(-∞,-1).

點評：本題主要考查曲線在某點處的切線方程、分類討論思想、零點存在問題等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算.解決此類問題的關(guān)鍵：一是會求基本函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，借助在切點處的導(dǎo)函數(shù)值即為斜率，利用點斜式即可求出切線方程；二是根據(jù)函數(shù)f(x)的結(jié)構(gòu)特點，恰當?shù)貙?shù)a進行合理分類，討論判斷該區(qū)間有無零點存在，而局部構(gòu)造合理的新函數(shù)，研究單調(diào)性是判斷零點存在的關(guān)鍵所在，對于隱零點問題，有時可考慮設(shè)而不求思想，繼續(xù)探究新函數(shù)的單調(diào)性，從而逼出參數(shù)的取值范圍，這也是難點所在.

三、試題探究

1.知識探源

最近5年(2018年-2022年)全國乙卷(含全國Ⅰ卷)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的考查方向，列表如下

續(xù)表

從上表我們可以得出一些結(jié)論：(1)從命題變化的方向來看，試題方向更加明確,側(cè)重考查學生“四翼”，更加強化基礎(chǔ)知識扎實以及綜合性的融會貫通.(2)從考查的重點來看，試題越來越注重導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯問題.例如，2018年、2019年、2021年均涉及考查極值點問題.2018年、2019年、2022年均涉及考查零點問題.2020年、2022年均涉及考查參數(shù)的取值范圍問題.(3)從設(shè)計的知識點來看，試題越來越綜合，強化關(guān)鍵能力的理解與運用，注重考查學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維.例如，2018年到2022年大部分年份試題的第1問都是低起點、重基礎(chǔ)，第2問就加大思維考查難度，需要通過轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、參變分離、構(gòu)造新函數(shù)等思想與方法相結(jié)合，綜合處理數(shù)學問題.(4)2022年試題計算量較大也是一個很大地挑戰(zhàn)，未來高考數(shù)學試題將會持續(xù)保持這一趨勢，這也是國家人才戰(zhàn)略發(fā)展的必然要求.

3.解法探究

2022年全國乙卷第21題的第1問這里不再展開敘述.下面重點對第2問進行深入分析，普遍性的解法就是對參數(shù)進行恰當分類，再構(gòu)造新函數(shù)判斷單調(diào)性，確定零點存在情況.借助新函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的關(guān)鍵是如何恰當分類，這也是本題的難點所在.

基于以上理解，我們也可以先參變分離，再從二次求導(dǎo)(或數(shù)形結(jié)合)入手，解決此類問題.筆者經(jīng)過思考分析，給出如下解法.

解析二：參變分離，二次求導(dǎo)法

令g(x)=exln(x+1)+ax=exf(x)(x>-1)，

于是g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0與g(x)在(0，+∞)上有一個零點矛盾.

(2)若a<-1，

g′(x0)

存在x1∈(-1,x0)，x2∈(0,-a)，使得g′(x1)

解析三：參變分離，數(shù)形結(jié)合法

令exf(x)=0?-ax=exln(1+x)，

令y=-ax，h(x)=exln(1+x)，

當-10時，l′(x)>0，

從而l(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，而l(0)=1，所以h′(x)>0，從而h(x)在(-1,0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，而h′(0)=1也就是h(x)在原點處的切線斜率，又y=-ax過原點，可知需-a>0；又知x=-1是h(x)圖象的一條漸近線，所以在(-1,0)內(nèi)h(x)遞增時一定是上凸的，又在(0，+∞)內(nèi)，當x→+∞，h(x)=exln(1+x)>ex，所以此時h(x)是下凹的；要使f(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)上各恰有一個零點，此時只需-a>1，即a<-1即為所求.

點評：第(2)小問屬于函數(shù)零點分布中求參數(shù)的范圍問題.通常把參數(shù)a合理分類，然后對原函數(shù)求導(dǎo)后，在局部構(gòu)造新函數(shù)二次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，根據(jù)區(qū)間零點存在，確定參數(shù)a的取值范圍.解法二借助一次求導(dǎo)確定g(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，再局部構(gòu)造h(x)判斷其在(-1,+∞)上的單調(diào)性，利用虛設(shè)零點原理證明存在.而解法三則是通過數(shù)形結(jié)合思想分別構(gòu)造函數(shù)y=-ax，h(x)=exln(1+x)，求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，借助h(x)與y=-ax的位置，確定函數(shù)圖象的凸凹性，從而根據(jù)零點分布區(qū)間，求出a的取值范圍.

