云南 魏福雄

基本不等式是求最值的一種常用工具，在高考試題中常有體現(xiàn).本文對(duì)2022年高考全國卷試題中出現(xiàn)基本不等式的試題進(jìn)行了歸納，對(duì)高考試題中的基本不等式的考查形式進(jìn)行了整理，并在此基礎(chǔ)上提出了高三一輪復(fù)習(xí)備考建議.

2022年的高考已經(jīng)落下帷幕，2023年的高考復(fù)習(xí)即將開始，基本不等式作為一種求最值的常用工具，在每年高考中幾乎都會(huì)出現(xiàn).“高考試題中對(duì)基本不等式的要求是什么？”成了我們復(fù)習(xí)備考的關(guān)鍵.通過對(duì)高考試題的分析，可以更加清楚對(duì)于基本不等式，高考主要考查什么，該重點(diǎn)復(fù)習(xí)什么.下面，筆者基于2022年高考全國卷基本不等式試題進(jìn)行分析，提出復(fù)習(xí)備考建議.

1.試題統(tǒng)計(jì)

在2022年高考全國卷試題中，筆者對(duì)甲卷(理科)、乙卷(理科)、新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷進(jìn)行了整理分析，其中可以借助基本不等式解決的試題有8道，詳見表1.

表1 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

根據(jù)表1，我們可以看出，除了全國乙卷(理科)的第23題之外，基本不等式基本上不會(huì)單獨(dú)作為一個(gè)考點(diǎn)進(jìn)行考查，它都是和其他知識(shí)點(diǎn)綜合起來，基本不等式作為求最值的一種工具進(jìn)行考查，而且這類題還有一個(gè)特點(diǎn)，就是不用基本不等式，借助導(dǎo)數(shù)、對(duì)勾函數(shù)、三角換元都可以解決.但是過程卻比用基本不等式都要復(fù)雜.

2.典型試題分析

2.1探索取最值的條件

分析：本題主要考查解三角形，很多學(xué)生容易想到在△ABD和△ADC中分別用余弦定理，表示出AB2,AC2，這樣也可以做出來，但是后面要用基本不等式，可能構(gòu)造的過程就比較復(fù)雜，很多學(xué)生會(huì)直接放棄用基本不等式而用導(dǎo)數(shù)，以下是筆者給出的一種解法.

解析：如圖，設(shè)BD=x，則CD=2x，過點(diǎn)A作CB的垂線，垂足為H，

因?yàn)椤螦DB=120°,所以∠ADC=60°，

則BH=x+1,CH=2x-1，

AB2=(x+1)2+3，

AC2=(2x-1)2+3=4(x+1)2-12(x+1)+12，

當(dāng)然，這個(gè)問題并非一定要借助基本不等式來解決，用導(dǎo)數(shù)，或者對(duì)勾函數(shù)也可以解決，在這里就不再展示方法了.

【例2】(2022·全國甲卷理·20)設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

分析：本題考查直線與拋物線的綜合，還考查了三角函數(shù)，難度較大，由于時(shí)間的關(guān)系，很多學(xué)生可能算不到用基本不等式這步，然而只要算到正切這一步，學(xué)生便可以很容易地看出來用基本不等式來解決，但是需要注意使用基本不等式的條件.

解析：(1)略；

(2)F(1,0)，D(2,0)，設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

設(shè)直線MN：x=my+1，當(dāng)m≠0時(shí)，

Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m,y1y2=-4.

當(dāng)m>0時(shí)，tanα>tanβ,α-β>0;

顯然，當(dāng)α-β取最大值時(shí)，m>0成立.

當(dāng)m<0時(shí)，tanα

所以n=4，

當(dāng)m=0時(shí)，M(1,2),N(1,-2),A(4,-4),B(4,4)，

直線AB：x=4,α-β=0.

【例3】(2022·全國乙卷理·9)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為( )

分析：本題答案是C.本題要求學(xué)生探究當(dāng)球內(nèi)四棱錐體積最大時(shí)的取等條件，需要學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)或者基本不等式進(jìn)行求解.

解析：設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，高為h.

設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為α，

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2r2.

又r2+h2=1，

例1至例3這三個(gè)題，都是在探求取最值的條件，單獨(dú)從題目來看，還是比較容易從基本不等式這個(gè)方向去考慮，可見高考中對(duì)基本不等式這個(gè)求最值的工具的考查還是比較重的.