4.變式跟蹤及簡評

4.1所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型弱化為“單區(qū)間、單零點”型

如果我們將2022年全國乙卷理科第21題的第(2)小問題干條件進行弱化變式，降低思維考查的難度，比如，將所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型變?yōu)椤皢螀^(qū)間、單零點”型，雖然所求區(qū)間和零點個數(shù)減少了，但本質(zhì)不變，我們?nèi)匀豢梢愿鶕?jù)函數(shù)f(x)的結(jié)構(gòu)特點，求導(dǎo)后局部合理構(gòu)造新函數(shù)，可繼續(xù)考慮設(shè)而不求思想，探究新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在的區(qū)間，從而逼出參數(shù)的取值范圍，只要注意把握好對參數(shù)a的分界，問題不難獲得求解，這里略舉一例說明.

【例1】(2022·福州高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=ex-axsinx-bx+c的圖象與x軸相切于原點.

(1)求b，c的值；

(2)若f(x)在(0，π)上有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：(1)b=1,c=-1.

(2)由(1)得f′(x)=ex-a(sinx+xcosx)-1，

記g(x)=ex-a(sinx+xcosx)-1，

則g′(x)=ex-a(2cosx-xsinx)，所以g′(0)=1-2a.

因為g(0)=0，g(π)=eπ+aπ-1>0，所以g(x0)<0，所以存在唯一實數(shù)x1∈(x0,π)，使得g(x1)=0，所以當x∈(0,x1)時，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

因為f(0)=0，f(π)=eπ-π-1>0，所以f(x1)<0，所以存在唯一實數(shù)x2∈(x1,π)，使得f(x2)=0，即f(x)在(0，π)上有唯一零點，符合題意.

點評:第(2)小問屬于函數(shù)零點分布中求參數(shù)范圍問題，通常構(gòu)造新函數(shù)研究其單調(diào)性，并且合理對參數(shù)a的分界.在二次求導(dǎo)的基礎(chǔ)上，借助虛設(shè)零點原理確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，最后求出導(dǎo)函數(shù)的最小值即可，而如何準確確定參數(shù)a的分界點是問題的關(guān)鍵.

4.2所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型變式為“不限區(qū)間、單零點”型

如果我們將2022年全國乙卷理科第21題的題干再作一些變式，比如，將所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型變式為“不限區(qū)間、單零點”型.雖然表達式的結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，但本質(zhì)不變，我們?nèi)钥梢赃\用參變分離，二次求導(dǎo)法解決,但是需要注意的是參變分離后，構(gòu)造的新函數(shù)要根據(jù)新函數(shù)的局部結(jié)構(gòu)，再構(gòu)造新函數(shù)，進而二次求導(dǎo)，這也是突出對學生變式問題的強化理解，學生高階思維水平的展現(xiàn).下面也略舉一例說明此情況.

【例2】(2022·南京市、鹽城市高三二模改編)設(shè)函數(shù)f(x)=aex+sinx-3x-2，e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.若函數(shù)f(x)有唯一的零點，求a的取值范圍.

解析：當a≤0時，f′(x)=aex+cosx-3<0，所以f(x)單調(diào)遞減，又當x→-∞時，f(x)→+∞，當x→+∞時，f(x)→-∞，所以存在唯一的x0∈R，使得f(x0)=0，即函數(shù)f(x)有唯一的零點.

設(shè)h(x)=cosx-sinx+3x-1，則h′(x)=-sinx-cosx+3>0，所以h(x)單調(diào)遞增，又h(0)=0，所以可以列表為

x-∞,0()0(0,+∞)h(x)-0+g′(x)-0+

所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，又x→-∞時，g(x)→+∞，當x→+∞時，g(x)→a，且a>0，所以若g(x)有唯一零點，則g(x)min=g(0)=a-2=0，解得a=2.綜上，a的取值范圍為(-∞,0]∪{2}.

4.3所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型強化為“不限區(qū)間、雙零點”型

如果我們將2022年全國乙卷理科第21題的題干再強化一下變式.比如，將所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型變式為“不限區(qū)間、雙零點”型.雖然所求零點區(qū)間不限，但本質(zhì)不變，我們?nèi)钥梢赃\用參變分離，數(shù)形結(jié)合法解決,但是需要注意的是參變分離后，構(gòu)造新函數(shù)需要考慮函數(shù)圖象的交點位置，借助零點滿足的條件，得出a的取值范圍，下面通過實例說明.

【例3】(2020·華南師大附中高三月考改編)設(shè)函數(shù)g(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.

若函數(shù)g(x)有兩個零點，試求a的取值范圍.

當x>0時，h′(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當x<0時，h′(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，故由h(x)的圖象可知，若有兩個交點，則a的取值范圍為(0，+∞).

點評：本題仍是利用先參變分離，構(gòu)造含參數(shù)a的新函數(shù)，借助研究新函數(shù)h(x)的單調(diào)性，通過圖象交點位置，確定參數(shù)a的范圍，數(shù)形結(jié)合法最直觀.

四、教學思考

1.立足學生基礎(chǔ)，強化數(shù)學理解

《普通高中數(shù)學課程標準(2017版2020年修訂)》指出：“數(shù)學抽象是指對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究的素養(yǎng).邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).”數(shù)學基礎(chǔ)性包括學科內(nèi)容的基礎(chǔ)性、解法的通用性以及創(chuàng)設(shè)情境的典型性.它是以學習者在學習探索中最基礎(chǔ)的問題情境和基本知識能力的考查為載體，是學生升入高校進一步學習的必備知識與核心能力的體現(xiàn).這就要求我們在高三復(fù)習過程中，遵循知識體系，進行有條理地梳理、歸納，特別是重點知識、易錯點、基本的數(shù)學思想方法等，經(jīng)過長期的訓練形成習慣，學習力和能力才能同步提高.2022年是全國乙卷向新高考卷的過渡之年，提高自身學力，強化數(shù)學知識與方法的深度學習與理解，才能以不變應(yīng)萬變.

例如，本文所述第21題中第(2)小問中區(qū)間零點含參取值范圍的問題，是在導(dǎo)函數(shù)參變分離的基礎(chǔ)上，進行的求導(dǎo)運算，這就要求我們首先對基礎(chǔ)計算、公式變形求導(dǎo)都要過關(guān)，其次，導(dǎo)數(shù)概念、法則、零點存在定理以及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性要理解本質(zhì)，明確由于參數(shù)a的范圍不確定，導(dǎo)致對函數(shù)分界點進行討論，特別是分類如何界定，最后我們更要明理，理解導(dǎo)函數(shù)各部分知識的關(guān)聯(lián)點在什么地方，提高運算的準確性和速度，適度掌握一些必要的解題技巧，而不是盲目下手解答，草草收場.

2.注重通性通法，突出變式思想

中國高考評價體系中強調(diào)高考就是要求學生基礎(chǔ)扎實，學會融會貫通.數(shù)學是思維性很強的學科，在高考數(shù)學復(fù)習中，要注重“一題多變”(即變式的延伸、弱化、加強與推廣)、“一題多用”(即用同一數(shù)學思想方法解決不同問題)，更多地關(guān)注高考試題的核心是什么，學會從試題中提煉反映數(shù)學試題變式本質(zhì)的東西.

例如，試卷第21題中涉及函數(shù)區(qū)間零點含參取值范圍的問題，就是一類典型問題，需重點復(fù)習.比如，所求問題由“雙區(qū)間、雙零點”型弱化為“單區(qū)間、單零點”型，再變式為“不限區(qū)間、單零點”型，最后強化為“不限區(qū)間、雙零點”型，都可以運用化歸思想，采用分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合方法，實現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的確定，最后根據(jù)區(qū)間零點分布，采用虛設(shè)零點，合理確定分類討論的界點.由于試題本質(zhì)不變(以參數(shù)a與自變量x分離為最終目標)，所以通法不變，問題自然也容易類比解決，變式思想就是不斷更換命題的非本質(zhì)特征，保留對象中本質(zhì)因素，通過不同角度、層次、背景的變化，有意識引導(dǎo)學生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，尋求“不變”的規(guī)律.所以注重解題思維訓練和變式能力培養(yǎng)都是十分有必要的.

3.完備知識結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學概念、性質(zhì)、公式、原理都是高考數(shù)學中必備知識，也是數(shù)學解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，數(shù)學運算與推理能力薄弱往往是由于我們在日常中，過度關(guān)注解題數(shù)量，忽視數(shù)學知識前后體系的建立，知識結(jié)構(gòu)出現(xiàn)碎片化，從而造成推理和計算時，含糊不清，以偏概全，亂套公式的現(xiàn)象，這也是目前高考數(shù)學答題失分嚴重的重要原因之一.