2.2求最值或取值范圍

解析：(1)略；

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0，

【例5】(2022·全國新高考Ⅱ卷·12)對(duì)任意x,y，x2+y2-xy=1，則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

由x2+y2-xy=1可變形為

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-1時(shí)，x+y=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，x+y=2，所以A錯(cuò)誤，B正確；

由x2+y2-xy=1可變形為

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1時(shí),等號(hào)成立，所以C正確；

例4和例5這兩個(gè)題，同樣可以看出，基本不等式在求最值問題或取值范圍的問題中是可以發(fā)揮很多意想不到的作用，當(dāng)然，不用基本不等式也可以解決問題，但是用基本不等式，有些問題得到結(jié)果會(huì)快很多.再次印證了基本不等式是解決最值問題的一種有力工具.

2.3證明不等式

解析：(1)證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，

(2)證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

例6主要考查不等式的證明，在不等式的證明問題中，基本不等式的作用可以說是至關(guān)重要的.

3.基本不等式考查形式分析

通過對(duì)以上六道試題的分析，筆者對(duì)它們所考查的不等式類型進(jìn)行了歸納整理，詳見表2.

表2 基本不等式考查形式

通過表2，可以發(fā)現(xiàn)，在2022年高考全國卷試題中，對(duì)基本不等式的考查形式，歸納起來，主要有以下四個(gè)：

4.基本不等式使用時(shí)機(jī)分析

為了弄清楚何時(shí)該用基本不等式，筆者對(duì)六道真題進(jìn)行了分析，詳見表3.

表3 待解決問題及問題轉(zhuǎn)化

單獨(dú)看六道高考真題的時(shí)候，學(xué)生可能不知道什么時(shí)候該用基本不等式，那看完這張表，學(xué)生應(yīng)該比較清晰了，表中的幾道真題都涉及最值或取值范圍問題，并且有三道題涉及取等條件的探求，這就很容易把學(xué)生的思路引往基本不等式方向了.這其實(shí)也很好地體現(xiàn)了高考所要考查學(xué)生的能力，即應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力！

5.復(fù)習(xí)備考建議

5.1利用好教材和課程標(biāo)準(zhǔn)

筆者覺得，一輪復(fù)習(xí)絕對(duì)不能走馬觀花，還是要讓學(xué)生清楚每個(gè)知識(shí)點(diǎn)有什么用，什么時(shí)候可以用，用的時(shí)候需要注意什么.

在《普通高中教科書》數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)(人教A版)的第46頁中還有這樣一句話：“基本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問題的有力工具.”這句話也告訴我們，當(dāng)題目中需要求最大(小)值問題的時(shí)候，我們不妨嘗試一下用基本不等式來解決.

5.2精選例題，設(shè)置題組訓(xùn)練

圍繞2022年高考真題中出現(xiàn)的四個(gè)重要的不等式選擇例題設(shè)置題組訓(xùn)練.每個(gè)不等式可以設(shè)置3個(gè)左右的例題，要有梯度，然后例題后可以附6個(gè)左右(題量可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況酌情增減)的題組訓(xùn)練.這樣方便講完例題之后，讓學(xué)生馬上進(jìn)行題組練習(xí)，這樣學(xué)生可能對(duì)這個(gè)不等式掌握的更透徹！但是一輪復(fù)習(xí)中，對(duì)多數(shù)學(xué)生而言主要是要培養(yǎng)學(xué)生看到這種類型的題，想到用基本不等式去解決的思想，在二輪、三輪中，再去強(qiáng)化練習(xí).

5.3難點(diǎn)突破

筆者覺得，學(xué)生要解決求最大值(最小值)的問題，第一個(gè)難點(diǎn)就是學(xué)生要想到用基本不等式來解決；而這個(gè)難點(diǎn)可以利用好教材、課程標(biāo)準(zhǔn)以及例題，幫助學(xué)生養(yǎng)成這樣的思維模式.而第二個(gè)難點(diǎn)便是在于用基本不等式時(shí)候的變形技巧.

總的來說，其實(shí)學(xué)生單純的利用基本不等式是非常容易的，但是要通過變形來用基本不等式解決最值問題，這就是學(xué)生的難點(diǎn)，這個(gè)也是我們復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該突破的.當(dāng)然這個(gè)只靠機(jī)械地用題去訓(xùn)練學(xué)生是很難做到的，更多的可能需要學(xué)生去歸納、整理，讓學(xué)生去悟！

5.4誤區(qū)警示